2022-2023学年江苏省徐州市铜山区高二（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年江苏省徐州市铜山区高二（下）期中数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省徐州市铜山区高二（下）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  已知直线的方向向量为，平面的法向量为，则(    )A.  B.  C.  D. 与相交2.  若有名实习学生到甲、乙、丙、丁个公司学习，每人限报一个公司，则不同的报名方式有(    )A.  B.  C.  D. 3.  的展开式的常数项为(    )A.  B.  C.  D. 4.  在正四面体中，过点作平面的垂线，垂足为点，点满足，则(    )A.  B.
C.  D. 5.  徐州有很多春游踏青的景点，现有甲、乙两个学校准备从彭园、九顶山、园博园、云龙湖、潘安湖个旅游景点中随机选择一个组织学生去春游设事件为“甲和乙至少有一所学校选择园博园”，事件为“甲和乙选择的景点不同”，则(    )A.  B.  C.  D. 6.  A、两组各有人独立的破译某密码，组每个人成功破译出该密码的概率为，组每个人成功破译出该密码的概率为，记、两组中成功破译出该密码的人数分别为，，若，则下列关系正确的是(    )A. ， B. ，
C. ， D. ，7.  如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是(    )A.
B. 直线与所成角的正弦值为
C. 向量与的夹角是
D. 平面8.  已知空间直角坐标系中，，，，，三棱锥内部整数点所有坐标均为整数的点，不包括边界的个数为(    )A.  B.  C.  D. 二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.  设，分别为随机事件，的对立事件，已知，，则下列说法正确的是(    )A.
B.
C. 若，是相互独立事件，则
D. 若，是互斥事件，则10.  下列命题正确的是(    )A. 若共线，则一定存在实数使得
B. 若存在实数，使得，则，，，四点共面
C. 若共线，则
D. 对空间任意一点与不共线的三点，，，若，其中，，且，则，，，四点共面11.  已知的展开式的二项式系数和为，则下列说法正确的是(    )A. 所有偶数项的二项式系数和为 B. 常数项为
C. 二项式系数最大项为 D. 系数最大项为12.  在棱长为的正方体中，点为的中点，点是正方形内部含边界的一个动点，则下列说法正确的是(    )A. 存在唯一一点，使得
B. 存在唯一一点，使得直线与平面所成角取到最小值
C. 若直线平面，则点的轨迹长度为
D. 若，则三棱锥的体积为三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.  已知随机变量，若，则 ______ ．14.  甲罐中有个红球、个白球，乙罐中有个红球、个白球，先从甲罐中随机取出个球放入乙罐，再从乙罐中随机取出个球，则从乙罐中取出的球是红球的概率为______ ．15.  如图是一个由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，现在用四种颜色给这四个直角三角形和一个小正方形区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方法有______ 种
 16.  已知一个质子在随机外力作用下，从原点出发在数轴上运动，每隔一秒等可能地向数轴正方向或负方向移动一个单位若移动次，则当时，质子位于原点的概率为______ ，当 ______ 时，质子位于对应点处的概率最大．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.  本小题分
用，，，，这五个数字组成没有重复数字的五位数．
在组成的五位数中，所有偶数有多少个？
在组成的五位数中，大于的数有多少个？
在组成的五位数中，数字和数字不相邻的数有多少个？18.  本小题分
如图，在正四棱锥中，，正四棱锥的体积为，点为的中点，点为的中点．
求证：平面；
求二面角的余弦值．
19.  本小题分
甲乙两名同学利用课余时间进行羽毛球比赛，规定每一局比赛中获胜方记分，失败方记分，没有平局，谁先获得分就获胜，比赛结束假设每局比赛甲获胜的概率都是．
求比赛结束时恰好打了局的概率；
若现在是甲以：的比分领先，记表示结束比赛还需要打的局数，求的概率分布列及数学期望．20.  本小题分
已知，其中实数，且的系数为．
求实数的值；
计算：
；
结果用幂的形式表示21.  本小题分
某校为了提高教师身心健康号召教师利用空余时间参加阳光体育活动现有名男教师，名女教师报名，有慢跑、游泳、瑜伽三个可选项目，本周随机选取人参加，每名女教师至多从中选择参加项活动，且选择参加项或项的可能性均为；每名男教师至少从中选择参加项活动，且选择参加项或项的可能性也均为每人每参加项活动可获得“体育明星”积分分，选择参加几项活动彼此互不影响，求：
在有女教师参加活动的条件下，恰有一名女教师参加活动的概率；
记随机选取的两人得分之和为，参加活动的女教师人数为：
求与的关系；
求两人得分之和的数学期望．22.  本小题分
如图，圆台的下底面圆的直径为，圆台的上底面圆的直径为，是弧上一点，且．
求证：；
若点是线段上一动点，求直线与平面所成角的取值范围．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：因为，，
故可得，即，则直线．
故选：．
根据与平行，即可判断直线和平面的位置关系．
本题主要考查平面向量的法向量，属于基础题．
 2.【答案】 【解析】解：依题意，每位实习学生均有种报名方式，
由分步乘法计数原理可得不同的报名方式有种．
故选：．
由分步乘法计数原理即可求解．
本题主要考查了分步乘法计数原理的应用，属于基础题．
 3.【答案】 【解析】解：，
展开式中的常数项为，中含的项为，
所以的常数项为，
因此的展开式的常数项为．
故选：．
根据二项式展开式的通项特征，结合乘法运算即可求解．
本题主要考查二项式定理，考查转化能力，属于中档题．
 4.【答案】 【解析】解：由题知，在正四面体中，
因为平面，
所以是的中心，
连接，则，
所以．
故选：．
根据已知条件，结合空间向量的线性运算，即可求解．
本题主要考查了空间向量的坐标运算，属于基础题．
 5.【答案】 【解析】解：根据题意，事件为“甲和乙至少有一所学校选择园博园”，
事件为“甲和乙选择的景点不同”，
可得，
又由事件为“甲和乙选择的景点不同”，可得，
所以．
故选：．
根据题意，利用条件概率的计算公式，即可求解．
本题考查条件概率的计算公式，属于基础题．
 6.【答案】 【解析】解：由题意可知：服从二项分布，所以，，
同理：服从二项分布，所以，，
因为，所以，所以，
对于二次函数，对称轴，所以在上函数单调递增，
所以当时，有，即．
故选：．
由题意分析，均服从二项分布，利用二项分布的均值和方差公式直接求得．
本题主要考查了二项分布的均值和方差公式，属于基础题．
 7.【答案】 【解析】解：由题意可得，，
又，则
，故A错误，
由于，所以向量与的夹角即为与的夹角，
由于，，等边三角形，故为，
进而与的夹角为的补角，故与的夹角为，故C错误，
由于，
则，，
又，
则，，则，，故B错误；
，
所以，进而可得，，，，平面，
故AC平面，故D正确．
故选：．
利用基底向量，结合向量模长公式即可判断，利用向量的夹角公式即可判断，由向量垂直即可得线线垂直，进而根据线面垂直的判断即可判断．
本题考查向量的夹角公式，向量垂直，线面垂直的判断等相关知识，属于中档题．
 8.【答案】 【解析】解：设三棱锥内部整数点的坐标为，

依题意，，，，，则，令，，，
于是，令，即方程有正整数解，
因此三棱锥内部整数点不包括边界的个数即为方程的正整数解个数，
把个相同小球排成一列，形成个间隙，用块板子插入其中的个间隙，将个小球分成部分，
每种分法的各部分小球数即为方程的一个正整数解，共有种不同分法，
所以三棱锥内部整数点不包括边界的个数为．
故选：．
设出三棱锥内部整数点的坐标，建立不等式，再根据方程有正整数解，借助隔板法列式作答．
本题主要考查了不等式的应用，考查了排列组合知识的应用，属于中档题．
 9.【答案】 【解析】解：，故A正确；
当，是相互独立事件时，，故B错误；
当，是相互独立事件时，，
，故C正确；
，是互斥事件，，则根据条件概率公式得，
而，故D错误．
故选：．
利用条件概率计算公式判断；当，是相互独立事件概率乘法公式判断；利用互斥事件性质判断．
本题考查命题真假的判断，考查条件概率、相互独立事件概率乘法公式、互斥事件性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 10.【答案】 【解析】解： 选项，若，则不存在，选项错误；
选项，不共线时，由平面向量基本定理，可判定，，，四点共面；
共线时，，则，，，四点共线，则四点共面，满足，故B选项正确；
选项，若同向，则不成立，故C选项错误；
选项，，则，所以，
，
所以，，，四点共面，故D选项正确．
故选：．
由向量共线定理即可判定；由平面向量基本定理可判定；由向量共线分类讨论即可；由平面向量基本定理推广即可．
本题考查平面向量的共线定理以及平面向量的共面定理，考查学生逻辑推理能力，属于中档题．
 11.【答案】 【解析】解：因为的展开式的二项式系数和为，所以，所以，
所以二项式为，由二项式系数和的性质可知，
所有偶数项的二项式系数和是二项式系数和的一半，故A正确；
二项式的展开式的通项公式为，
令，得，故常数项为，故B正确；
显然当时二项式系数最大，则二项式系数最大项为
，故C错误；
因为，，，，，，，当为奇数时，展开式系数，
当为偶数时，展开式系数，
时，，
时，，
时，，
时，，
所以当时展开式系数最大，
这一项为，故D正确．
故选：．
由二项式系数和为可求出的值，由二项式系数和的性质可判断；写出展开式的通项，令的指数为可判断；根据的值可得二项式系数最大值，从而判断；由展开式的系数可知系数最大时为偶数，可逐一计算为偶数时的系数的值，比较大小即可判断．
本题主要考查二项式定理的应用，属于中档题．
 12.【答案】 【解析】解：对于，在正方体中，，，
，
所以平面，
所以当在线段上时，都满足，
此时点有无数个，故A错误；
对于，在正方体中，平面，
所以是直线与平面所成的角，
因为，且，，
所以当直线与平面所成角取到最小时，最大，亦有最大，
所以当且仅当点与重合时，最大，故B正确；

对于，分别取，的中点为，，连接，，，，
在正方形中，因为，分别是，的中点，
所以，
又平面，平面，
所以平面，
同理可证平面，，平面，，
所以平面平面，
所以若直线平面，
则点在线段上，点的轨迹长度即为线段的长度，
在中，，故C正确；

对于，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，
由，得，
，，，
设平面的一个法向量为，
则，即，可取，
设点到平面的距离为，
则，
在中，，，
则等腰底边上的高，，
所以三棱锥的体积，故D正确．
故选：．
可证得平面，则当在线段上时都满足，即可判断；可得是直线与平面所成的角，当直线与平面所成角取到最小时，最大，亦有最大，即可判断；可证平面平面，所以若直线平面，则点在线段上，求出的长度即可判断；用向量法求出点到平面的距离，再求出的面积即可计算三棱锥的体积，可判断．
本题考空间中线线，线面，面面间的位置关系，考查线面以及棱锥的体积计算，考查空间向量的运用，考查运算求解能力，属于中档题．
 13.【答案】 【解析】解：由随机变量，可得正态分布曲线的对称轴为，
因为，则．
故答案为：．
根据正态分布曲线的对称性，结合，即可求解．
本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．
 14.【答案】 【解析】解：根据题意，甲罐中有个红球、个白球，乙罐中有个红球、个白球，
当甲罐中随机取出个球为红球时，此时乙罐中有个红球，个白球，
其概率为，
当甲罐中随机取出个球为白球时，此时乙罐中有个红球，个白球，
其概率为，
所以从乙罐中取出的球是红球的概率为．
故答案为：．
根据题意，分为甲罐中随机取出个球为红球和甲罐中随机取出个球为白球，两种情况，结合概率的乘法公式，即可求解．
本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，属于基础题．
 15.【答案】 【解析】解：如图所示，把个区域，分为，
当或中，恰有一个同色时，此时用种颜色涂色，共有种涂法，
当与同色，且与同色时，此时用种颜色涂色，共有种涂法，
由分类计数原理，可得共有种不同的涂色方法．
故答案为：．
把个区域，分为，分或中，恰有一个同色和与同色，且与同色时，结合分类计数原理，即可求解．
本题主要考查了排列组合知识，属于基础题．
 16.【答案】  或 【解析】解：质子在随机外力作用下，从原点出发在数轴上运动，每隔一秒等可能地向数轴正方向或负方向移动一个单位．
则第次移动时向左移动的概率为，
事件时质子位于原点等价于事件前次移动中有且只有次向左移动，
所以事件时质子位于原点的概率为，
事件第次移动后质子位于对应点处等价于事件质子在次移动中向右移了次，
所以第次移动后质子位于对应点处的概率，
设，
则，
令可得，
化简可得，
所以，，所以，
令可得，，所以，
又，
所以或，即或时，质子位于对应点处的概率最大．
故答案为：；或．
根据独立重复试验的概率公式求时质子位于原点的概率，再求质子位于对应点处的概率表达式并求其最值．
本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，属于中档题．
 17.【答案】解：根据题意，当末位是共有个，当末位是或共有个，
所以共有偶数为个；
由题意，万位是共有个，万位为千位为或共有个，
万位为千位为共有个，
所以大于的数共有个；
先排，，，第一种：排在三个数的第一位，共有个，
第二种不排在三个数的第一位，共有个，
所以数字和不相邻的数共有个． 【解析】根据当末位是和末位是或，结合分类计数原理，即可求解；
分万位是、万位为千位为，和万位为千位为，结合分类计数原理，即可求解；
先排，，，根据排在三个数的第一位和不排在三个数的第一位，结合分类计数原理，即可求解．
本题主要考查了排列组合知识的应用，属于中档题．
 18.【答案】解：证明：在正四棱锥中，连接，
四边形为正方形，
，为的中点，
又点为的中点，
为的中位线，
，又平面，平面，
平面；
以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，

正四棱锥的体积为，
正四棱锥的体积，，
，
，，
设平面的一个法向量为，
则，取．
设平面的一个法向量为，
则，即，取．
设二面角的所成的角为，
则，
二面角的余弦值为． 【解析】利用三角形的中位线定理及线面平行的判定定理即可求解；
根据已知条件建立空间直角坐标系，利用棱锥的体积公式，求出及相关点的坐标，分别求出平面和平面的法向量，利用向量的夹角公式，结合向量的夹角与二面角的关系即可求解．
本题考查线面平行的证明，向量法求解二面角问题，化归转化思想，属中档题．
 19.【答案】解：记比赛结束时恰好打了局为事件，
若甲胜，则，
若乙胜，则．
，
所以比赛结束时恰好打了局的概率为；
所有可能的取值为，，，，
，
，
，
，
的分布列为： ． 【解析】比赛打了局结束的情况有两种，甲胜或乙胜，即可解出．
分析可知，可能的取值为，，，，分别求出对应的概率即可．
本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．
 20.【答案】解：，
的二项展开式的通项为，
的系数为，
令，得，
又，
，；
由得，
令得，
令得，
得，，
得，，
；
(ⅱ)令，则，
，
的二项展开式的通项为，
，，，，为正数，，，，为负数，
． 【解析】利用二项式定理的展开式的通项公式，可得答案；
利用赋值法，结合方程思想，可得答案．
本题主要考查二项式定理，考查转化能力，属于中档题．
 21.【答案】解：记有女教师参加活动为事件，恰有名女教师参加活动为事件，
 ，
，
故在有女教师参加活动的条件下，恰有名女教师参加活动概率为；
根据题意，一名女教师参加活动可获得分数的期望为，
一名男教师参加活动可获得分数的期望为，
设恰有名女教师参加活动，则男教师有名参加活动，
；
由题意可知，的所以取值为，，，
则，，，
所以的分布列为： 则有，
所以． 【解析】由条件概率的计算公式即可求解；
根据一名女教师以及一名男教师参加活动获得分数的期望，即可得；
利用的分布列即可求解，由期望的性质即可得，或者利用分类加法以及概率乘法公式也可求解分布列，进而由期望公式求解．
本题主要考查了条件概率公式，考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．
 22.【答案】解：证明：取的中点为，连结，，，

，
，
，
又是以为直径的圆上一点，
，
，平面，平面，
平面，
平面，
，
又，为的中点，
，
，平面，平面，
平面，
在圆台中，平面，
，
又因为在圆台中，圆圆，
，
所以四边形为平行四边形，
且，
在中，为的中点，为中点，
，
又，
，
又，
．
以点为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，

，
，
，
设，
则，
，
设平面的法向量为，
则，即，
取，，
设直线与平面所成角为，
则
，
令，
，
，
令，，
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
，
，
则，
所以的取值范围为，
即，
又，
所以，
所以直线与平面所成角的取值范围． 【解析】取的中点为，则可证明，，从而可证得；
建立空间直角坐标系，用向量的方法求出直线与平面所成角的正弦的函数表达式，再利用函数的知识即可求解．
本题考查空间中线线，线面间的位置关系，考查利用空间向量研究线面角问题，考查函数思想，数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．