三年(2020年-2022年)中考数学真题分项汇编：专题21 与二次函数有关的压轴题（含答案详解）

这是一份三年(2020年-2022年)中考数学真题分项汇编：专题21 与二次函数有关的压轴题（含答案详解），共151页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专题21 与二次函数有关的压轴题
一、单选题
1．（2022·四川凉山）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a0）经过点（1，0）和点（0，－3），且对称轴在y轴的左侧，则下列结论错误的是（       ）
A．a＞0
B．a＋b＝3
C．抛物线经过点（－1，0）
D．关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－1有两个不相等的实数根
【答案】C
【解析】
【分析】
根据抛物线的图像与性质，根据各个选项的描述逐项判定即可得出结论．
【详解】
解：A、根据抛物线y＝ax2＋bx＋c（a0）经过点（1，0）和点（0，－3），且对称轴在y轴的左侧可知，该说法正确，故该选项不符合题意；
B、由抛物线y＝ax2＋bx＋c（a0）经过点（1，0）和点（0，－3）可知，解得，该说法正确，故该选项不符合题意；
C、由抛物线y＝ax2＋bx＋c（a0）经过点（1，0），对称轴在y轴的左侧，则抛物线不经过（－1，0），该说法错误，故该选项符合题意；
D、关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－1根的情况，可以转化为抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≤0）与直线的交点情况，根据抛物线y＝ax2＋bx＋c（a0）经过点（1，0）和点（0，－3），，结合抛物线开口向上，且对称轴在y轴的左侧可知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≤0）与直线的有两个不同的交点，该说法正确，故该选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查二次函数的图像与性质，涉及到开口方向的判定、二次函数系数之间的关系、方程的根与函数图像交点的关系等知识点，根据题中条件得到抛物线草图是解决问题的关键．
2．（2022·四川成都）如图，二次函数的图像与轴相交于，两点，对称轴是直线，下列说法正确的是（       ）

A． B．当时，的值随值的增大而增大
C．点的坐标为 D．
【答案】D
【解析】
【分析】
结合二次函数图像与性质，根据条件与图像，逐项判定即可．
【详解】
解：A、根据图像可知抛物线开口向下，即，故该选项不符合题意；
B、根据图像开口向下，对称轴为，当，随的增大而减小；当，随的增大而增大，故当时，随的增大而增大；当，随的增大而减小，故该选项不符合题意；
C、根据二次函数的图像与轴相交于，两点，对称轴是直线，可得对称轴，解得，即，故该选项不符合题意；
D、根据可知，当时，，故该选项符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查二次函数的图像与性质，根据图像得到抛物线开口向下，根据对称轴以及抛物线与轴交点得到是解决问题的关键．
3．（2021·山东济南）新定义：在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足时，；时，，则称点是点的限变点．例如：点的限变点是，点的限变点是．若点在二次函数的图象上，则当时，其限变点的纵坐标的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意，当时，的图象向下平移4个单位，当时，，的图象关于轴对称，据此即可求得其限变点的纵坐标的取值范围，作出函数图像，直观的观察可得到的取值范围
【详解】
点在二次函数的图象上，则当时，其限变点的图像即为图中虚线部分，如图，

当时，的图象向下平移4个单位，当时，的图象关于轴对称，
从图可知函数的最大值是当时，取得最大值3，
最小值是当时，取得最小值，
．
故选D．
【点睛】
本题考查了新定义，二次函数的最值问题，分段讨论函数的最值，可以通过函数图像辅助求解，理解新定义，画出函数图像是解题的关键．
4．（2021·辽宁盘锦）如图，四边形ABCD是菱形，BC＝2，∠ABC＝60°，对角线AC与BD相交于点O，线段BD沿射线AD方向平移，平移后的线段记为PQ，射线PQ与射线AC交于点M，连结PC，设OM长为，△PMC面积为．下列图象能正确反映出与的函数关系的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由四边形ABCD是菱形，BC＝2，∠ABC＝60°，可求出AC、AO、OC的长，再设OM＝x，利用解直角三角形表示出PM，分点M在线段OC上（不含点O）时和当点在线段OC延长线上时两种情况分别表示出y再结合函数图象即可判断出正确答案．
【详解】
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝BC＝2，∠BAD＝180°−∠ABC＝120°，
∴∠DAO＝∠BAD＝60°，
∴△DAC是等边三角形，
∴AD＝AC＝2，
∴AO＝CO＝AC＝1，
设OM＝x，
∵AC⊥BD，PQ为BD平移而来，
∴∠AOD＝∠AMP＝90°，
∴△AMP为直角三角形，
∴PM＝AM•tan∠PAM＝（1＋x），
①当点M在线段OC上（不含点O）时，
即0≤x＜1，此时CM＝1−x，
则y＝（1−x）×（1＋x）＝−，
∴0≤x＜1，函数图象开口应朝下，
故B、C不符合题意，
②当点在线段OC延长线上时，即x＞1，如图所示：

此时C＝x−1，
则y＝（x−1）×(x＋1)＝，
∴只有D选项符合题意，
故选：D．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，三角形面积，解直角三角形，二次函数图象等知识，熟练掌握上述知识并能分点M在线段OC上（不含点O）时和当点在线段OC延长线上时两种情况分别表示出y再结合函数图象进行判断是解题的关键．
5．（2021·四川雅安）定义：，若函数，则该函数的最大值为（       ）
A．0 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题目中所给的运算法则，分两种情况进行求解即可．
【详解】
令,
当时，即时，，
令 ，则w与x轴的交点坐标为（2，0），（-1，0），
∴当时，，
∴（），
∵y随x的增大而增大，
∴当x=2时，；
当时，即时，，
令 ，则w与x轴的交点坐标为（2，0），（-1，0），
∴当时，或，
∴（或），
∵的对称轴为x=1，
∴当时，y随x的增大而减小，
∵当x=2时，=3，
∴当时，yd；当a>0时，e=f< cd；
当a>0时，画出草图如图：


∴e=f< c