2022-2023学年重庆市北碚区兼善中学九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年重庆市北碚区兼善中学九年级（上）期末数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年重庆市北碚区兼善中学九年级（上）期末数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________第I卷（选择题）一、选择题（共12小题，共36.0分.）1.  能使有意义的的范围是(    )A.  B.  C.  D. 2.  下列根式中是最简二次根式的是(    )A.  B.  C.  D. 3.  下列说法中，正确的是(    )A. 到圆心的距离大于半径的点在圆内 B. 圆的半径垂直于圆的切线
C. 圆周角等于圆心角的一半 D. 等弧所对的圆心角相等4.  用配方法解方程，下列配方正确的是(    )A.  B.  C.  D. 5.  设为一元二次方程较大的实数根，则(    )A.  B.  C.  D. 6.  如图，，点在边上，与边相切于点，交边于点，，连接，则等于(    )
A.  B.  C.  D. 7.  如图，线段的两个端点的坐标分别为，，以原点为位似中心，将线段放大得到线段，若点的坐标为，则点的坐标为(    )A.
B.
C.
D. 8.  如图，点在第一象限，与轴所夹的锐角为，，则的值是(    )

 A.  B.  C.  D. 9.  如图所示，在正方形中，为边中点，连接并延长交边的延长线于点，对角线交于点．已知，则线段的长度为(    )

 A.  B.  C.  D. 10.  如图，是某一景区雕像，雕像底部前台米，台末端点有一个斜坡长为米且坡度为：，与坡面末端相聚米的地方有一路灯，雕像顶端测得路灯顶端的俯角为，且路灯高度为米，则约为米．精确到米，，(    )

 A.  B.  C.  D. 11.  已知关于的一元二次方程的根都是整数，且满足等式，则满足条件的所有整数的和是(    )A.  B.  C.  D. 12.  有若干个依次排列的整式：第个是，用减去得到，将乘以，得到，再将减去得到，将乘以，得到，以此类推，下列结论中正确的个数为(    )
方程的实数解为；
；
；
当时，则的值为．A.  B.  C.  D. 第II卷（非选择题）二、填空题（共4小题，共12.0分）13.  一元二次方程的根为______．14.  已知关于的方程，从，，三个数中任取一个数，作为方程中的值，再从剩下的两个数中任取一个数作为方程中的值，能使该一元二次方程有实数根的概率是______ ．15.  如图，正方形的边长为，以为圆心，为半径画弧，连接，以为圆心，为半径画弧交的延长线于点，则图中阴影部分的面积是______．
 16.  初三班尚剩班费为小于的整数元，拟为每位同学买本相册某批发兼零售文具店规定：购相册本起可按批发价出售，少于本则按零售价出售，批发价比零售价每本便宜元，班长若为每位同学买本，刚好用完元；但若多买本给任课教师，可按批发价结算，也恰好只要元若单价为整数，则每本相册的零售价是______ 元三、解答题（共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.  本小题分
计算：．18.  本小题分
如图，在中，，，，，求的长．
19.  本小题分
在大课间活动中，同学们积极参加体育锻炼，小段同学就本班同学“我最擅长的体育项目”进行了一次调查统计，下面是她通过收集数据后，绘制的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息，解答以下问题：

该班共有多少名学生？在扇形统计图中，“其他”部分所对应的圆心角度数是多少度？请补全条形统计图；
学校将举办冬季运动会，该班已推选位同学参加乒乓球活动，其中有位男同学和位女同学，现从中选取两名同学组成双打组合，用树状图或列表法求恰好选出一男一女组成混合双打组合的概率．20.  本小题分
已知关于的方程．
求证：无论取任意实数值，方程总有实数根．
若等腰三角形的一边，另两边长、恰是这个方程的两个根，求的周长．21.  本小题分
又到了脐橙丰收季，某水果超市老板发现今年奉节脐橙和赣南脐橙很受欢迎，今年月第一周购进奉节脐橙和赣南脐橙两个品种，已知千克赣南脐橙的进价比千克奉节脐橙的进价多元，购买千克赣南脐橙的价格与购买千克奉节脐橙的价格相同．
今年月第一周每千克奉节脐橙和赣南脐橙的进价分别是多少元？
今年月第一周，水果超市老板以元每千克售出奉节脐橙千克，元每千克售出赣南脐橙千克；第二周水果超市老板又以第一周的价格购进一批奉节脐橙和赣南脐橙，为促进奉节脐橙的销量，该水果超市老板决定调整价格，每千克奉节脐橙的售价在第一周的基础上下降元，每千克赣南脐橙的售价不变，由于此批奉节脐橙品质较好又便宜，第二周奉节脐橙的销量比第一周增加了千克，而赣南脐橙的销量比第一周减少了千克，最终该水果超市第二周销售两种脐橙总共获利元，求的值．22.  本小题分
对任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字等于百位上的数字与个位上的数字的平均数，那么称这个数为快乐数”例如：，因为，所以是“快乐数”．
请通过计算判断是不是“快乐数”，并直接写出最大的“快乐数”；
已知一个“快乐数”、、，、、为自然数，且使关于的一元二次方程有两个相等的实数根，若，求满足条件的所有的值．23.  本小题分
如图，某工程队从处沿正北方向铺设了米轨道到达处某同学在博物馆测得处在博物馆的南偏东方向，处在博物馆的东南方向参考数据：，，，
请计算博物馆到处的距离；结果保留根号
博物馆周围若干米内因有绿地不能铺设轨道某同学通过计算后发现，轨道线路铺设到处时，只需沿北偏东的方向继续铺设，就能使轨道线路恰好避开绿地请计算博物馆周围至少多少米内不能铺设轨道结果精确到个位
24.  本小题分
如图，中，为的中点，为的平分线，于．
求证：；
若，，，求的长．
25.  本小题分
如图，在矩形中，，，为边上一点，把沿翻折，使点恰好落在边上的点处，是上的动点．

求的长；
如图，是上的动点，求的最小值；
若是等腰三角形，直接写出的长．
答案和解析 1.【答案】 解：式子有意义，
，解得．
故选：．
先根据二次根式有意义的条件列出关于的不等式，求出的取值范围即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解答此题的关键．
 2.【答案】 解：、，不是最简二次根式，故此选项错误；
B、是最简二次根式，故此选项正确；
C、，不是最简二次根式，故此选项错误；
D、，不是最简二次根式，故此选项错误；
故选：．
直接利用最简二次根式的定义分别判断得出答案．
此题主要考查了最简二次根式，正确把握相关定义是解题关键．
 3.【答案】 解：、应为到圆心的距离大于半径的点在圆外，所以错误；
B、应为圆的半径垂直于过这条半径外端点的圆的切线，所以原错误；
C、应强调在等圆或同圆中，同弧或等弧对的圆周角等于它对圆心角的一半，所以错误；
D、符合圆心角与弧的关系，所以正确．
故选D．
根据点与圆的位置关系，半径与切线的关系以及圆周角定理进行解答．
本题考查了点与圆的位置关系，半径与切线的关系，圆周角定理．解题的关键是熟练掌握相关定义及定理，抓住细节从而找出问题．
 4.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了解一元二次方程配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
把方程两边加上得到，然后把方程左边写成完全平方的形式即可．
【解答】
解：，
．
故选：．  5.【答案】 解：，
，
，
，
，，
．
故选：．
利用配方法解方程得到，，然后对各选项进行判断．
本题考查了一元二次方程的解法，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
 6.【答案】 解：连接，
与边相切于点，
，
，
，
，
故选：．
连接，根据切线的性质得到，根据直角三角形的性质得到，根据圆周角定理即可得到结论．
本题考查了切线的性质，圆周角定理，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
 7.【答案】 【解析】【分析】
本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．
根据题意得到以原点为位似中心，将线段放大倍得到线段，根据位似变换的性质计算即可．
【解答】解：由题意得，，，
则以原点为位似中心，将线段放大倍得到线段，
点的坐标为，
点的坐标为即．
故选D．
   8.【答案】 解：如图：
点在第一象限，
，，
又，
．
故选：．
根据正切的定义即可求解．
本题考查锐角三角函数的定义及运用．
 9.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质，利用相似三角形的性质求出的长度是解题的关键．
根据正方形的性质可得出，进而可得出，根据相似三角形的性质可得出，结合可求出、的长度，进而可求出的长度，此题得解．
【解答】
解：四边形为正方形，
，，

，，
，
为边中点，

，
，
．
，
，
，即，
．
故选：．  10.【答案】 【解析】【分析】
本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
如图，作于，延长交于，作于想办法求出，即可解决问题．
【解答】
解：如图，作于，延长交于，作于．

则四边形是矩形，四边形是矩形，
，，，，
在中，，：：，
，，
，
在中，，
．  11.【答案】 解：满足等式，
，
解得，
，
，
解得，，
关于的一元二次方程的根都是整数，
，，，
满足条件的所有整数的和是．
故选：．
根据二次根式有意义的条件，根据因式分解法得到方程的解，进一步得到满足条件的所有整数的和．
本题考查了解一元二次方程，二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法．
 12.【答案】 解：由题意可知，第个，用减去得到，将乘以，得到，
，
，
将第项减去得到，将乘以得到第项，
，
，
，以此类推，
，，
，
解方程，得，，
方程的实数解为，，故结论错误；
，
，故结论正确；
，
，故结论正确；
，
，
，
当时，，故结论错误．
所以正确的结论为：，一共个．
故选：．
根据题意可以得出规律，，，根据规律逐项求解判断即可．
本题主要考查数据的规律类问题，准确找出题目中的两组数据的规律是解答此题的关键，难度较大．
 13.【答案】， 解：移项得，
开方得，
即，．
故答案为，．
移项后，直接开方解答即可．
本题考查了解一元二次方程，属于基础题．
 14.【答案】 解：画树状图为：

共有种等可能的结果，因为，首先能使该方程为一元二次方程的有种，其次方程有实数根的占种，
，；，；
所以能使该一元二次方程有实数根的概率，
故答案为：．
画树状图得出所有等可能的情况数，找出此函数为二次函数且对应的一元二次方程有实数根的情况数，即可求出所求的概率．
此题考查了一元二次方程根的判别式、列表法与树状图法，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 15.【答案】 解：四边形是正方形，
，，，
，
图中阴影部分的面积，
故答案为．
根据正方形的性质和扇形的面积公式即可得到结论．
本题考查了正方形的性质，扇形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．
 16.【答案】 解：设有学生人，相册的零售价为元，
则：，
，且，，
，，
故答案为：．
设有学生人，相册的零售价为元，根据“为每位同学买本，刚好用完元；但若多买本给任课教师，可按批发价结算，也恰好只要元”列方程组，再根据，的取值范围求解．
本题考查了二元一次方程组的应用，找到相等关系和掌握条件求值是解题的关键．
 17.【答案】解：原式

． 【解析】直接利用乘法公式结合二次根式的混合运算法则计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确运用乘法公式计算是解题关键．
 18.【答案】解：，为公共角，
∽，
，
即，
解得． 【解析】据两角对应相等，两三角形相似，得到∽，再根据对应边成比例得到关于的方程，求解即可．
本题考查相似三角形的判定与性质，掌握“两角对应相等，两三角形相似”，以及相似三角形对应边成比例，是解决本题的关键．
 19.【答案】解：由统计图可得，
该班共有：名，
擅长足球的有：名，
擅长其他的有：名，
在扇形统计图中，“其他”部分所对应的圆心角度数为：，
补全的条形统计图如图所示；

由题意可得，

恰好选出一男一女组成混合双打组合的概率是，
即恰好选出一男一女组成混合双打组合的概率是． 【解析】根据统计图中的数据可以解答本题；
根据题意，可以用树状图写出所有的可能性，从而可以得到恰好选出一男一女组成混合双打组合的概率．
本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 20.【答案】证明：，
无论取任意实数值，方程总有实数根．

解：分两种情况：
若，
方程有两个相等的实数根，
，
解得，
此时方程为，解得，
的周长为；
若，则或，即方程有一根为，
把代入方程，得，
解得，
此时方程为，
解得，，
方程另一根为，
、、不能构成三角形，
所求的周长为．
综上所述，所求的周长为． 【解析】把一元二次方程根的判别式转化成完全平方式的形式，得出可知方程总有实数根．
根据等腰三角形的性质分情况讨论求出，的长，并根据三角形三边关系检验，综合后求出的周长．
考查根的判别式，等腰三角形的性质及三角形三边关系．
 21.【答案】解：设今年月第一周每千克奉节脐橙的进价为元，则每千克赣南脐橙的进价为元，
依题意得：，
解得：，
．
答：今年月第一周每千克奉节脐橙的进价为元，每千克赣南脐橙的进价为元．
依题意得：，
整理得：，
解得：不合题意，舍去，．
答：的值为． 【解析】设今年月第一周每千克奉节脐橙的进价为元，则每千克赣南脐橙的进价为元，利用总价单价数量，结合购买千克赣南脐橙的价格与购买千克奉节脐橙的价格相同，即可得出关于的一元一次方程，解之即可求出每千克奉节脐橙的进价，再将其代入中可求出每千克赣南脐橙的进价；
利用总利润每千克的利润销售数量，结合该水果超市第二周销售两种脐橙总共获利元，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元一次方程；找准等量关系，正确列出一元二次方程．
 22.【答案】解：，
不是“快乐数”，
各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字等于百位上的数字与个位上的数字的平均数，各个数位上
的数字最大为，，
最大的“快乐数”为；
为“快乐数”，
，
关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
，
即，
，
解得：，
，
综上所述，满足条件的所有的值为，
满足条件的所有的值为． 【解析】根据“快乐数”的定义解答即可；
根据“快乐数”可得出，根据一元二次方程根的情况可得，再结合及、、，、、为自然数可得出、、的值，最后结合“快乐数”的定义即可得出答案．
本题考查一元二次方程的应用，不等式组的应用，理解“快乐数”的定义是解题的关键．
 23.【答案】解：如图，过点作于点，
在中，，
是等腰直角三角形，
，
设米，则米，
在中，，，
米，
米，
，
解得：，
米，
答：博物馆到处的距离约为米；
如图，过点作于点，
由题意得：，，
，
由可知，米，
在中，米，
答：博物馆周围至少米内不能铺设轨道． 【解析】过点作于点，证是等腰直角三角形，得，设米，则米，再由锐角三角函数定义得米，则，解得，即可解决问题；
过点作于点，根据题意得，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长即可．
本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，熟练掌握锐角三角函数定义，添加适当的辅助线是解题的关键．
 24.【答案】证明：如图，延长交于，

，
，
为的平分线，
，
在和中，
，
≌，
，，
为的中点，
，
；
解：在中，，
，，
由勾股定理得：，
，，
，
． 【解析】延长交于，证≌，推出，，根据三角形的中位线性质得出即可；
根据勾股定理求出，求出，根据三角形的中位线求出，即可得出答案．
本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的中位线，勾股定理的应用，解此题的关键是推出≌，题目比较好．
 25.【答案】解：如图，四边形是矩形，
，，
设，则，
，，
，
，
，
，
，
解得，，
的长为；

如图，作于点，交于点，连结，连结，交于点，连结、，

由翻折得，垂直平分，
，，
，，
由“两点之间，线段最短”可知，线段的长即表示的最小值；
由“垂线段最短”可知，当点与点重合时，，此时的值最小，则的最小值；
，
四边形是矩形，
，
的最小值是；

，
，
，，
是等腰三角形，
是等边三角形，

即． 【解析】先由勾股定理求出的长，然后在中用勾股定理求出的长；
由翻折可知垂直平分，连结交于点，线段的长即表示的值最小，可见当最短时，则的值最小，自然想到为点到的垂线段时，的最小值．
本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，解直角三角形，翻折变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型．