三年（2021-2023）高考数学真题专项13不等式、推理与证明含答案

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  专题13 不等式、推理与证明知识点目录知识点1：推理问题知识点2：线性规划问题知识点3：不等式大小判断问题知识点4：利用基本不等式求最值知识点5：解不等式近三年高考真题知识点1：推理问题1．（2022•乙卷（理））嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星．为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列，，，，依此类推，其中，2，．则　　A． B． C． D．【答案】【解析】，2，，可以取，则，，，，，，，，，故错误；，故错误；，故错误；，故正确．故选：．2．（2021•新高考Ⅰ）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折．规格为的长方形纸，对折1次共可以得到，两种规格的图形，它们的面积之和，对折2次共可以得到，，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推．则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为　         　，那么             【答案】5；．【解析】易知有，，共5种规格；由题可知，对折次共有种规格，且面积为，故，则，记，则，，，．故答案为：5；． 知识点2：线性规划问题3．（2022•浙江）若实数，满足约束条件则的最大值是　　A．20 B．18 C．13 D．6【答案】【解析】实数，满足约束条件则不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分，由已知可得，由图可知：当直线过点时，取最大值，则的最大值是，故选：．4．（2022•乙卷（文））若，满足约束条件则的最大值是　　A． B．4 C．8 D．12【答案】【解析】作出可行域如图阴影部分所示，由图可知，当取点时，目标函数取得最大值，且最大为8．故选：．5．（2021•浙江）若实数，满足约束条件，则的最小值是　　A． B． C． D．【答案】【解析】由约束条件作出可行域如图，联立，解得，化目标函数为，由图可知，当直线过时，直线在轴上的截距最大，有最小值为．故选：．6．（2021•乙卷（理））若，满足约束条件则的最小值为　　A．18 B．10 C．6 D．4【答案】【解析】由约束条件作出可行域如图，联立，解得，由，得，由图可知，当直线过时，直线在轴上的截距最小，有最小值为．故选：．7．（2023•甲卷（文））若，满足约束条件，则的最大值为           ．【答案】15．【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图所示，由得，则表示直线在轴截距，截距越大，越大，结合图形可知，当直线经过点时，最大，联立可得，此时取得最大值15．8．（2023•乙卷（文））若，满足约束条件，则的最大值为           ．【答案】8．【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图所示：由可得，则表示直线在轴上的截距，截距越小，越大，结合图形可知，当经过点时，最大，由可得，，即，此时取得最大值8．故答案为：8．9．（2023•甲卷（理））设，满足约束条件，设，则的最大值为           ．【答案】15．【解析】由题意，作出，满足约束条件表示的平面区域，如图中阴影部分所示，目标函数，可化为直线，由，可得，即，当直线过点时，直线在轴上的截距最大，此时目标函数取得最大值，代入可得．故答案为：15．10．（2022•上海），，求的最小值           ．【答案】．【解析】如图所示：由，，可知行域为直线的左上方和的右上方的公共部分，联立，可得，即图中点，，当目标函数沿着与正方向向量的相反向量平移时，离开区间时取最小值，即目标函数过点，时，取最小值：．故答案为：．11．（2021•上海）已知，，则的最大值为           ．【答案】4．【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即：，其中取得最大值时，其几何意义表示直线系在轴上的截距的相反数，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点处取得最大值，联立直线方程：，可得点的坐标为：，据此可知目标函数的最大值为：．故答案为：4．知识点3：不等式大小判断问题12．（2022•上海）若实数、满足，下列不等式中恒成立的是　　A． B． C． D．【答案】【解析】因为，所以，当且仅当时取等号，又，所以，故正确，错误，，当且仅当，即时取等号，故错误，故选：．13．（2022•上海）若，则下列不等式恒成立的是　　A． B． C． D．【答案】【解析】对于，令，，，，满足，但，故错误，对于，，即，，由不等式的可加性可得，，故正确，对于，令，，，，满足，但，故错误，对于，令，，，，满足，但，故错误．故选：．14．（2021•上海）已知两两不相等的，，，，，，同时满足①，，；②；③，以下哪个选项恒成立　　A． B． C． D．【答案】【解析】设，，，，根据题意，应该有，且，则有，则，因为，所以，所以项正确，错误．，而上面已证，因为不知道的正负，所以该式子的正负无法恒定．故选：．知识点4：利用基本不等式求最值15．（2021•乙卷（文））下列函数中最小值为4的是　　A． B． C． D．【答案】【解析】对于，，所以函数的最小值为3，故选项错误；对于，因为，所以，当且仅当，即时取等号，因为，所以等号取不到，所以，故选项错误；对于，因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以函数的最小值为4，故选项正确；对于，因为当时，，所以函数的最小值不是4，故选项错误．故选：．16．（多选题）（2022•新高考Ⅱ）若，满足，则　　A． B． C． D．【答案】【解析】方法一：由可得，，令，则，，，故错，对，，，故对，错，方法二：对于，，由可得，，即，，，故错，对，对于，，由得，，，故对；，，，故错误．故选：．17．（2023•上海）已知正实数、满足，则的最大值为           ．【答案】．【解析】正实数、满足，则，当且仅当，时等号成立．故答案为：．18．（2021•天津）已知，，则的最小值为           ．【答案】．【解析】法一：，，，当且仅当且，即时取等号，的最小值为，法二：，，，当且仅当，即时取等号，的最小值为，故答案为：．19．（2021•上海）已知函数的最小值为5，则          ．【答案】9【解析】，所以，经检验，时等号成立．故答案为：9．知识点5：解不等式20．（2021•上海）不等式的解集为          ．【答案】．【解析】，解得，．故答案为：．21．（2022•上海）不等式的解集为           ．【答案】．【解析】由题意得，解得，故不等式的解集．故答案为：．