2022-2023学年上海市金山中学、闵行中学、嘉定一中三校高二（下）联考数学试卷（5月份）（含解析）

2022-2023学年上海市金山中学、闵行中学、嘉定一中三校高二（下）联考数学试卷（5月份）

一、单选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  设为直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是(    )

A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则

2.  在中，设三个内角、、的对边依次为、、，则“”是“”成立的条件．(    )

A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要

3.  设，，，，若函数的部分图像如图所示，则下列结论正确的是(    )

A. ，
B. ，
C. ，
D. ，

4.  已知数列满足，且对任意的正整数，都有，若对任意的正整数成立，则正整数的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）

5.  若集合，，，则实数______．

6.  已知向量，，若，则实数的值为______ ．

7.  函数的最小正周期是______．

8.  已知复数满足为虚数单位，则______．

9.  已知某圆锥的高为，底面积为，则该圆锥的侧面积为______ ．

10.  计算： ______ ．

11.  已知函数，则 ______ ．

12.  已知是双曲线与抛物线的一个共同焦点，则双曲线的离心率的大小为______ ．

13.  若是函数的极小值点，则实数的值为______ ．

14.  设、、为空间中三条不同的直线，若与所成角为，与所成角为，则与所成角的取值范围是______ ．

15.  已知正数、满足，则的最小值为______ ．

16.  在平面直角坐标系中，已知动点到两直线：与的距离之和为，则的取值范围是______ ．

三、解答题（本大题共5小题，共76.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知数列的前项和．
求的值；
求的通项公式．

18.  本小题分
已知在四棱锥中，底面为正方形，侧棱平面，点为中点，．
求证：直线平面；
求点到平面的距离．

19.  本小题分
为庆祝神舟十四号载人飞船返回舱成功着陆，某学校开展了航天知识竞赛活动，共有人参加了这次竞赛，已知所有参赛学生的成绩均位于区间，将他们的成绩分成五组，依次为、、、、，制成如图所示的频率分布直方图．
求出的值，并用各区间的中间值估计这人的竞赛成绩的平均数；
采用按比例分配的分层抽样的方法，从竞赛成绩在即第四、五组内的学生中抽取了人作为航天知识宣讲使者现从这名使者中随机抽取人作为组长，求这名组长的竞赛成绩在内的概率．

20.  本小题分
把右半个椭圆和圆弧合成的封闭曲线称为“曲圆”，“曲圆”与轴的左、右交点依次记为、，与轴的上、下交点依次记为、，过椭圆的右焦点的直线与“曲圆”交于、两点．
当点与重合时，求的周长；
当、两点都在半椭圆时，是否存在以为直径的圆恰好经过点？若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由；
当点在第一象限时，求的面积的最大值．

21.  本小题分
已知曲线，在点处的切线为，若曲线上存在异于的点，使曲线在点处的切线与重合，则称为曲线关于的“公切点”；若曲线上存在，使曲线在处的切线与垂直，则称为曲线关于的“正交点”．
求曲线关于的“正交点”；
若，，已知曲线上存在关于的“正交点”，求的取值集合；
已知，若对任意，曲线上都存在关于的“正交点”，求实数的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查直线与平面的位置关系及平面与平面之间的位置关系，属于基础题．
举反例可判断；根据垂直于同一直线的两个平面平行可判断；根据线面垂直的性质定理可判断；根据空间中的位置关系判断．
【解答】
解：若，，则平面，可能相交，此时交线与平行，故A错误；
若，，根据垂直于同一直线的两个平面平行，可得B正确；
若，，则存在直线，使，则，故此时，故C错误；
若，，则与可能相交，可能平行，也可能线在面内，故D错误；
故选：．  

2.【答案】 

【解析】解：由，可得，
则，
又，则，
以上步步可逆，
则“”是“”成立的充要条件．
故选：．
先利用求得角的值，进而得到二者间的逻辑关系．
本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，考查了余弦定理的应用，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：，，
由图知，两个极值点，设为，，则，，
由图知，单调递增，单调递减，则，
则，，
由图知，，
故选：．
由已知中函数的部分图像，运用韦达定理结合图像判断、的符号．
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，考查了韦达定理的应用，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：由数列满足，且对于任意的正整数，都有，
可得，
若时，即，可得，解得或，不符合题意，舍去；
若时，可得，解得，
，不符合题意，舍去；
，则，即，
则，
若正整数使得对任意正整数成立，则．
正整数的最小值为．
故选：．
由原递推式可得，求得，进而求得正整数的最小值，得到答案．
本题考查数列递推式，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题．
 

5.【答案】 

【解析】解：，，，
，
实数的值为．
故答案为：．
由已知中集合，，，根据集合交集运算的定义，可得实数的值．
本题考查的知识点是集合关系中的参数取值问题，交集及其运算，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：由向量，，因为，
所以，
解得．
故答案为：．
根据向量的共线的坐标表示，列出方程，即可求解．
本题主要考查了平行向量的坐标关系，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：函数，
故它的最小正周期等于，
故答案为：．
利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式可得函数，根据最小正周期等于 求出结果．
本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，正弦函数的周期性及其求法，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：由，得：．
故答案为．
直接把给出的等式两边同时乘以，然后把右边分子分母同时乘以，整理后即可得到复数．
本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的除法，采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，此题是基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：圆锥底面积为，则底面半径为，又圆锥的高为，
则圆锥的母线长为，
则该圆锥的侧面积为．
故答案为：．
先求得圆锥的底面半径和母线长，进而求得该圆锥的侧面积．
本题主要考查了圆锥的结构特征，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
转化为求极限即可．
本题考查了求极限的应用问题，是基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
，
则，
故．
故答案为：．
根据已知条件，结合导数的几何意义，即可求解．
本题主要考查导数的几何意义，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：抛物线的焦点为，
也是双曲线的焦点，
所以，所以，即，
所以双曲线的离心率为．
故答案为：．
先求出抛物线的焦点坐标，即为双曲线的焦点，然后求解即可．
本题主要考查双曲线的性质，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：不妨设，函数定义域为，
可得，
因为为函数的极小值点，
所以，
解可得或，
当时，，
易得为函数的极小值点，满足条件；
当，，
易得为函数的极大值点，不满足条件．
故答案为：．
由题意，构造函数，对函数进行求导，根据为函数的极小值点，可得，解出的值，并对其进行验证即可得到答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查了逻辑推理和运算能力．
 

14.【答案】 

【解析】解：不妨设、、相交于点，如图，根据题意构造两个圆锥，

其中底面圆心为，轴所在直线为，小圆锥的母线所在直线为，轴截面；
大圆锥的母线所在直线为，轴截面，且，，，，在一条直线上．
由题意，，
由图可知，当移动到，移动到时，可得与所成角的最小，
最小值为．
当移动到，移动到时，可得与所成角的最大，
最大值为．
所以与所成角的取值范围为．
故答案为：．
不妨设、、相交于点，根据题意构造两个圆锥，结合轴截面可得与所成角的最小值与最大值即可．
本题考查异面直线所成角，考查运算求解能力，属于中档题．
 

15.【答案】 

【解析】解：正数、满足，则
则，
又时，，则，
则的最小值为．
故答案为：．
将题给条件转化为，再利用二次函数在给定区间上的值域即可求得的最小值．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：根据题意，将直线：与的方程化为一般式为：，：，
所以到两直线的距离之和为：，
变形可得：．
当时，式变形为：；
当时，式变形为：；
当时，式变形为：；
当时，式变形为：；
则动点为如图所示的四边形的边，
则的几何意义为正方形边上任意一点与连线的斜率．
又由，，，．
则的取值范围是：．
故答案为：．
由题意可知满足为四边形的四边上任意一点，然后画图，由几何意义分析可得答案．
本题考查轨迹方程的分析，涉及点到直线的距离公式，属于基础题．
 

17.【答案】解：．
当时，，
当时，，
综上，的通项公式为． 

【解析】利用即可求得的值；
利用数列前项和与通项间的关系即可求得数列的通项公式．
本题主要考查数列的递推式，考查运算求解能力，属于基础题．
 

18.【答案】解：证明：连接交于点，连接，
因为底面为正方形，
所以为的中点，
所以，在中，为的中点，为的中点，
所以；
又因为面，面，
所以平面；
因为平面，为正方形，，平面，
所以，，两两垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系，
所以，，，，
所以，，
设平面的法向量为，
所以，即，取，
又，设点到平面的距离为，
所以，
所以点到平面的距离为． 

【解析】连接交于点，连接，进而根据即可证明；
根据题意，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用坐标法求解即可．
本题考查线面平行的证明，线面平行的判定定理，向量法求解点面距问题，化归转化思想，属中档题．
 

19.【答案】解：由题意得，解得，
这人的竞赛成绩的平均数估计为
；
成绩在的频率为，成绩在的频率为，
则竞赛成绩在，两个组的人数之比为：，
采用分层抽样的方法从中抽取人，
则成绩在抽得的人数为人，
成绩在抽得的人数为人．
现从这名使者中随机抽取人作为组长，
则这名组长的竞赛成绩在内的概率为． 

【解析】由频率之和为解，由频率分布直方图中平均数的估计方法求解平均数，即可得出答案；
先由分层抽样的方法确定每层的人数，然后由古典概率公式计算概率，即可得出答案．
本题考查频数分布直方图，考查转化思想，考查运算能力，属于基础题．
 

20.【答案】解：圆弧的左顶点，
刚好是半椭圆的左焦点，
则点与重合时，的周长为；
假设存在直线，
、两点都在半椭圆上，或，
．
联立 ，得，
设、，则恒成立．
，．
以为直径的圆恰好经过点，
，即，
即，
可得，
即，解得．
不存在直线，满足题意．
由知，当、两点都在半椭圆时，
设直线的方程为，当在第一象限时，．
且，
当且仅当得时等号成立，即的面积为；
当、两点分别在半椭圆与圆弧上时，当与重合时取得最大值，
此时，．
综上，的面积的最大值为． 

【解析】由焦点三角形周长求解即可；
假设存在，设出直线的方程联立方程组，由判断可知不存在；
分类讨论由求面积的最大值即可．
本题考查椭圆的简单性质，考查圆与椭圆、直线与椭圆位置关系的应用，考查运算求解能力，属难题．
 

21.【答案】解：，，
则，
设的斜率为，的斜率为，的“正交点”，
则，，，，
即的“正交点”为．
，
设的斜率为，的斜率为，的“正交点”，
，

，
同理，，
因为，
所以，
即，
设，
因，则，
当，，
当，，
所以，
同理，
因为，
所以，即，
则，又，
所以．
故的取值集合为．
设的斜率为，的斜率为，
的“正交点”，
，，
则，
当时，，
因为，，
所以不存在这样的点；
当时，，
因为，，
所以上式也不成立．
故的取值范围为． 

【解析】根据切线与垂直，即可求解．
设的斜率为，的斜率为，的“正交点”，利用，得到，又，，可得，即可根据求得结果．
据已知可得，通过分类讨论和可知不存在这样的点，即可知道的范围．
本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，函数的零点与方程根的关系，考查运算求解能力，属于难题．