2022-2023学年湖北省襄阳市某中学九年级（下）数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖北省襄阳市某中学九年级（下）数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列各数中与互为相反数的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列手机手势解锁图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  三个大小一样的正方体按如图摆放，它的主视图是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  直角三角板与直角三角板按如图放置，其中，，，若，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  下列说法正确的是(    )

A. 了解一批灯泡的使用寿命，应采用抽样调查的方式
B. 如果某彩票的中奖率是，那么一次购买张彩票一定会中奖
C. 成语“一箭双雕”描述的是必然事件
D. 任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点是是随机事件

7.  下列是关于某个四边形的三个结论：它是一个菱形；它的对角线互相垂直；它是一个正方形下列推理过程正确的是(    )

A. 由推出，由推出 B. 由推出，由推出
C. 由推出，由推出 D. 由推出，由推出

8.  某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，如图，当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气球体积应．(    )

A.
B.
C.
D.

9.  孙子算经是中国古代重要的数学著作，该书第三卷记载：“今有兽六首四足，禽四首二足，上有七十六首，下有四十六足，问兽、禽各几何？”译文：今有一种头脚的兽与一种头脚的鸟，若兽与鸟共有个头与只脚问兽、鸟各有多少？设兽有只，鸟有只，根据题意列方程组正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，一次函数和反比例函数图象，则二次函数的图象可能是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  经文化和旅游部数据中心测算，年清明节假期月日，全国国内旅游出游万人次，较去年清明节当日增长将用科学记数法表示应为______ ．

12.  不等式组的解集是______ ．

13.  甲、乙、丙三人参加中考体育球类测试，分别从足球或篮球中随机选择一种，则三人选择的测试项目相同的概率为______ ．

14.  如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形场地，若墙的最大可利用长度为，当这块矩形场地的面积最大时，平行于墙的一边长为______

15.  一条弦把圆分成：两部分，则这条弦所对的圆周角的度数是______．

16.  如图，中，，点是上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，交于点，若：：：：，则 ______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

18.  本小题分
某校为丰富同学们的课余生活，全面提高科学素养，提升思维能力和科技能力，开展了“最强大脑”邀请赛，现从七、八年级中各随机抽取了名学生的初赛成绩初赛成绩均为整数，满分为分，分及以上为优秀统计、整理如下：
七年级抽取的学生的初赛成绩：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
八年级抽取的学生的初赛成绩：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
七，八年级抽取的学生的初赛成绩统计表：

根据以上信息，解答下列问题：
填空： ______ ， ______ ， ______ ；
请补全八年级条形统计图；
在本次“最强大脑”邀请赛中，______ 年级的初赛成绩相对稳定；选填“七”或“八”
若七年级有学生人，八年级有学生人，且满分才能进入决赛，估计全校进入决赛的学生共有______ 人

19.  本小题分
为弘扬红色文化，了解革命事迹，某校七八年级学生参观了襄阳历史文化古城，该古城南面山坡上有一座宝塔，一群爱好数学的学生在研学之余对该宝塔的高度进行了测量如图所示，在山坡上的点测得塔底的仰角，塔顶的仰角，斜坡米，求宝塔的高精确到米参考数据：，，，，，

20.  本小题分
如图，四边形中，，平分．
尺规作图：过点作，交于；不写作法，只保留作图痕迹
求证：四边形是菱形．

21.  本小题分
已知关于的一元二次方程有，两实数根．
求的取值范围；
是否存在实数，满足？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．

22.  本小题分
如图，点在的直径上，弦于点，点为延长线上一点，．
求证：是的切线；
若，，求阴影部分的面积．

23.  本小题分
武商超市购进甲、乙两种商品的信息如表：

已知该超市购进甲种商品和乙种商品共需元；购进甲种商品和乙种商品共需元已知甲、乙两种商品共进货件，其中乙种商品购进件，乙种商品购进量不低于件且不超过件．
求、的值；
设销售甲、乙两种商品所获总利润为元，当甲种商品的购进量不超过乙种商品购进量的倍时，且件商品全部销售完，求与的函数关系式，并求的最大值及此时甲、乙两种商品的购进量；
超市在实际销售时发现，甲、乙两种商品备受消费者青睐，所以销售的快为了回馈顾客，缩短商品销售周期，超市每次各购进甲、乙两种商品，甲种商品回馈顾客，乙种商品回馈顾客，当销售完这件商品时，超市所获总利润不低于元，求的最大值．

24.  本小题分
在矩形中，，点是上一点，是上一点，将四边形沿折叠，使点的对应点恰好落在边上，连接．
【特殊呈现】当时求证：；
【类比探究】当时，中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请给出新的结论并证明用含的式子表示；
【拓展应用】当时，沿矩形对角线剪开后得到，点是上一点，连接，过点作于，的延长线交于，若的周长为，，求的长．

25.  本小题分
已知抛物线经过点和两点，且抛物线与轴交于、两点点在点的左侧，与轴交于点．
若点是抛物线的顶点，求抛物线解析式及、、坐标；
在的条件下，若点是、之间抛物线上一点，求四边形面积的最大值及此时点的坐标；
若，且，求的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、和的绝对值是同一个数，故A错误，不符合题意．
B、和，是互为倒数，故B错误，不符合题意．
C、，故C正确；符合题意；
D、，不是相反数，故D错误．
故选：．
根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．
本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
 

2.【答案】 

【解析】解：、该图案是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、该图案是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、该图案既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、该图案既是中心对称图形又是轴对称图形，故此选项符合题意．
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

3.【答案】 

【解析】解：、原式，故本选项计算错误，不符合题意；
B、原式，故本选项计算错误，不符合题意；
C、原式，故本选项计算错误，不符合题意；
D、原式，故本选项计算正确，符合题意；
故选：．
根据同底数幂的乘法法则、合并同类项法则、完全平方公式以及积的乘方法则分别判断即可．
本题考查了同底数幂的乘法、积的乘方、合并同类项以及完全平方公式，掌握运算法则及乘法公式是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：从正面看，是一行两个小正方形，每个正方形的中间有一条纵向的虚线．
故选：．
根据主视图是从物体正面看所得到的图形解答即可．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
本题考查的是简单几何体的三视图的作图，主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、侧面和上面看所得到的图形．
 

5.【答案】 

【解析】解：设与相交于点，
，
，
又，
．
故选：．
首先根据平行线的性质得出，然后根据三角形的外角定理可求出的度数．
此题主要考查了平行线的性质，三角形外角定理，解答此题的是准确识图，熟练掌握平行线的性质及三角形的外角性质．
 

6.【答案】 

【解析】解：、了解一批灯泡的使用寿命，应采用抽样调查的方式，故A符合题意；
B、如果某彩票的中奖率是，那么一次购买张彩票不一定会中奖，故B不符合题意；
C、成语“一箭双雕”描述的是随机事件，故C不符合题意；
D、任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点是是不可能事件，故D不符合题意；
故选：．
根据概率的意义，随机事件，全面调查与抽样调查，逐一判断即可解答．
本题考查了概率的意义，随机事件，全面调查与抽样调查，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：正方形是特殊的菱形，而菱形不一定是正方形；
菱形的对角线互相垂直，而对角线互相垂直的四边形不一定是菱形；
正方形拥有菱形的一切性质，
故可以推出和，可以推出，而推不出，推不出；
故选：．
根据正方形的性质与判定，菱形的性质进行判断即可．
本题主要考查了正方形的性质与判定，菱形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：设气球内气体的气压和气体的体积之间的函数关系式为，
图象过，
，
解得，，
，
在第一象限内随的增大而减小，
当时，，
故选：．
由题意得与成反比例，设气球内气体的气压和气体的体积之间的函数关系式为，代入，求出解析式，由，求出的范围即可．
本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是根据图象上已知点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式．
 

9.【答案】 

【解析】解：兽与鸟共有个头，
；
兽与鸟共有只脚，
．
根据题意可列方程组．
故选：．
根据兽与鸟共有个头与只脚，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：观察图象可得：，，，
二次函数图象开口向上，对称轴在轴右侧，与轴交点在负半轴，
则二次函数的图象可能是
，
故选：．
根据一次函数与反比例函数的图象位置，确定出，，的正负，进而利用二次函数图象与性质判断即可．
本题主要考查了反比例函数的图象，一次函数图象，以及二次函数的图象，熟练掌握各自图象的性质是解本题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
故答案为：．
将一个数表示为的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可得出答案．
本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握科学记数法的定义是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
原不等式组的解集为：．
按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：由题意，画树状图如下．

由树状图，可知共有种等可能的结果，其中三人选择的测试项目相同的结果有种，
三人选择的测试项目相同，
故答案为：．
画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

14.【答案】 

【解析】解：设与墙垂直的一边长为，则与墙平行的一边长为，
矩形围栏的面积为，
，
当时，矩形有最大面积为，
此时与墙垂直的一边长为，与墙平行的一边长为，符合题意，
故答案为：．
设与墙垂直的一边长为，然后根据矩形面积列出函数关系式，从而利用二次函数的性质分析可求出答案．
本题考查二次函数的应用，准确识图，掌握二次函数的性质是解题关键．
 

15.【答案】或 

【解析】解：
连接、，
一条弦把圆分成：两部分，如图，
弧的度数是，弧的度数是，
，
，
，
故答案为：或．
根据题意画出图形，得出两种情况，求出两段弧的度数，即可求出答案．
本题考查了圆周角定理的应用，注意：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．
 

16.【答案】 

【解析】解：以为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，如图：

由：：：：，设，，，
，，，
直线解析式为，，
将线段绕点逆时针旋转得到线段，
，，
是等边三角形，
，
设，
，
解得或舍去；
，
由，得直线解析式为，
联立，解得，
，
，，
，
，
；
故答案为：．
以为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，由：：：：，设，，，有，，，可得直线解析式为，，而是等边三角形，设，可得，解得，从而直线解析式为，联立，解得，故EF，，即可得到答案．
本题考查直角三角形中的旋转变换，解题的关键是掌握旋转的性质，建立直角坐标系用含的式子表示，．
 

17.【答案】解：




，
当时，原式． 

【解析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

18.【答案】      七   

【解析】解：七年级这名学生的成绩出现次数最多的是分，共出现次，因此众数是分，即；
将八年级这名学生的成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数都是分，因此中位数是分，即；
八年级学生成绩的优秀率为，即；
故答案为：，，；
样本中八年级学生成绩为分的有人，补全条形统计图如下：
，，而，
七年级学生成绩比较稳定，
故答案为：七；


人，
故答案为：．
根据中位数、众数、优秀率的定义进行计算即可；
统计出样本中八年级学生成绩为分的人数，即可补全条形统计图；
比较七、八年级学生成绩的方差的大小即可；
求出七、八年级学生得分为满分的学生所占的百分比，由频率进行计算即可．
本题考查条形统计图，中位数、众数、方差，掌握数据整理的方法，平均数、中位数、众数以及方差的意义是正确解答的前提．
 

19.【答案】解：由题意得：，
在中，，米，
米，
米，
在中，，
米，
米，
宝塔的高约为米． 

【解析】根据题意可得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

20.【答案】解：图形如图所示：

证明：，，
四边形是平行四边形，
平分，
，
，
，
，
四边形是菱形． 

【解析】作，交于点；
高科技邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．
本题考查作图复杂作图，菱形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

21.【答案】解：关于的一元二次方程有，两实数根，
，
解得；
存在．
理由如下：
由根与系数的关系得，，
，
即，
即，
方程化为，
解得，，
经检验，都是原方程的解，
，
． 

【解析】利用根的判别式解不等式即可；
先由根与系数的关系得，，所以，接着解分式得到，，然后利用的取值范围得到满足条件的的值．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了根的判别式．
 

22.【答案】证明：如图，连接，
，
，
，
，
，
又，
，
即，
是半径，
是的切线；
，，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，，
在中，，，
，



． 

【解析】根据等腰三角形的性质，垂直的定义以及三角形内角和定理得出是直角即可；
根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及切线的性质可得出，进而求出扇形所对应的圆心角的度数以及半径，再由进行计算即可．
本题考查切线的判定和性质，圆周角定理以及扇形面积的计算，掌握切线的判定方法，等腰三角形的性质以及扇形、三角形面积的计算方法是正确解答的前提．
 

23.【答案】解：依题意得：，
解得：．
为，为．
甲、乙两种商品共进货件，且乙种商品购进件，
甲种商品购进件．
乙种商品购进量不低于件且不超过件，
结合图象可知：当时，售价元，
此时利润．
，
随的增大而减小．
当时，此时有最大值为．
当时，售价元．
此时利润．
，
随的增大而增大，
当时，此时有最大值为．
综上：当时，甲种商品购买件，乙种商品购买件利润最大为元，
当时，甲种商品购买件，乙种商品购买件利润最大为元．
超市每次各购进甲、乙两种商品，
则依题意得：，
解得：．
为了回馈顾客，缩短商品销售周期，
最大值为． 

【解析】根据题意列关于、的方程组即可得出结论．
根据题意列出与的函数关系式即可得出结论．
根据题意列出不等式即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组，一元一次不等式，一次函数的图象以及一次函数的应用，其中理解题意列出正确的关系式是解题的关键．
 

24.【答案】证明：如图，
作，交于，交于，
点和点关于对称，
，
，
，
，
四边形是正方形，
，，，
，四边形是平行四边形，
，，
≌，
，
；
如图，
中的结论不成立，，理由如下：
作，交于，交于，
四边形是矩形，
，，，
由可知：，，
∽，
；
如图，
作于，
，
可设，，则，
，
，
，，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
． 

【解析】作，交于，交于，可证得四边形是平行四边形，≌，进而得出；
作，交于，交于，可证得∽，从而得出；
作于，可求得，，，从额得出，，进而求得，，，从而得出，可证得，进一步得出结果．
本题考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．
 

25.【答案】解：点是抛物线的顶点，
设抛物线解析式为，
，
解得，
抛物线的解析式为，
当时，，解得或，
，，
当时，，
；
设，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
过点作轴交于点，
，
，
，
当时，的面积有最大值，此时，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
直线与轴的交点为，
，
四边形面积的最大值为；
将和代入，
，
解得，
，
当时，，解得，
当时，，解得，
或． 

【解析】设抛物线的顶点式为，将点代入即可求的值，从而确定函数的解析式；
设，先求出直线的解析式为，过点作轴交于点，则，从而得到，当时，的面积有最大值，此时，求出直线与轴的交点为，再求，即可求四边形面积的最大值为；
将和代入，可得函数解析式为，当时，，当时，，从而得到或．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，利用铅锤法求三角形面积的方法是解题的关键．