2023年福建省中考数学真题（含解析）

数学试题

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．

1. 下列实数中，最大的数是（　　）

A.  B. 0 C. 1 D. 2

【答案】D

【解析】

【分析】有理数比较大小的法则：正数大于负数，正数大于0，两个负数中绝对值大的反而小，据此判断即可．

【详解】解：正数大于0，正数大于负数，且，所以中最大的实数是2．

故选：D

【点睛】本题主要考查了有理数比较大小，熟练掌握其方法是解题的关键．

2. 下图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的俯视图是（　　）

A.   B.  

C.   D.  

【答案】D

【解析】

【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图即可解答．

【详解】解：从上面看下边是一个矩形，矩形的上边是一个圆，

故选：D．

【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，掌握从上面看得到的图形是俯视图是解答本题的关键．

3. 若某三角形的三边长分别为3，4，m，则m的值可以是（　　）

A. 1 B. 5 C. 7 D. 9

【答案】B

【解析】

【分析】根据三角形的三边关系求解即可．

【详解】解：由题意，得，即，

故的值可选5，

故选：B．

【点睛】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解答的关键．

4. 党的二十大报告指出，我国建成世界上规模最大的教育体系、社会保障体系、医疗卫生体系，教育普及水平实现历史性跨越，基本养老保险覆盖十亿四千万人，基本医疗保险参保率稳定在百分之九十五、将数据1040000000用科学记数法表示为（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．

【详解】解：，

故选：C．

【点睛】此题主要考查了科学记数法表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．

5. 下列计算正确的是（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据幂的乘方法、同底数幂的除法法则、同底数幂的乘法以及合并同类项逐项判断即可．

【详解】解：A．，故A选项计算正确，符合题意；

B．，故B选项计算错误，不合题意；

C．，故C选项计算错误，不合题意；

D．与不是同类项，所以不能合并，故D选项计算错误，不合题意．

故选：A．

【点睛】本题主要考查同底数幂的乘除运算、幂的乘方运算以及整式的加减运算等知识点，同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变，指数相减；幂的乘方，底数不变，指数相乘．

6. 根据福建省统计局数据，福建省年的地区生产总值为亿元，年的地区生产总值为亿元．设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意可列方程（　　）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程即可求解．

【详解】设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意可列方程

，

故选：B．

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．

7. 阅读以下作图步骤：

①在和上分别截取，使；

②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；

③作射线，连接，如图所示．

根据以上作图，一定可以推得的结论是（  ）

A. 且 B. 且

C. 且 D. 且

【答案】A

【解析】

【分析】由作图过程可得：，再结合可得，由全等三角形的性质可得即可解答．

【详解】解：由作图过程可得：，

∵，

∴．

∴．

∴A选项符合题意；

不能确定,则不一定成立，故B选项不符合题意；

不能确定,故C选项不符合题意，

不一定成立，则不一定成立，故D选项不符合题意．

故选A．

【点睛】本题主要考查了角平分线的尺规作图、全等三角形的判定与性质等知识点，理解尺规作图过程是解答本题的关键．

8. 为贯彻落实教育部办公厅关于“保障学生每天校内、校外各1小时体育活动时间”的要求，学校要求学生每天坚持体育锻炼．小亮记录了自己一周内每天校外锻炼的时间（单位：分钟），并制作了如图所示的统计图．

根据统计图，下列关于小亮该周每天校外锻炼时间的描述，正确的是（　　）

A. 平均数为70分钟 B. 众数为67分钟 C. 中位数为67分钟 D. 方差为0

【答案】B

【解析】

【分析】分别求出平均数、众数、中位数、方差，即可进行判断．

【详解】解：A．平均数为（分钟），故选项错误，不符合题意；

B．在7个数据中，67出现的次数最多，为2次，则众数为67分钟，故选项正确，符合题意；

C．7个数据按照从小到大排列为：，中位数是70分钟，故选项错误，不符合题意；

D．平均数为，

方差为，故选项错误，不符合题意．

故选：B．

【点睛】此题考查了平均数、众数、中位数、方差，熟练掌握各量的求解方法是解题的关键．

9. 如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数和的图象的四个分支上，则实数的值为（　　）

A.  B.  C.  D. 3

【答案】A

【解析】

【分析】如图所示，点在上，证明，根据的几何意义即可求解．

【详解】解：如图所示，连接正方形的对角线，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，点在上，

∵，，

∴．

∴．

∴．

∵点在第二象限，

∴．

故选：A．

【点睛】本题考查了正方形的性质，反比例函数的的几何意义，熟练掌握以上知识是解题的关键．

10. 我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416．如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得的估计值为（　　）

A.  B.  C. 3 D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据圆内接正多边形的性质可得，根据30度的作对的直角边是斜边的一半可得，根据三角形的面积公式即可求得正十二边形的面积，即可求解．

【详解】解：圆的内接正十二边形的面积可以看成12个全等的等腰三角形组成，故等腰三角形的顶角为，设圆的半径为1，如图为其中一个等腰三角形，过点作交于点于点，

∵，

∴，

则，

故正十二边形的面积为，

圆的面积为，

用圆内接正十二边形面积近似估计的面积可得，

故选：C．

【点睛】本题考查了圆内接正多边形的性质，30度的作对的直角边是斜边的一半，三角形的面积公式，圆的面积公式等，正确求出正十二边形的面积是解题的关键．

二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．

11. 某仓库记账员为方便记账，将进货10件记作，那么出货5件应记作___________．

【答案】

【解析】

【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．

【详解】解：∵“正”和“负”相对，

∴进货10件记作，那么出货5件应记作．
故答案为：．

【点睛】本题主要考查了正数和负数，理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量是解题关键．

12. 如图，在中，为的中点，过点且分别交于点．若，则的长为___________．

【答案】10

【解析】

【分析】由平行四边形的性质可得即，再结合可得可得，最进一步说明即可解答．

【详解】解：∵中，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴,即．

故答案：10．

【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，证明三角形全等是解答本题的关键．

13. 如图，在菱形中，，则的长为___________．

【答案】10

【解析】

【分析】由菱形中，，易证得是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得解．

【详解】解：∵四边形是菱形，

∴，

∵，

∴是等边三角形，

∴．

故答案为：10．

【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记菱形的性质并推出等边三角形是解题的关键．

14. 某公司欲招聘一名职员．对甲、乙、丙三名应聘者进行了综合知识、工作经验、语言表达等三方面测试，他们的各项成绩如下表所示：

如果将每位应聘者的综合知识、工作经验、语言表达的成绩按的比例计算其总成绩，并录用总成绩最高的应聘者，则被录用的是___________．

【答案】乙

【解析】

【分析】分别计算甲、乙、丙三名应聘者的成绩的加权平均数，比较大小即可求解．

【详解】解：，

，

，

∵

∴被录用的是乙，

故答案为：乙．

【点睛】本题考查了加权平均数，熟练掌握加权平均数的计算方法是解题的关键．

15. 已知，且，则的值为___________．

【答案】1

【解析】

【分析】根据可得，即，然后将整体代入计算即可．

【详解】解：∵

∴，

∴，即．

∴．

【点睛】本题主要考查了分式的加减运算，根据分式的加减运算法则得到是解答本题的关键．

16. 已知抛物线经过两点，若分别位于抛物线对称轴的两侧，且，则的取值范围是___________．

【答案】

【解析】

【分析】根据题意，可得抛物线对称轴为直线，开口向上，根据已知条件得出点在对称轴的右侧，且，进而得出不等式，解不等式即可求解．

【详解】解：∵，

∴抛物线的对称轴为直线，开口向上，

∵分别位于抛物线对称轴的两侧，

假设点在对称轴的右侧，则，解得，

∴

∴点在点的右侧，与假设矛盾，则点在对称轴的右侧，

∴

解得：

又∵，

∴

∴

解得：

∴，

故答案为：．

【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．

三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 计算：．

【答案】3

【解析】

【分析】根据算术平方根，绝对值，零指数幂，有理数的混合运算法则计算即可．

【详解】解：原式

．

【点睛】本题考查了算术平方根，绝对值，零指数幂，有理数的混合运算，熟练掌握以上运算法则是解题的关键．

18. 解不等式组：

【答案】

【解析】

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．

【详解】解：

解不等式①，得．

解不等式②，得．

所以原不等式组的解集为．

【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确掌握一元一次不等式解集确定方法是解题的关键．

19. 如图，．求证：．

【答案】见解析

【解析】

【分析】根据已知条件得出，进而证明，根据全等三角形的性质即可得证．

【详解】证明：，

即．

在和中，

．

【点睛】本小题考查等式的基本性质、全等三角形的判定与性质等基础知识，考查几何直观、推理能力等，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．

20. 先化简，再求值：，其中．

【答案】，

【解析】

【分析】先根据分式的混合运算法则化简，然后再将代入计算即可解答．

【详解】解：

．

当时，

原式．

【点睛】本题主要考查了分式的基本性质及其运算、分母有理化，正确的化简分式是解答本题的关键．

21. 如图，已知内接于的延长线交于点，交于点，交的切线于点，且．

（1）求证：；

（2）求证：平分．

【答案】（1）见解析    （2）见解析

【解析】

【分析】（1）由切线的性质可得，由圆周角定理可得，即，再根据平行线的性质可得，则根据角的和差可得，最后根据平行线的判定定理即可解答；

（2）由圆周角定理可得，再由等腰三角形的性质可得，进而得到，再结合得到即可证明结论．

【小问1详解】

证明是的切线，

，即．

是的直径，

．

∴．

，

，

，即，

．

【小问2详解】

解：与都是所对的圆周角，

．

，

，

．

由（1）知，

，

平分．

【点睛】本题主要考查角平分线、平行线的判定与性质、圆周角定理、切线的性质等知识点，灵活运用相关性质定理是解答本题的关键．

22. 为促进消费，助力经济发展，某商场决定“让利酬宾”，于“五一”期间举办了抽奖促销活动．活动规定：凡在商场消费一定金额的顾客，均可获得一次抽奖机会．抽奖方案如下：从装有大小质地完全相同的1个红球及编号为①②③的3个黄球的袋中，随机摸出1个球，若摸得红球，则中奖，可获得奖品：若摸得黄球，则不中奖．同时，还允许未中奖的顾客将其摸得的球放回袋中，并再往袋中加入1个红球或黄球（它们的大小质地与袋中的4个球完全相同），然后从中随机摸出1个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出1个球，若摸得的两球的颜色相同，则该顾客可获得精美礼品一份．现已知某顾客获得抽奖机会．

（1）求该顾客首次摸球中奖的概率；

（2）假如该顾客首次摸球未中奖，为了有更大机会获得精美礼品，他应往袋中加入哪种颜色的球？说明你的理由

【答案】（1）   

（2）应往袋中加入黄球，见解析

【解析】

【分析】（1）直接由概率公式求解即可；

（2）根据列表法求分别求得加入黄球和红球概率即可求解．

【小问1详解】

解：顾客首次摸球的所有可能结果为红，黄①，黄②，黄③，共4种等可能的结果．

记“首次摸得红球”为事件，则事件发生的结果只有1种，

所以，所以顾客首次摸球中奖的概率为．

【小问2详解】

他应往袋中加入黄球．

理由如下：

记往袋中加入的球为“新”，摸得的两球所有可能的结果列表如下：

共有种等可能结果．

（）若往袋中加入的是红球，两球颜色相同的结果共有种，此时该顾客获得精美礼品的概率；

（）若往袋中加入的是黄球，两球颜色相同的结果共有种，此时该顾客获得精美礼品的概率；

因为，所以，所作他应往袋中加入黄球．

【点睛】本小题考查简单随机事件的概率等基础知识，考查抽象能力、运算能力、推理能力、应用意识、创新意识等，考查统计与概率思想、模型观念，熟练掌握概率公式是解题的关键．

23. 阅读下列材料，回答问题

（1）补全小明求解过程中①②所缺的内容；

（2）小明求得用到的几何知识是___________；

（3）小明仅利用皮尺，通过5次测量，求得．请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，并利用解直角三角形的知识求小水池的最大宽度，写出你的测量及求解过程．要求：测量得到的长度用字母，，表示，角度用，，表示；测量次数不超过4次（测量的几何量能求出，且测量的次数最少，才能得满分）．

【答案】（1）①；②   

（2）相似三角形的判定与性质   

（3）最大宽度为，见解析

【解析】

【分析】（1）根据相似三角形的判定和性质求解即可；

（2）根据相似三角形的判定和性质进行回答即可；

（3）测量过程：在小水池外选点，用测角仪在点处测得，在点处测得；用皮尺测得；

求解过程：过点作，垂足为，根据锐角三角函数的定义推得，，，根据，即可求得．

【小问1详解】

∵， ，，，

∴，

又∵，

∴，

∴．

又∵，

∴．

故小水池的最大宽度为．

【小问2详解】

根据相似三角形的判定和性质求得，

故答案为：相似三角形的判定与性质．

【小问3详解】

测量过程：

（ⅰ）在小水池外选点，如图，用测角仪在点处测得，在点处测得；

（ⅱ）用皮尺测得．

求解过程：

由测量知，在中，，，．

过点作，垂足为．

在中，，

即，所以．

同理，．

在中，，

即，所以．

所以．

故小水池的最大宽度为．

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形的实际应用，根据题意画出几何图形，建立数学模型是解题的关键．

24. 已知抛物线交轴于两点，为抛物线的顶点，为抛物线上不与重合的相异两点，记中点为，直线的交点为．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）若，且，求证：三点共线；

（3）小明研究发现：无论在抛物线上如何运动，只要三点共线，中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由．

【答案】（1）   

（2）见解析    （3）面积为定值，其面积为2

【解析】

【分析】（1）将代入，即可解得；

（2），中点为，且，可求出过两点所在直线的一次函数表达式，为抛物线上的一点，所以，此点在，可证得三点共线；

（3）设与分别关于直线对称，则关于直线对称，且与的面积不相等，所以的面积不为定值；如图，当分别运动到点的位置，且保持三点共线．此时与的交点到直线的距离小于到直线的距离，所以的面积小于的面积，故的面积不为定值；故的面积为定值，由（2）求出，此时的面积为2．

【小问1详解】

解：因为抛物线经过点，

所以

解得

所以抛物线的函数表达式为；

【小问2详解】

解：

设直线对应的函数表达式为，

因为为中点，所以．

又因为，所以，解得，

所以直线对应的函数表达式为．

因为点在抛物线上，所以．

解得，或．

又因为，所以．

所以．

因为，即满足直线对应的函数表达式，所以点在直线上，即三点共线；

【小问3详解】

解：的面积为定值，其面积为2．

理由如下：（考生不必写出下列理由）

如图1，当分别运动到点的位置时，与分别关于直线对称，此时仍有三点共线．设与的交点为，则关于直线对称，即轴．此时，与不平行，且不平分线段，故，到直线的距离不相等，即在此情形下与的面积不相等，所以的面积不为定值．

如图2，当分别运动到点的位置，且保持三点共线．此时与的交点到直线的距离小于到直线的距离，所以的面积小于的面积，故的面积不为定值．

又因为中存在面积为定值的三角形，故的面积为定值．

在（2）的条件下，直线对应的函数表达式为，直线对应的函数表达式为，求得，此时的面积为2．

【点睛】本题考查一次函数和二次函数的图象与性质、二元一次方程组、一元二次方程、三角形面积等基础知识，如何利用数形结合求得点的坐标、函数的表达式等是解题的关键．

25. 如图1，在中，是边上不与重合的一个定点．于点，交于点．是由线段绕点顺时针旋转得到的，的延长线相交于点．

（1）求证：；

（2）求的度数；

（3）若是的中点，如图2．求证：．

【答案】（1）见解析    （2）   

（3）见解析

【解析】

【分析】（1）由旋转的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，再证明、，即可证明结论；

（2）如图1：设与的交点为，先证明可得，再证明可得，最后运用角的和差即可解答；

（3）如图2：延长交于点，连接，先证明可得，再证可得；进而证明即，再说明则根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答．

【小问1详解】

解： 是由线段绕点顺时针旋转得到的，

，

，

．

，

．

．

，

．

．

【小问2详解】

解：如图1：设与的交点为，

，

，

，

．

，

，

．

又，

．

，

．

【小问3详解】

解：如图2：延长交于点，连接，

，

，

．

是的中点，

．

又，

，

．

，

，

．

由（2）知，，

． 

，

，

，

，即．

，

，

．

【点睛】本题主要考查三角形内角和定理、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形及直角三角形的判定与性质等知识点，综合应用所学知识成为解答本题的关键．