2022-2023学年四川省成都市高新区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年四川省成都市高新区八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（共8小题，共32分）

1.  下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  若，则下列不等式一定成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  分式有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  如图，中，，，，平分，交于，于，则等于(    )

A.
B.
C.
D.

6.  一个等腰三角形的一个角是，则这个等腰三角形的底角是(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

7.  如图，在直角坐标系中，▱的顶点、，则的坐标为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  某业主贷款万元购进一台机器生产甲，乙两种产品已知甲产品的销售净利润是每个元，乙产品的销售净利润是每个元，个甲产品和个乙产品组成一套销售，设销售套能赚回这台机器的贷款，则满足的关系是(    )

A.  B.
C.  D.

二、非选择题（68分）

9.  将因式分解为______ ．

10.  在平面直角坐标系中，将点先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，则所得的点的坐标是______ ．

11.  如图，的周长为，根据图中尺规作图的痕迹，直线分别与、交于、两点，若，则的周长为______ ．

12.  如果关于的不等式的解集与的解集相同，则的值为______．

13.  如图，在平行四边形中，平分交于点，已知，，则长为______．

14.  计算：
解不等式组：；
解方程：．

15.  先化简，再求值，其中．

16.  如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为，，．
画出关于轴对称的；
画出绕点逆时针旋转后的；
在的条件下，求线段扫过的面积结果保留．

17.  如图，在平行四边形中，，分别平分和，交边于点，，线段，相交于点．
求证：；
若，求的长．

18.  如图，在和中，，，．
求证：；
如图，延长、交于点，试探究与的数量关系，并说明理由．
如图，当时，连接、，作于点，延长与交于点，试探究与的数量关系，并说明理由．

 

19.  若，，则______．

20.  关于的方程的解为非负数，则的取值范围是______ ．

21.  若一个正整数能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“智慧数”如，则和是智慧数已知按从小到大顺序构成如下数列：，，，，，，，，，，，，，，，，，则第个“智慧数”是______ ．

22.  如图，，点在边上，且，过点作交于点，以为边在右侧作等边三角形；过点作的垂线分别交、于点，，以为边在的右侧作等边三角形；过点作的垂线分别交、于点，，以为边在的右侧作等边三角形，；按此规律进行下去，则的面积为______ 用含正整数的代数式表示

23.  如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的坐标分别为、、、，点是轴上的一个动点，若点关于的对称点为，则的最小值为______ ，的最大值为______ ．

24.  某单位为美化环境，计划对面积为平方米的区域进行绿化，现安排甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的倍，并且在独立完成面积为平方米区域的绿化时，甲队比乙队少用天．
甲、乙两工程队每天能绿化的面积分别是多少平方米？
若该单位每天需付给甲队的绿化费用为元，付给乙队的费用为元，要使这次的绿化总费用不超过元，至少安排甲队工作多少天？

25.  如图，在中，，，是的角平分线，于点．
如图，连接，求证：是等边三角形；
点是线段上的一点不与点，重合，以为一边，在的下方作，交延长线于点试探究，与之间的数量关系，并说明理由．
若点是射线上的一点，以为一边，在的下方作，交延长线于点请直接写出，与之间的数量关系．

 

26.  在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点的横坐标为，点的纵坐标为，且实数，满足．
如图，求点的坐标；
如图，过点作轴的垂线，垂足为点已知点，连接，，请在轴上找一点，使的面积与的面积相等，并求出点的坐标．
在的条件下，在轴上是否存在一点，使为等腰三角形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

解：、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项正确；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误．
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

2.【答案】 

解：，
，故A错误，不符合题意；
，故B错误，不符合题意；
，故C错误，不符合题意；
，故D正确，符合题意；
故选：．
根据不等式性质逐项判断即可．
本题考查不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的性质．
 

3.【答案】 

解：由题意，得
，
解得，
故选：．
根据分母不为零分式有意义，可得答案．
本题考查了分式有意义的条件．分式有意义的条件是分母不等于零．分式无意义的条件是分母等于零．
 

4.【答案】 

解：根据因式分解的定义：将一个多项式分解为几个整式的积的形式，叫做把多项式因式分解，也称把多项式分解因式．
据此可以直接判定、选项都不是因式分解，而选项等式不成立，选项的变形是利用了完全平方公式进行了因式分解．
故选：．
根据因式分解的定义判断即可．
本题考查因式分解的概念，理解因式分解的概念是解题的关键．
 

5.【答案】 

解：是的平分线，，，
．
在和中，
，
≌，
，
．
故选：．
先根据角平分线的性质得，再根据“”证明≌，可得的长，最后根据得出答案．
本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质和判定等，弄清各线段之间的数量关系是解题的关键．
 

6.【答案】 

解：当是等腰三角形的顶角时，则顶角就是，底角为
当是等腰三角形的底角时，则顶角是．
等腰三角形的底角为或
故选：．
先分情况讨论：是等腰三角形的底角或是等腰三角形的顶角，再根据三角形的内角和定理进行计算．
本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
 

7.【答案】 

解：四边形是平行四边形
，
、，
点
故选：．
由平行四边形的性质可得，，即可求的坐标为．
本题考查了平行四边形的性质，熟练运用平行四边形的性质是本题的关键．
 

8.【答案】 

解：设销售套能赚回这台机器的贷款，根据题意可得：，
故选：．
设销售套能赚回这台机器的贷款，根据题意得出不等式解答即可．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，找准等量关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
 

9.【答案】 

解：

，
故答案为：．
先提取公因式，再用公式法因式分解即可．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
 

10.【答案】 

解：将点先向右平移个单位长度，
得到，
向上平移个单位长度，
所得点的坐标是：．
故答案为：．
直接利用平移的性质得出平移后点的坐标即可．
此题主要考查了平移变换，正确掌握平移规律是解题关键．
 

11.【答案】 

解：由作图可知，垂直平分线段，
，，
，，
，
的周长．
故答案为：．
根据线段的垂直平分线的判定和性质解决问题即可．
本题考查作图基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

12.【答案】 

解：关于的不等式的解集与的解集相同，
，
解得．
故答案为：．
根据两个不等式的解相同，列出方程求解即可．
本题考查了解简单不等式的能力．解不等式要依据不等式的基本性质：不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
 

13.【答案】 

解：四边形为平行四边形，
，．
，
平分，
，
，
，
．
故答案为：．
根据四边形为平行四边形可得，根据平行线的性质和角平分线的定义可得出，继而可得，然后根据已知可求得的长度．
本题考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是根据平行线的性质和角平分线的定义得出．
 

14.【答案】解：，
解不等式，可得，
解不等式，可得，
综上所述：；
，
，
，
，
即，
解得，
把代入原式，原式不成立，
故分式方程无解． 

【解析】根据一元一次不等式的性质进行计算；
根据分式方程的解法进行计算．
本题考查了一元一次不等式和分式方程的解法，掌握解一元一次不等式和分式方程的方法是关键．
 

15.【答案】解：原式

，
当时，
原式

． 

【解析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后将的值代入原式即可求出答案．
本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．
 

16.【答案】解：如图，即为所求；

如图，即为所求；
线段扫过的面积 

【解析】分别作出，，关于轴对称的对应点，，即可．
根据旋转的性质作出绕点逆时针旋转后的即可；
利用扇形的面积公式求出扫过的面积．
本题考查了利用旋转变换作图，轴对称和扇形面积公式等知识，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
 

17.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
，
，分别平分和，
，
，
；
解：四边形是平行四边形，
，
，
又平分，
，
，
同法可得，，
，
，
，
． 

【解析】根据平行四边形的性质结合角平分线的定义得出，即可得出结论；
根据平行四边形的性质结合角平分线的定义得出，同法可得，即可推出结果．
本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行四边形的性质，角平分线的定义是解题的关键．
 

18.【答案】证明：，，，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
；
解：，理由如下：
≌，
，
，
，
，
；
解：理由如下：
如图，作交的延长线于，作于，

，
，
，
在与中，
，
≌，
，
同理，，
，
在与中，
，
≌，
，
是的中点，
． 

【解析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到，根据全等三角形的性质即可得到结论；
根据全等三角形的性质得到，根据三角形的内角和即可得到结论；
如图，作交的延长线于，作于，根据全等三角形的性质得到，同理，，等量代换得到，根据全等三角形的性质即可得到结论．
本题是三角形的综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
 

19.【答案】 

解：，
当，时，
原式．
故答案为：．
点拨：
首先把进行因式分解，然后把，代入化简后的算式，即可求解．
此题主要考查了因式分解的应用，要熟练掌握，用因式分解的方法将式子变形，再代入求值．
 

20.【答案】且 

解：解分式方程得，，
使关于的方程的解为非负数，
，且
且．
故答案为：且．
分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程的解为非负数，确定出的值．注意方程无解的时候．
此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握解分式方程的步骤是解本题的关键．
 

21.【答案】 

解：观察探索规律，发现全部智慧数从小到大可按每三个数分一组，
从第二组开始每组的第一个数都是的倍数，从而第组的第一个数为；

第个“智慧数”是第组中的第个数，即：，
故答案为：．
先根据题意观察规律，发现每三个一组，从第二组开始的每组第一个数都是的倍数，再算出第个“智慧数”处在哪一组的第几个，就可以算出答案了．
本题考查了平方差类型的新定义，解题的关键是找到循环规律并正确得出要求的数字所处的位置．
 

22.【答案】 

解：，，，
的边长，
在中，，，
，，
，
在中，的边长，
在中，，，
，，
，
在中，的边长，
，
的边长，
的面积为，的面积为．
的面积为：．
故答案为：．
根据特殊直角三角形的性质，求出的边长，即可求出的面积，同理求出的边长，即可求出的面积．
本题考查等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
 

23.【答案】   

解：连接，如图：
平行四边形的坐标分别为、、、，
，，
若点关于的对称点为，
，
在中，由三角形三边关系可知：，
，即的最小值为，最大值为
故答案为：．
由轴对称的性质可知，在中由三角形三边关系可知，则可求得答案．
本题主要考查平行四边形及轴对称的性质，利用三角形的三边关系得到是解题的关键．
 

24.【答案】解：设乙工程队每天能完成绿化的面积是平方米，则甲工程队每天能完成绿化的面积是平方米，
依题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：甲工程队每天能完成绿化的面积是平方米，乙工程队每天能完成绿化的面积是平方米．

设安排甲队工作天，则需安排乙队工作天，
依题意，得：，
解得：．
因为是正整数，所以最小值是．
答：至少应安排甲队工作天． 

【解析】设乙工程队每天能完成绿化的面积是平方米，则甲工程队每天能完成绿化的面积是平方米，根据工作时间工作总量工作效率结合在独立完成面积为平方米区域的绿化时甲队比乙队少用天，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
设安排甲队工作天，则需安排乙队工作天，根据总费用甲队工作时间乙队工作时间结合这次的绿化总费用不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

25.【答案】证明：如图所示：在中，，，

，，
平分，
，
，
于点，
，
，
是等边三角形；
解：，理由如下：
如图所示：延长使得，连接，

，，是的角平分线，于点，
，，
又，
是等边三角形，
，
在和中，

≌，
，
；
 解：，
延长至，使得，

由得，，
于点，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
即，
在和中，

≌，
，
，
，
． 

【解析】利用“有一个角是”的等腰三角形是等边三角形证得是等边三角形；
延长使得，连接，即可得出是等边三角形，利用≌即可得出，再利用，即可得出答案；利用等边三角形的性质得出，进而得出，再求出≌即可得出答案．
此题主要考查了等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，根据已知做出正确辅助线是解题关键．
 

26.【答案】解：实数，满足且，，
，，
，，
点的坐标为；
轴，点为垂足，，
，，
，
，
如图，设直线交轴于点，直线的解析式为，

将点，点代入得：，
解得：，
直线的解析式为，
令，则
点，
设点，则，
的面积与的面积相等，
，
解得：或，
点的坐标为或；
在轴上存在一点，使为等腰三角形，理由如下：
，，
，
分三种情况：
如图，当时，

，
，或，
点的坐标为或；
如图，当时，过作轴于点，

则，，
，
或，
点的坐标为或，；
如图，当时，过作轴于点，

设点的坐标为，
在和中，，，
，
解得：，
点的坐标为；
综上所述，在轴上存在一点，使为等腰三角形，点的坐标为或或或，或． 

【解析】由偶次方和算术平方根的非负性质求得、的值，即可确定点的坐标；
先求出的面积，再由待定系数法求得直线的解析式，确定点的坐标，设点，则，然后由三角形面积关系求出的值即可；分三种情况，当时，当时，当时，利用勾股定理分别求出点的坐标即可．
本题是三角形综合题目，考查了等腰三角形的判定与性质、坐标与图形性质、待定系数法求直线的解析式、勾股定理、三角形面积以及偶次方和算术平方根的非负性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的判定与性质以及勾股定理是解题的关键，属于中考常考题型．