高中物理人教版 (2019)选择性必修 第一册4 单摆学案

这是一份高中物理人教版 (2019)选择性必修 第一册4 单摆学案，共14页。

一、单摆的回复力
如图所示，一根细线上端固定，下端连接一个金属小球，用手使小球偏离竖直方向一个很小的夹角，然后释放，小球在A、A′间来回摆动，不计空气的阻力。
(1)小球摆动过程中受到哪些力的作用？
(2)什么力提供向心力？什么力提供回复力？
(3)小球经过平衡位置O点时回复力为零，合外力也为零吗？
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1．单摆的组成：由细线和________组成。
2．理想化模型
(1)细线的质量与小球相比可以忽略。
(2)小球的______与线的长度相比可以忽略。
(3)细线的____________与细线长度相比可以忽略。
(4)空气阻力与小球的________及细线的________相比可以忽略。
3．单摆的回复力
(1)回复力的来源：摆球的重力沿____________方向的分力，即F＝____________。
(2)回复力的特点：在摆角很________时，摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成________，方向总指向________________，即F＝－eq \f(mg,l)x。从回复力特点可以判断单摆做简谐运动。
判断下列5幅图中的摆动模型能否看成单摆？若不能，请说明原因。
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单摆做简谐运动的推证
在偏角很小时，用弧度表示的θ与它的正弦sin θ近似相等，即sin θ≈θ≈eq \f(x,l)，因此单摆的回复力可表示为F＝－eq \f(mg,l)x(式中x表示摆球偏离平衡位置的位移，l表示单摆的摆长，负号表示回复力F与位移x的方向相反)，由此知回复力符合F＝－kx，单摆做简谐运动。
(1)摆球受到重力、拉力、向心力、回复力四个力的作用。( )
(2)单摆运动的回复力是重力和摆线拉力的合力。( )
(3)单摆经过平衡位置时受到的合力为零。( )
(4)单摆摆动到最高点时速度为零，合外力也为零。( )
例1 (2023·山东省青岛一中月考)图中O点为单摆的固定悬点，现将摆球(可视为质点)拉至A点，此时细线处于张紧状态，释放摆球，摆球将在竖直平面内的A、C之间来回摆动，B点为运动中的最低位置，则在摆动过程中( )
A．摆球受到重力、拉力、回复力三个力的作用
B．摆球在A点和C点处，速度为零，回复力也为零
C．摆球在B点处，速度最大，细线拉力也最大
D．摆球在B点处，速度最大，回复力也最大
例2 如图所示，图甲为一单摆，摆球质量为m，摆长为L，做小角度摆动，摆角为θ(θ<5°)，重力加速度为g，不计空气阻力，图乙是某次小球从左端由静止释放，摆球第一次由左向右通过平衡位置开始计时，位移x随时间t变化的图像，求：
(1)刚释放时小球的回复力；
(2)t＝1.5 s时小球的位置和0～1.5 s内的路程。
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二、单摆的周期
1．单摆振动的周期与摆球质量________(选填“有关”或“无关”)，在振幅较小时与振幅________(选填“有关”或“无关”)，但与摆长________(选填“有关”或“无关”)，摆长越长，周期______(选填“越大”“越小”或“不变”)。
2．单摆周期公式
(1)提出：单摆周期公式是荷兰物理学家____________首先提出的。
(2)公式：T＝2πeq \r(\f(l,g))，即周期T与摆长l的二次方根成________，与重力加速度g的二次方根成________，而与振幅、摆球质量________。
惠更斯利用摆的等时性发明了带摆的计时器，叫摆钟。摆钟运行时克服摩擦所需的能量由重锤的势能提供，运行的速率由钟摆控制。旋转钟摆下端的螺母可以使摆上的圆盘沿摆杆上下移动。请思考：
(1)摆针走时偏快应如何校准？
(2)将一个走时准确的摆钟从福建移到北京，摆钟应如何校准？
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对单摆周期公式的理解
1．成立条件：单摆偏角很小(偏角小于5°)。
2．影响因素：周期T只与l和g有关，与摆球质量m及振幅无关，所以单摆的周期也叫固有周期。
3．对l、g的理解
(1)公式中l是摆长，即悬点到摆球球心的距离。
①普通单摆，摆长l＝l′＋eq \f(D,2)，l′为摆线长，D为摆球直径。
②等效摆长：(a)图中，甲、乙在垂直纸面方向上摆动起来效果是相同的，甲摆的等效摆长为lsin α，其周期T＝2πeq \r(\f(lsin α,g))。(b)图中，乙在垂直纸面方向摆动时，其等效摆长等于甲摆的摆长；乙在纸面内小角度摆动时，等效摆长等于丙摆的摆长。
(2)①公式中g是单摆所在地的重力加速度，由单摆所在的空间位置决定。
②等效重力加速度：一般情况下，公式中g的值等于摆球静止在平衡位置时，摆线的拉力与摆球质量的比值。
(1)摆球的质量越大，周期越大。( )
(2)若单摆的振幅变为原来的一半，则周期也将变为原来的一半。( )
例3 周期是2 s的单摆叫秒摆，秒摆的摆长是多少？把一个地球上的秒摆拿到月球上去，它在月球上做50次全振动要用多长时间？已知地球表面的重力加速度为9.8 m/s2，月球上的自由落体加速度为1.6 m/s2，π2取9.8。
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例4 (2022·江苏南京市高二期中)某一单摆的位移－时间图像如图所示，当地的重力加速度为9.8 m/s2，π2取9.8，则该单摆的( )
A．摆长为0.1 m B．周期为1.25 s
C．频率为1 Hz D．振幅是0.2 m
例5 如图所示，MN为半径较大的光滑圆弧的一部分，把小球A放在MN的圆心处，再把另一个小球B放在MN上离最低点C很近的B处(弧BC所对圆心角小于5°)，今使两小球同时静止释放，不计空气阻力，则( )
A．球A先到达C点
B．球B先到达C点
C．两球同时到达C点
D．无法确定哪个球先到达C点
针对训练 如图所示，几个摆长相同的单摆，它们在不同条件下的周期分别为T1、T2、T3、T4，关于周期大小关系的判断，正确的是( )
A．T1>T2>T3>T4 B．T1C．T1T2＝T3>T4
4 单摆
[学习目标] 1.理解单摆模型和单摆做简谐运动的条件，知道单摆振动时回复力的来源(重点)。2.理解影响单摆周期的因素，能熟练应用单摆周期公式解决问题(重难点)。
一、单摆的回复力
如图所示，一根细线上端固定，下端连接一个金属小球，用手使小球偏离竖直方向一个很小的夹角，然后释放，小球在A、A′间来回摆动，不计空气的阻力。
(1)小球摆动过程中受到哪些力的作用？
(2)什么力提供向心力？什么力提供回复力？
(3)小球经过平衡位置O点时回复力为零，合外力也为零吗？
答案 (1)小球受重力和细线的拉力作用。
(2)细线的拉力和重力沿径向的分力的合力提供向心力。重力沿切线方向的分力提供小球振动的回复力。
(3)小球经过平衡位置时，做圆周运动，其合外力不为零。
1．单摆的组成：由细线和小球组成。
2．理想化模型
(1)细线的质量与小球相比可以忽略。
(2)小球的直径与线的长度相比可以忽略。
(3)细线的形变量与细线长度相比可以忽略。
(4)空气阻力与小球的重力及细线的拉力相比可以忽略。
3．单摆的回复力
(1)回复力的来源：摆球的重力沿圆弧切线方向的分力，即F＝mgsin θ。
(2)回复力的特点：在摆角很小时，摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总指向平衡位置，即F＝－eq \f(mg,l)x。从回复力特点可以判断单摆做简谐运动。
判断下列5幅图中的摆动模型能否看成单摆？若不能，请说明原因。
答案 均不能看成单摆。图(a)(d)摆动过程中摆长会发生变化，图(b)空气阻力不能忽略，图(c)球的直径与绳的长度相比不能忽略，图(e)绳的质量与小球相比不能忽略。
单摆做简谐运动的推证
在偏角很小时，用弧度表示的θ与它的正弦sin θ近似相等，即sin θ≈θ≈eq \f(x,l)，因此单摆的回复力可表示为F＝－eq \f(mg,l)x(式中x表示摆球偏离平衡位置的位移，l表示单摆的摆长，负号表示回复力F与位移x的方向相反)，由此知回复力符合F＝－kx，单摆做简谐运动。
(1)摆球受到重力、拉力、向心力、回复力四个力的作用。( × )
(2)单摆运动的回复力是重力和摆线拉力的合力。( × )
(3)单摆经过平衡位置时受到的合力为零。( × )
(4)单摆摆动到最高点时速度为零，合外力也为零。( × )
例1 (2023·山东省青岛一中月考)图中O点为单摆的固定悬点，现将摆球(可视为质点)拉至A点，此时细线处于张紧状态，释放摆球，摆球将在竖直平面内的A、C之间来回摆动，B点为运动中的最低位置，则在摆动过程中( )
A．摆球受到重力、拉力、回复力三个力的作用
B．摆球在A点和C点处，速度为零，回复力也为零
C．摆球在B点处，速度最大，细线拉力也最大
D．摆球在B点处，速度最大，回复力也最大
答案 C
解析 摆球在运动过程中只受到重力和拉力作用，A错误；摆球在摆动过程中，在最高点A、C处速度为零，回复力最大，合力不为零，在最低点B处，速度最大，回复力为零，细线的拉力最大，C正确，B、D错误。
例2 如图所示，图甲为一单摆，摆球质量为m，摆长为L，做小角度摆动，摆角为θ(θ<5°)，重力加速度为g，不计空气阻力，图乙是某次小球从左端由静止释放，摆球第一次由左向右通过平衡位置开始计时，位移x随时间t变化的图像，求：
(1)刚释放时小球的回复力；
(2)t＝1.5 s时小球的位置和0～1.5 s内的路程。
答案 (1)mgsin θ (2)最左端(或初始位置) 24 cm
解析 (1)对小球受力分析如图所示
重力沿半径方向分力参与提供向心力，而重力沿切线方向分力提供回复力，
有F＝G1＝mgsin θ
(2)根据x－t图像，可得单摆的周期T＝2 s，而t＝1.5 s＝eq \f(3,4)T
即单摆从平衡位置开始经过四分之三个周期的振动，即处于最左端(或初始位置)；
而路程为s＝3A＝3×8 cm＝24 cm。
二、单摆的周期
1．单摆振动的周期与摆球质量无关(选填“有关”或“无关”)，在振幅较小时与振幅无关(选填“有关”或“无关”)，但与摆长有关(选填“有关”或“无关”)，摆长越长，周期越大(选填“越大”“越小”或“不变”)。
2．单摆周期公式
(1)提出：单摆周期公式是荷兰物理学家惠更斯首先提出的。
(2)公式：T＝2πeq \r(\f(l,g))，即周期T与摆长l的二次方根成正比，与重力加速度g的二次方根成反比，而与振幅、摆球质量无关。
惠更斯利用摆的等时性发明了带摆的计时器，叫摆钟。摆钟运行时克服摩擦所需的能量由重锤的势能提供，运行的速率由钟摆控制。旋转钟摆下端的螺母可以使摆上的圆盘沿摆杆上下移动。请思考：
(1)摆针走时偏快应如何校准？
(2)将一个走时准确的摆钟从福建移到北京，摆钟应如何校准？
答案 (1)摆针走时偏快应调节螺母使圆盘沿摆杆下移。
(2)调节螺母使圆盘沿摆杆下移。
对单摆周期公式的理解
1．成立条件：单摆偏角很小(偏角小于5°)。
2．影响因素：周期T只与l和g有关，与摆球质量m及振幅无关，所以单摆的周期也叫固有周期。
3．对l、g的理解
(1)公式中l是摆长，即悬点到摆球球心的距离。
①普通单摆，摆长l＝l′＋eq \f(D,2)，l′为摆线长，D为摆球直径。
②等效摆长：(a)图中，甲、乙在垂直纸面方向上摆动起来效果是相同的，甲摆的等效摆长为lsin α，其周期T＝2πeq \r(\f(lsin α,g))。(b)图中，乙在垂直纸面方向摆动时，其等效摆长等于甲摆的摆长；乙在纸面内小角度摆动时，等效摆长等于丙摆的摆长。
(2)①公式中g是单摆所在地的重力加速度，由单摆所在的空间位置决定。
②等效重力加速度：一般情况下，公式中g的值等于摆球静止在平衡位置时，摆线的拉力与摆球质量的比值。
(1)摆球的质量越大，周期越大。( × )
(2)若单摆的振幅变为原来的一半，则周期也将变为原来的一半。( × )
例3 周期是2 s的单摆叫秒摆，秒摆的摆长是多少？把一个地球上的秒摆拿到月球上去，它在月球上做50次全振动要用多长时间？已知地球表面的重力加速度为9.8 m/s2，月球上的自由落体加速度为1.6 m/s2，π2取9.8。
答案 1 m 175eq \r(2) s
解析 根据单摆周期公式T＝2πeq \r(\f(l,g))可得l＝eq \f(gT2,4π2)
数据解得l＝eq \f(9.8×22,4×9.8) m＝1 m
秒摆搬到月球上，其与地球上的秒摆的周期关系为eq \f(T′,T)＝eq \r(\f(g,g′))
它在月球上做50次全振动所用的时间为
t＝50T′＝50Teq \r(\f(g,g′))＝50×2×eq \r(\f(9.8,1.6)) s＝175eq \r(2) s。
例4 (2022·江苏南京市高二期中)某一单摆的位移－时间图像如图所示，当地的重力加速度为9.8 m/s2，π2取9.8，则该单摆的( )
A．摆长为0.1 m B．周期为1.25 s
C．频率为1 Hz D．振幅是0.2 m
答案 C
解析 由题图读出单摆的周期T＝1 s，由单摆周期公式T＝2πeq \r(\f(l,g))得摆长为l＝eq \f(gT2,4π2)，解得l＝0.25 m，A、B错误；频率为f＝eq \f(1,T)＝1 Hz，C正确；振幅等于位移的最大值，由题图读出振幅为A＝0.1 m，D错误。
例5 如图所示，MN为半径较大的光滑圆弧的一部分，把小球A放在MN的圆心处，再把另一个小球B放在MN上离最低点C很近的B处(弧BC所对圆心角小于5°)，今使两小球同时静止释放，不计空气阻力，则( )
A．球A先到达C点
B．球B先到达C点
C．两球同时到达C点
D．无法确定哪个球先到达C点
答案 A
解析 球A做自由落体运动，到达C点的时间为tA＝eq \r(\f(2h,g))＝eq \r(\f(2R,g))
当弧BC所对的圆心角小于5°时，球B在圆弧的支持力FN和重力G的作用下做简谐运动(与单摆类似)，它的振动周期为T＝2πeq \r(\f(l,g))＝2πeq \r(\f(R,g))，
因此球B运动到C点所需的时间是
tB＝eq \f(T,4)＝eq \f(π,2)eq \r(\f(R,g))
故tA针对训练 如图所示，几个摆长相同的单摆，它们在不同条件下的周期分别为T1、T2、T3、T4，关于周期大小关系的判断，正确的是( )
A．T1>T2>T3>T4 B．T1C．T1T2＝T3>T4
答案 D
解析 根据单摆周期公式T＝2πeq \r(\f(l,g))可知单摆的周期与振幅和摆球质量无关，与摆长和重力加速度有关。题图甲中沿斜面的加速度为a1＝gsin θ，所以周期T1＝2πeq \r(\f(l,gsin θ))，题图乙中摆球所受的库仑力始终沿摆线方向，回复力由重力沿圆弧切线方向的分力提供，故摆球的等效重力加速度为a2＝g，所以周期T2＝2πeq \r(\f(l,g))，题图丙中的周期T3＝2πeq \r(\f(l,g))，题图丁中的等效重力加速度为a4＝g＋a，所以周期T4＝2πeq \r(\f(l,g＋a))，故T1>T2＝T3>T4，故A、B、C错误，D正确。