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第一章 专题强化4 子弹打木块模型 滑块—木板模型 学案（含答案 学生版+教师版）
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专题强化4 子弹打木块模型 滑块—木板模型[学习目标] 1.进一步理解动量守恒条件。2.会分析两物体在相对运动过程中的能量转换(重点)。3.能够从动量和能量的观点分析子弹打木块模型、滑块—木板模型(重难点)。一、子弹打木块模型1.如图所示，质量为M＝1 kg的木块静止于粗糙的水平面上，木块与水平面间的动摩擦因数为0.2，一质量为m＝20 g、速度为v0＝600 m/s的子弹水平射入木块，穿出时的速度为v＝100 m/s，若木块的宽度为d＝0.1 m，重力加速度g＝10 m/s2，试求子弹与木块间的平均作用力与木块和地面间的滑动摩擦力之比，并根据结果分析在解决此类问题时应如何处理？________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________2.如图所示，质量为M的木块静止于光滑的水平面上，一质量为m、速度为v0的子弹水平射入木块且未穿出，设木块对子弹的阻力恒为F，则(1)子弹与木块相对静止时二者共同速度为多大？(2)子弹射入过程中产生的内能为多少？(3)木块至少为多长时子弹不会穿出？________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1．模型特点(1)子弹打木块的过程很短暂，认为该过程内力远大于外力，系统动量守恒。(地面光滑或不光滑都成立)(2)在子弹打木块过程中摩擦生热，系统机械能不守恒，机械能向内能转化。2．两种类型(1)子弹留在木块中(未穿出)①动量守恒：mv0＝(m＋M)v②机械能损失(摩擦生热)Q热＝Ff·d＝eq \f(1,2)mv02－eq \f(1,2)(m＋M)v2其中d为子弹射入木块的深度。此过程相当于完全非弹性碰撞，动能损失最多。(2)子弹穿出木块①动量守恒：mv0＝mv1＋Mv2②机械能的损失(摩擦生热)Q热＝Ff·L＝eq \f(1,2)mv02－eq \f(1,2)mv12－eq \f(1,2)Mv22其中L为木块的长度，注意d≤L。例1 (2022·江苏南通市高二期末)把一个质量m＝0.2 kg的小球放在高度为h＝5.0 m 的直杆的顶端。一颗质量m′＝0.01 kg的子弹以某一速度沿水平方向击中小球，并穿过球心，子弹落地处离杆的距离为s′＝100 m，小球落地处离杆的距离为 s＝20 m。(g取10 m/s2)求：(1)子弹击中小球前的速度大小v0。(2)子弹穿过小球过程中系统产生的内能。________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________针对训练1 (2023·江苏徐州市王杰中学高二阶段练习)矩形滑块由不同材料按上、下两层黏合在一起组成，将其放在光滑的水平面上，质量为m的子弹以速度v水平射向滑块。若射击滑块下层，则子弹刚好不射出滑块；若射击滑块上层，则子弹刚好能射穿滑块的一半厚度，如图所示。则上述两种情况相比较( )A．子弹的末速度大小不相等B．系统产生的热量一样多C．子弹对滑块做的功不相同D．子弹和滑块间的水平作用力一样大二、滑块—木板模型如图所示，在光滑的水平地面上，质量为m的滑块以初速度v0从滑块的左边缘滑上质量为M的木板的上表面，若滑块始终未滑离木板，滑块和木板间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g。(1)此过程系统的动量是否守恒？系统的机械能是否守恒？(2)若滑块恰未脱离木板，试求木板的长度L。________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1．把滑块、木板看成一个整体，摩擦力为内力，若水平面光滑，滑块和木板组成的系统动量守恒。2．由于摩擦生热，机械能转化为内能，系统机械能不守恒，根据能量守恒定律，机械能的减少量等于因摩擦而产生的热量，即ΔE＝Ff·s相对，其中s相对为滑块和木板相对滑动的路程。3．注意：若滑块不滑离木板，就意味着二者最终具有共同速度，此过程相当于完全非弹性碰撞，机械能损失最多。例2 质量为M＝1.0 kg的长木板A在光滑水平面上以v1＝0.5 m/s的速度向左运动，某时刻质量为m＝0.5 kg的小木块B以v2＝4 m/s的速度从左端向右滑上长木板，经过时间t＝0.6 s小木块B相对A静止，重力加速度g＝10 m/s2，求：(1)两者相对静止时的运动速度v；(2)小木块与长木板间的动摩擦因数μ；(3)为使小木块不从长木板另一端掉下来，长木板长度L至少多长？________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________针对训练2 (2022·江苏苏州外国语学校高二期末)图甲中，长为L的长木板静止于光滑水平面上，小物块位于木板的右端点。t＝0时，木板以速度v0开始向右滑动，小物块恰好没有从长木板上滑落。图乙为物块与木板运动的v－t图像，重力加速度为g，则( )A．物块质量是木板质量的eq \f(2,3)B．物块与木板间的动摩擦因数为eq \f(3v02,8gL)C．0～t0内，物块与木板损失的动能为木板初动能的eq \f(3,8)D．物块的最大动能是木板初动能的eq \f(3,8)例3 质量为m的长木板A静止在光滑水平面上，另外两个质量也为m的物块B和C分别同时从A的左、右两端滑上A的上表面，初速度大小分别为v和2v，如图所示。物块B、C与长木板A间的动摩擦因数均为μ，假设物块B、C在长木板A表面上运动时始终没有碰撞。试求：(1)B、C刚滑上长木板A时，A所受合外力为多大？________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)长木板A的最终运动速度为多大？(3)为使物块B、C不相撞，长木板A至少多长？________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1．从物块滑上木板至两者共速时，若物块仍未脱离木板，此过程相当于完全非弹性碰撞过程。2．若地面光滑，物块和木板组成的系统动量守恒；若地面粗糙，系统的总动量将发生变化。专题强化4 子弹打木块模型 滑块—木板模型[学习目标] 1.进一步理解动量守恒条件。2.会分析两物体在相对运动过程中的能量转换(重点)。3.能够从动量和能量的观点分析子弹打木块模型、滑块—木板模型(重难点)。一、子弹打木块模型1.如图所示，质量为M＝1 kg的木块静止于粗糙的水平面上，木块与水平面间的动摩擦因数为0.2，一质量为m＝20 g、速度为v0＝600 m/s的子弹水平射入木块，穿出时的速度为v＝100 m/s，若木块的宽度为d＝0.1 m，重力加速度g＝10 m/s2，试求子弹与木块间的平均作用力与木块和地面间的滑动摩擦力之比，并根据结果分析在解决此类问题时应如何处理？答案 由动能定理可得－eq \x\to(F)·d＝eq \f(1,2)mv2－eq \f(1,2)mv02解得eq \x\to(F)＝3.5×104 N木块与地面间的滑动摩擦力Ff＝μMg＝2 N两者之比为eq \f(\x\to(F),Ff)＝17 500由此可知，子弹与木块间的平均作用力远大于木块与地面间的作用力，因此子弹和木块组成的系统在相互作用过程中满足动量守恒的条件。2.如图所示，质量为M的木块静止于光滑的水平面上，一质量为m、速度为v0的子弹水平射入木块且未穿出，设木块对子弹的阻力恒为F，则(1)子弹与木块相对静止时二者共同速度为多大？(2)子弹射入过程中产生的内能为多少？(3)木块至少为多长时子弹不会穿出？答案 (1)子弹与木块组成的系统动量守恒，以子弹的初速度方向为正方向，由动量守恒定律得：mv0＝(m＋M)v解得：v＝eq \f(mv0,m＋M)(2)由能量守恒定律可知：eq \f(1,2)mv02＝Q＋eq \f(1,2)(m＋M)v2得产生的热量为：Q＝eq \f(Mmv02,2M＋m)(3)设木块最小长度为L，由能量守恒定律：FL＝Q得木块的最小长度为：L＝eq \f(Mmv02,2M＋mF)。1．模型特点(1)子弹打木块的过程很短暂，认为该过程内力远大于外力，系统动量守恒。(地面光滑或不光滑都成立)(2)在子弹打木块过程中摩擦生热，系统机械能不守恒，机械能向内能转化。2．两种类型(1)子弹留在木块中(未穿出)①动量守恒：mv0＝(m＋M)v②机械能损失(摩擦生热)Q热＝Ff·d＝eq \f(1,2)mv02－eq \f(1,2)(m＋M)v2其中d为子弹射入木块的深度。此过程相当于完全非弹性碰撞，动能损失最多。(2)子弹穿出木块①动量守恒：mv0＝mv1＋Mv2②机械能的损失(摩擦生热)Q热＝Ff·L＝eq \f(1,2)mv02－eq \f(1,2)mv12－eq \f(1,2)Mv22其中L为木块的长度，注意d≤L。例1 (2022·江苏南通市高二期末)把一个质量m＝0.2 kg的小球放在高度为h＝5.0 m的直杆的顶端。一颗质量m′＝0.01 kg的子弹以某一速度沿水平方向击中小球，并穿过球心，子弹落地处离杆的距离为s′＝100 m，小球落地处离杆的距离为 s＝20 m。(g取10 m/s2)求：(1)子弹击中小球前的速度大小v0。(2)子弹穿过小球过程中系统产生的内能。答案 (1)500 m/s (2)1 160 J解析 (1)由h＝eq \f(1,2)gt2，得t＝1 s设子弹穿过小球后的速度为v1，小球速度为v2，由s′＝v1t，得v1＝100 m/s由s＝v2t，有v2＝20 m/s根据动量守恒有m′v0＝m′v1＋mv2，得v0＝500 m/s(2)根据穿过前后能量守恒有Q＝eq \f(1,2)m′v02－(eq \f(1,2)m′v12＋eq \f(1,2)mv22)，解得Q＝1 160 J。针对训练1 (2023·江苏徐州市王杰中学高二阶段练习)矩形滑块由不同材料按上、下两层黏合在一起组成，将其放在光滑的水平面上，质量为m的子弹以速度v水平射向滑块。若射击滑块下层，则子弹刚好不射出滑块；若射击滑块上层，则子弹刚好能射穿滑块的一半厚度，如图所示。则上述两种情况相比较( )A．子弹的末速度大小不相等B．系统产生的热量一样多C．子弹对滑块做的功不相同D．子弹和滑块间的水平作用力一样大答案 B解析 根据动量守恒，两种情况下子弹最终与滑块的速度相等，选项A错误；根据能量守恒可知，初状态两子弹动能相同，末状态两滑块与子弹的动能也相同，因此损失的动能转化成的热量也相同，选项B正确；子弹对滑块做的功等于滑块末状态的动能，因此子弹对滑块做功相同，选项C错误；系统产生的热量Q＝FfΔx，由于两种情况下系统产生的热量相同，而相对位移Δx不同，因此子弹和滑块间的水平作用力大小不同，选项D错误。二、滑块—木板模型如图所示，在光滑的水平地面上，质量为m的滑块以初速度v0从滑块的左边缘滑上质量为M的木板的上表面，若滑块始终未滑离木板，滑块和木板间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g。(1)此过程系统的动量是否守恒？系统的机械能是否守恒？(2)若滑块恰未脱离木板，试求木板的长度L。答案 (1)系统的合外力为零，故系统的动量守恒。由于摩擦力对系统做负功，系统机械能不守恒。(2)根据动量守恒：mv0＝(m＋M)v系统机械能损失(摩擦生热)，Q热＝Ff·x相对＝eq \f(1,2)mv02－eq \f(1,2)(m＋M)v2，Ff＝μmg若滑块恰未脱离木板，则L＝x相对解得L＝eq \f(Mv02,2μgm＋M)。1．把滑块、木板看成一个整体，摩擦力为内力，若水平面光滑，滑块和木板组成的系统动量守恒。2．由于摩擦生热，机械能转化为内能，系统机械能不守恒，根据能量守恒定律，机械能的减少量等于因摩擦而产生的热量，即ΔE＝Ff·s相对，其中s相对为滑块和木板相对滑动的路程。3．注意：若滑块不滑离木板，就意味着二者最终具有共同速度，此过程相当于完全非弹性碰撞，机械能损失最多。例2 质量为M＝1.0 kg的长木板A在光滑水平面上以v1＝0.5 m/s的速度向左运动，某时刻质量为m＝0.5 kg的小木块B以v2＝4 m/s的速度从左端向右滑上长木板，经过时间t＝0.6 s小木块B相对A静止，重力加速度g＝10 m/s2，求：(1)两者相对静止时的运动速度v；(2)小木块与长木板间的动摩擦因数μ；(3)为使小木块不从长木板另一端掉下来，长木板长度L至少多长？答案 (1)1 m/s，方向水平向右 (2)0.5 (3)1.35 m解析 设水平向右为正方向(1)从开始到两者相对静止，对长木板与小木块组成的系统，由水平方向动量守恒得－Mv1＋mv2＝(M＋m)v解得v＝1 m/s，方向水平向右(2)对小木块B，根据动量定理得－μmgt＝mv－mv2解得μ＝0.5(3)为使小木块不从长木板另一端掉下来，当小木块到达木板右端时，恰好二者共速，此时木板长度最短，根据功能关系有μmgL＝eq \f(1,2)Mv12＋eq \f(1,2)mv22－eq \f(1,2)(m＋M)v2代入数据解得L＝1.35 m。针对训练2 (2022·江苏苏州外国语学校高二期末)图甲中，长为L的长木板静止于光滑水平面上，小物块位于木板的右端点。t＝0时，木板以速度v0开始向右滑动，小物块恰好没有从长木板上滑落。图乙为物块与木板运动的v－t图像，重力加速度为g，则( )A．物块质量是木板质量的eq \f(2,3)B．物块与木板间的动摩擦因数为eq \f(3v02,8gL)C．0～t0内，物块与木板损失的动能为木板初动能的eq \f(3,8)D．物块的最大动能是木板初动能的eq \f(3,8)答案 B解析 设木板的质量为M，物块的质量为m，由动量守恒定律结合题图乙可得Mv0＝(m＋M)eq \f(3,4)v0，解得M＝3m，A错误；对于系统，由能量守恒定律得μmgL＝eq \f(1,2)Mv02－eq \f(1,2)(m＋M)(eq \f(3,4)v0)2，解得μ＝eq \f(3v02,8gL)，B正确；0～t0内，物块与木板损失的动能为ΔEk＝eq \f(1,2)Mv02－eq \f(1,2)(m＋M)(eq \f(3,4)v0)2＝eq \f(1,8)Mv02，物块与木板损失的动能为木板初动能的eq \f(1,4)，C错误；物块的最大动能是eq \f(1,2)m(eq \f(3,4)v0)2＝eq \f(3,32)Mv02，是木板初动能的eq \f(3,16)，D错误。例3 质量为m的长木板A静止在光滑水平面上，另外两个质量也为m的物块B和C分别同时从A的左、右两端滑上A的上表面，初速度大小分别为v和2v，如图所示。物块B、C与长木板A间的动摩擦因数均为μ，假设物块B、C在长木板A表面上运动时始终没有碰撞。试求：(1)B、C刚滑上长木板A时，A所受合外力为多大？(2)长木板A的最终运动速度为多大？(3)为使物块B、C不相撞，长木板A至少多长？答案 见解析解析 (1)A受力如图所示，A受到的合力为：FA合＝μmg－μmg＝0。(2)系统所受合外力为零，系统动量守恒，以向左为正方向，由动量守恒定律得：m·2v－mv＝(m＋m＋m)v′，解得A、B、C最终的共同速度：v′＝eq \f(v,3)，即木板A最终运动的速度为eq \f(v,3)，方向水平向左。(3)对系统，由能量守恒定律得：eq \f(1,2)mv2＋eq \f(1,2)m(2v)2＝eq \f(1,2)(m＋m＋m)v′2＋μmgL，解得：L＝eq \f(7v2,3μg)。1．从物块滑上木板至两者共速时，若物块仍未脱离木板，此过程相当于完全非弹性碰撞过程。2．若地面光滑，物块和木板组成的系统动量守恒；若地面粗糙，系统的总动量将发生变化。
专题强化4 子弹打木块模型 滑块—木板模型[学习目标] 1.进一步理解动量守恒条件。2.会分析两物体在相对运动过程中的能量转换(重点)。3.能够从动量和能量的观点分析子弹打木块模型、滑块—木板模型(重难点)。一、子弹打木块模型1.如图所示，质量为M＝1 kg的木块静止于粗糙的水平面上，木块与水平面间的动摩擦因数为0.2，一质量为m＝20 g、速度为v0＝600 m/s的子弹水平射入木块，穿出时的速度为v＝100 m/s，若木块的宽度为d＝0.1 m，重力加速度g＝10 m/s2，试求子弹与木块间的平均作用力与木块和地面间的滑动摩擦力之比，并根据结果分析在解决此类问题时应如何处理？________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________2.如图所示，质量为M的木块静止于光滑的水平面上，一质量为m、速度为v0的子弹水平射入木块且未穿出，设木块对子弹的阻力恒为F，则(1)子弹与木块相对静止时二者共同速度为多大？(2)子弹射入过程中产生的内能为多少？(3)木块至少为多长时子弹不会穿出？________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1．模型特点(1)子弹打木块的过程很短暂，认为该过程内力远大于外力，系统动量守恒。(地面光滑或不光滑都成立)(2)在子弹打木块过程中摩擦生热，系统机械能不守恒，机械能向内能转化。2．两种类型(1)子弹留在木块中(未穿出)①动量守恒：mv0＝(m＋M)v②机械能损失(摩擦生热)Q热＝Ff·d＝eq \f(1,2)mv02－eq \f(1,2)(m＋M)v2其中d为子弹射入木块的深度。此过程相当于完全非弹性碰撞，动能损失最多。(2)子弹穿出木块①动量守恒：mv0＝mv1＋Mv2②机械能的损失(摩擦生热)Q热＝Ff·L＝eq \f(1,2)mv02－eq \f(1,2)mv12－eq \f(1,2)Mv22其中L为木块的长度，注意d≤L。例1 (2022·江苏南通市高二期末)把一个质量m＝0.2 kg的小球放在高度为h＝5.0 m 的直杆的顶端。一颗质量m′＝0.01 kg的子弹以某一速度沿水平方向击中小球，并穿过球心，子弹落地处离杆的距离为s′＝100 m，小球落地处离杆的距离为 s＝20 m。(g取10 m/s2)求：(1)子弹击中小球前的速度大小v0。(2)子弹穿过小球过程中系统产生的内能。________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________针对训练1 (2023·江苏徐州市王杰中学高二阶段练习)矩形滑块由不同材料按上、下两层黏合在一起组成，将其放在光滑的水平面上，质量为m的子弹以速度v水平射向滑块。若射击滑块下层，则子弹刚好不射出滑块；若射击滑块上层，则子弹刚好能射穿滑块的一半厚度，如图所示。则上述两种情况相比较( )A．子弹的末速度大小不相等B．系统产生的热量一样多C．子弹对滑块做的功不相同D．子弹和滑块间的水平作用力一样大二、滑块—木板模型如图所示，在光滑的水平地面上，质量为m的滑块以初速度v0从滑块的左边缘滑上质量为M的木板的上表面，若滑块始终未滑离木板，滑块和木板间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g。(1)此过程系统的动量是否守恒？系统的机械能是否守恒？(2)若滑块恰未脱离木板，试求木板的长度L。________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1．把滑块、木板看成一个整体，摩擦力为内力，若水平面光滑，滑块和木板组成的系统动量守恒。2．由于摩擦生热，机械能转化为内能，系统机械能不守恒，根据能量守恒定律，机械能的减少量等于因摩擦而产生的热量，即ΔE＝Ff·s相对，其中s相对为滑块和木板相对滑动的路程。3．注意：若滑块不滑离木板，就意味着二者最终具有共同速度，此过程相当于完全非弹性碰撞，机械能损失最多。例2 质量为M＝1.0 kg的长木板A在光滑水平面上以v1＝0.5 m/s的速度向左运动，某时刻质量为m＝0.5 kg的小木块B以v2＝4 m/s的速度从左端向右滑上长木板，经过时间t＝0.6 s小木块B相对A静止，重力加速度g＝10 m/s2，求：(1)两者相对静止时的运动速度v；(2)小木块与长木板间的动摩擦因数μ；(3)为使小木块不从长木板另一端掉下来，长木板长度L至少多长？________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________针对训练2 (2022·江苏苏州外国语学校高二期末)图甲中，长为L的长木板静止于光滑水平面上，小物块位于木板的右端点。t＝0时，木板以速度v0开始向右滑动，小物块恰好没有从长木板上滑落。图乙为物块与木板运动的v－t图像，重力加速度为g，则( )A．物块质量是木板质量的eq \f(2,3)B．物块与木板间的动摩擦因数为eq \f(3v02,8gL)C．0～t0内，物块与木板损失的动能为木板初动能的eq \f(3,8)D．物块的最大动能是木板初动能的eq \f(3,8)例3 质量为m的长木板A静止在光滑水平面上，另外两个质量也为m的物块B和C分别同时从A的左、右两端滑上A的上表面，初速度大小分别为v和2v，如图所示。物块B、C与长木板A间的动摩擦因数均为μ，假设物块B、C在长木板A表面上运动时始终没有碰撞。试求：(1)B、C刚滑上长木板A时，A所受合外力为多大？________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)长木板A的最终运动速度为多大？(3)为使物块B、C不相撞，长木板A至少多长？________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1．从物块滑上木板至两者共速时，若物块仍未脱离木板，此过程相当于完全非弹性碰撞过程。2．若地面光滑，物块和木板组成的系统动量守恒；若地面粗糙，系统的总动量将发生变化。专题强化4 子弹打木块模型 滑块—木板模型[学习目标] 1.进一步理解动量守恒条件。2.会分析两物体在相对运动过程中的能量转换(重点)。3.能够从动量和能量的观点分析子弹打木块模型、滑块—木板模型(重难点)。一、子弹打木块模型1.如图所示，质量为M＝1 kg的木块静止于粗糙的水平面上，木块与水平面间的动摩擦因数为0.2，一质量为m＝20 g、速度为v0＝600 m/s的子弹水平射入木块，穿出时的速度为v＝100 m/s，若木块的宽度为d＝0.1 m，重力加速度g＝10 m/s2，试求子弹与木块间的平均作用力与木块和地面间的滑动摩擦力之比，并根据结果分析在解决此类问题时应如何处理？答案 由动能定理可得－eq \x\to(F)·d＝eq \f(1,2)mv2－eq \f(1,2)mv02解得eq \x\to(F)＝3.5×104 N木块与地面间的滑动摩擦力Ff＝μMg＝2 N两者之比为eq \f(\x\to(F),Ff)＝17 500由此可知，子弹与木块间的平均作用力远大于木块与地面间的作用力，因此子弹和木块组成的系统在相互作用过程中满足动量守恒的条件。2.如图所示，质量为M的木块静止于光滑的水平面上，一质量为m、速度为v0的子弹水平射入木块且未穿出，设木块对子弹的阻力恒为F，则(1)子弹与木块相对静止时二者共同速度为多大？(2)子弹射入过程中产生的内能为多少？(3)木块至少为多长时子弹不会穿出？答案 (1)子弹与木块组成的系统动量守恒，以子弹的初速度方向为正方向，由动量守恒定律得：mv0＝(m＋M)v解得：v＝eq \f(mv0,m＋M)(2)由能量守恒定律可知：eq \f(1,2)mv02＝Q＋eq \f(1,2)(m＋M)v2得产生的热量为：Q＝eq \f(Mmv02,2M＋m)(3)设木块最小长度为L，由能量守恒定律：FL＝Q得木块的最小长度为：L＝eq \f(Mmv02,2M＋mF)。1．模型特点(1)子弹打木块的过程很短暂，认为该过程内力远大于外力，系统动量守恒。(地面光滑或不光滑都成立)(2)在子弹打木块过程中摩擦生热，系统机械能不守恒，机械能向内能转化。2．两种类型(1)子弹留在木块中(未穿出)①动量守恒：mv0＝(m＋M)v②机械能损失(摩擦生热)Q热＝Ff·d＝eq \f(1,2)mv02－eq \f(1,2)(m＋M)v2其中d为子弹射入木块的深度。此过程相当于完全非弹性碰撞，动能损失最多。(2)子弹穿出木块①动量守恒：mv0＝mv1＋Mv2②机械能的损失(摩擦生热)Q热＝Ff·L＝eq \f(1,2)mv02－eq \f(1,2)mv12－eq \f(1,2)Mv22其中L为木块的长度，注意d≤L。例1 (2022·江苏南通市高二期末)把一个质量m＝0.2 kg的小球放在高度为h＝5.0 m的直杆的顶端。一颗质量m′＝0.01 kg的子弹以某一速度沿水平方向击中小球，并穿过球心，子弹落地处离杆的距离为s′＝100 m，小球落地处离杆的距离为 s＝20 m。(g取10 m/s2)求：(1)子弹击中小球前的速度大小v0。(2)子弹穿过小球过程中系统产生的内能。答案 (1)500 m/s (2)1 160 J解析 (1)由h＝eq \f(1,2)gt2，得t＝1 s设子弹穿过小球后的速度为v1，小球速度为v2，由s′＝v1t，得v1＝100 m/s由s＝v2t，有v2＝20 m/s根据动量守恒有m′v0＝m′v1＋mv2，得v0＝500 m/s(2)根据穿过前后能量守恒有Q＝eq \f(1,2)m′v02－(eq \f(1,2)m′v12＋eq \f(1,2)mv22)，解得Q＝1 160 J。针对训练1 (2023·江苏徐州市王杰中学高二阶段练习)矩形滑块由不同材料按上、下两层黏合在一起组成，将其放在光滑的水平面上，质量为m的子弹以速度v水平射向滑块。若射击滑块下层，则子弹刚好不射出滑块；若射击滑块上层，则子弹刚好能射穿滑块的一半厚度，如图所示。则上述两种情况相比较( )A．子弹的末速度大小不相等B．系统产生的热量一样多C．子弹对滑块做的功不相同D．子弹和滑块间的水平作用力一样大答案 B解析 根据动量守恒，两种情况下子弹最终与滑块的速度相等，选项A错误；根据能量守恒可知，初状态两子弹动能相同，末状态两滑块与子弹的动能也相同，因此损失的动能转化成的热量也相同，选项B正确；子弹对滑块做的功等于滑块末状态的动能，因此子弹对滑块做功相同，选项C错误；系统产生的热量Q＝FfΔx，由于两种情况下系统产生的热量相同，而相对位移Δx不同，因此子弹和滑块间的水平作用力大小不同，选项D错误。二、滑块—木板模型如图所示，在光滑的水平地面上，质量为m的滑块以初速度v0从滑块的左边缘滑上质量为M的木板的上表面，若滑块始终未滑离木板，滑块和木板间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g。(1)此过程系统的动量是否守恒？系统的机械能是否守恒？(2)若滑块恰未脱离木板，试求木板的长度L。答案 (1)系统的合外力为零，故系统的动量守恒。由于摩擦力对系统做负功，系统机械能不守恒。(2)根据动量守恒：mv0＝(m＋M)v系统机械能损失(摩擦生热)，Q热＝Ff·x相对＝eq \f(1,2)mv02－eq \f(1,2)(m＋M)v2，Ff＝μmg若滑块恰未脱离木板，则L＝x相对解得L＝eq \f(Mv02,2μgm＋M)。1．把滑块、木板看成一个整体，摩擦力为内力，若水平面光滑，滑块和木板组成的系统动量守恒。2．由于摩擦生热，机械能转化为内能，系统机械能不守恒，根据能量守恒定律，机械能的减少量等于因摩擦而产生的热量，即ΔE＝Ff·s相对，其中s相对为滑块和木板相对滑动的路程。3．注意：若滑块不滑离木板，就意味着二者最终具有共同速度，此过程相当于完全非弹性碰撞，机械能损失最多。例2 质量为M＝1.0 kg的长木板A在光滑水平面上以v1＝0.5 m/s的速度向左运动，某时刻质量为m＝0.5 kg的小木块B以v2＝4 m/s的速度从左端向右滑上长木板，经过时间t＝0.6 s小木块B相对A静止，重力加速度g＝10 m/s2，求：(1)两者相对静止时的运动速度v；(2)小木块与长木板间的动摩擦因数μ；(3)为使小木块不从长木板另一端掉下来，长木板长度L至少多长？答案 (1)1 m/s，方向水平向右 (2)0.5 (3)1.35 m解析 设水平向右为正方向(1)从开始到两者相对静止，对长木板与小木块组成的系统，由水平方向动量守恒得－Mv1＋mv2＝(M＋m)v解得v＝1 m/s，方向水平向右(2)对小木块B，根据动量定理得－μmgt＝mv－mv2解得μ＝0.5(3)为使小木块不从长木板另一端掉下来，当小木块到达木板右端时，恰好二者共速，此时木板长度最短，根据功能关系有μmgL＝eq \f(1,2)Mv12＋eq \f(1,2)mv22－eq \f(1,2)(m＋M)v2代入数据解得L＝1.35 m。针对训练2 (2022·江苏苏州外国语学校高二期末)图甲中，长为L的长木板静止于光滑水平面上，小物块位于木板的右端点。t＝0时，木板以速度v0开始向右滑动，小物块恰好没有从长木板上滑落。图乙为物块与木板运动的v－t图像，重力加速度为g，则( )A．物块质量是木板质量的eq \f(2,3)B．物块与木板间的动摩擦因数为eq \f(3v02,8gL)C．0～t0内，物块与木板损失的动能为木板初动能的eq \f(3,8)D．物块的最大动能是木板初动能的eq \f(3,8)答案 B解析 设木板的质量为M，物块的质量为m，由动量守恒定律结合题图乙可得Mv0＝(m＋M)eq \f(3,4)v0，解得M＝3m，A错误；对于系统，由能量守恒定律得μmgL＝eq \f(1,2)Mv02－eq \f(1,2)(m＋M)(eq \f(3,4)v0)2，解得μ＝eq \f(3v02,8gL)，B正确；0～t0内，物块与木板损失的动能为ΔEk＝eq \f(1,2)Mv02－eq \f(1,2)(m＋M)(eq \f(3,4)v0)2＝eq \f(1,8)Mv02，物块与木板损失的动能为木板初动能的eq \f(1,4)，C错误；物块的最大动能是eq \f(1,2)m(eq \f(3,4)v0)2＝eq \f(3,32)Mv02，是木板初动能的eq \f(3,16)，D错误。例3 质量为m的长木板A静止在光滑水平面上，另外两个质量也为m的物块B和C分别同时从A的左、右两端滑上A的上表面，初速度大小分别为v和2v，如图所示。物块B、C与长木板A间的动摩擦因数均为μ，假设物块B、C在长木板A表面上运动时始终没有碰撞。试求：(1)B、C刚滑上长木板A时，A所受合外力为多大？(2)长木板A的最终运动速度为多大？(3)为使物块B、C不相撞，长木板A至少多长？答案 见解析解析 (1)A受力如图所示，A受到的合力为：FA合＝μmg－μmg＝0。(2)系统所受合外力为零，系统动量守恒，以向左为正方向，由动量守恒定律得：m·2v－mv＝(m＋m＋m)v′，解得A、B、C最终的共同速度：v′＝eq \f(v,3)，即木板A最终运动的速度为eq \f(v,3)，方向水平向左。(3)对系统，由能量守恒定律得：eq \f(1,2)mv2＋eq \f(1,2)m(2v)2＝eq \f(1,2)(m＋m＋m)v′2＋μmgL，解得：L＝eq \f(7v2,3μg)。1．从物块滑上木板至两者共速时，若物块仍未脱离木板，此过程相当于完全非弹性碰撞过程。2．若地面光滑，物块和木板组成的系统动量守恒；若地面粗糙，系统的总动量将发生变化。
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