2022-2023学年贵州省黔东南州八年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年贵州省黔东南州八年级（下）期末数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 4的值为( )
A. 0B. 1C. 2D. 4
2. 下列计算正确的是( )
A. 8− 3= 5B. 3 2− 2=3C. 2× 3= 6D. 12÷2= 6
3. 司机王师傅在加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，则其中的常量是( )
A. 金额
B. 数量
C. 单价
D. 金额和数量
4. 甲，乙，丙，丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数都为8.5环，方差分别为S甲2=0.71，S乙2=0.68，S丙2=0.72，S丁2=0.67，则四人中成绩最稳定的是( )
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
5. 点(a,−1)在一次函数y=−2x+1的图象上，则a的值为( )
A. a=−3B. a=−1C. a=1D. a=2
6. 如图，在平坦的地面上，为测量位于水塘旁的两点A，B间的距离，先确定一点O，分别取OA，OB的中点C，D，量得CD=40m，则A，B之间的距离是( )
A. 20mB. 40mC. 60mD. 80m
7. 一次函数y=3x−2的图象经过的象限是( )
A. 第一、二、四象限B. 第一、二、三象限C. 第一、三、四象限D. 第二、三、四象限
8. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=1，AC在数轴上，点A所表示的数为1，以点A为圆心，AB长为半径画弧，在点A左侧交数轴于点D，则点D表示的数是( )
A. 10B. − 10C. 1− 10D. 10−1
9. 下面的性质中，平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是( )
A. 四边相等B. 对角线相等C. 对角线互相垂直D. 对角线互相平分
10. 如图，以Rt△ABC的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形.若AB= 5，则图中阴影部分的面积为( )
A. 52
B. 10
C. 252
D. 5
11. 如图，在▱ABCD中，将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处.若∠B=60°，AB=2，则△ADE的周长为( )
A. 6
B. 9
C. 12
D. 15
12. 如图，有一种动画程序，屏幕上正方形ABCD是黑色区域(含正方形边界)，其中A(1,1)，B(2,1)，C(2,2)，D(1,2)，用信号枪沿直线y=−2x+b发射信号，当信号遇到黑色区域时，区域便由黑变白，则能够使黑色区域变白的b的取值范围为( )
A. 3第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）
13. 若 x−1在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是______ ．
14. 某校规定：学生的数学学期综合成绩是由平时、期中和期末三项成绩按3：3：4的比例计算所得．若某同学本学期数学的平时、期中和期末成绩分别是90分，90分和85分，则他本学期数学学期综合成绩是______分．
15. 周末时，达瓦在体育公园骑自行车锻炼身体，他匀速骑行了一段时间后停车休息，之后继续以原来的速度骑行．路程s(单位：千米)与时间t(单位：分钟)的关系如图所示，则图中的a=______．
16. 如图，平行四边形ABCD中，AB=16，AD=12，∠A=60°，E是边AD上一点，且AE=8，F是边AB上的一个动点，将线段EF绕点E逆时针旋转60°，得到EG，连接BG、CG，则BG+CG的最小值是______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共98.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
计算：
(1) 27− 8+ 2− 12；
(2) 3× 18÷ 6．
18. (本小题10.0分)
如图，正方形网格的每个小方格边长均为1，△ABC的顶点都在格点上．
(1)AB= ______ ，BC= ______ ，AC= ______ ；
(2)判断△ABC的形状，并说明理由．
19. (本小题10.0分)
如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别在AD、BC边上，且AE=CF．
求证：
(1)△ABE≌△CDF；
(2)四边形BFDE是平行四边形．
20. (本小题12.0分)
今年的4月15日是第七个全民国家安全教育日．今年的活动主题是“树牢总体国家安全观，感悟新时代国家安全成就，为迎接党的二十大胜利召开营造良好氛围”.某学校开展了国家安全知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩(百分制)进行整理、描述和分析(成绩得分为整数，并用x表示)，下面给出了部分信息：
七年级20名学生的竞赛成绩是：95 80 85 100 85 95 90 65 85 75 90 90 70 90 100 80 80 90 95 75
八年级20名学生的竞赛成绩是：80 80 60 95 65 100 90 80 85 85 95 75 80 90 70 80 95 75 100 90
【整理数据】
【分析数据】
【应用数据】
(1)直接写出：a=______，b=______，c=______；
(2)根据图表中的数据，判断七、八年级中哪个年级学生的竞赛成绩更好？请说明理由；
(3)若七年级有1000人，八年级有800人参与竞赛，请估计七年级和八年级成绩大于80分的总人数．
21. (本小题12.0分)
如图，直线l1：y1=−3x+3与x轴交于点D，与经过A(4,0)、B(3,−32)两点的直线l2：y2=kx+b交于点C．
(1)求直线l2的表达式；
(2)求点C的坐标；
(3)根据图象直接写出：当y1>y2时，x的取值范围．
22. (本小题10.0分)
台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米范围内形成极端气候，有极强的破坏力.如图，有一台风中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为海港，AC=300km，BC=400km，∠ACB=90°，以台风中心为圆心周围260km以内为受影响区域．
(1)求海港C到直线AB的距离；
(2)台风中心由A向B移动的过程中，海港C受台风影响吗？为什么？
23. (本小题10.0分)
如图，在四边形ABCD中，AB//CD，过点D作∠ADC的角平分线交AB于点E，连接AC交DE于点O，AD//CE．
(1)求证：四边形AECD是菱形；
(2)若AD=10，△ACD的周长为36，求菱形AECD的面积．
24. (本小题10.0分)
2022年世界杯期间，某商店购进A、B两种品牌的足球进行销售.销售5个A品牌和10个B品牌足球的利润和为700元，销售10个A品牌和5个B品牌足球的利润和为800元．
(1)每个A品牌和B品牌足球的销售利润分别是多少元？
(2)商店计划购进两种品牌足球共100个，设购进A品牌足球x个，两种品牌的足球全部销售完共获利y元．
①求y与x之间的函数关系式；
②若购进A品牌足球的个数不超过B品牌足球个数的4倍，应怎样进货销售利润最大，最大利润为多少？
25. (本小题14.0分)
【课本再现】
(1)如图1，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1，四边形OEBF为两个正方形重叠部分.正方形A1B1C1O可绕点O转动.则下列结论正确的是______ (填序号即可)．
①△AEO≌△BFO；
②OE=OF；
③四边形OEBF的面积总等于14S正方形ABCD；
④连接EF，总有AE2+CF2=EF2．
【类比迁移】
(2)如图2，矩形ABCD的中心O是矩形A1B1C1O的一个顶点，A1O与边AB相交于点E，C1O与边CB相交于点F，连接EF，矩形A1B1C1O可绕着点O旋转，猜想AE，CF，EF之间的数量关系，并进行证明；
【拓展应用】
(3)如图3，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，直角∠EDF的顶点D在边AB的中点处，它的两条边DE和DF分别与直线AC，BC相交于点E，F，∠EDF可绕着点D旋转，当AE=2cm时，求线段EF的长度．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解： 4=2，
故选：C．
计算算术平方根即可求解．
本题主要考查求算术平方根，熟练掌握求一个数的算术平方根的运算方法是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：A、原式=2 2− 3，所以A选项错误；
B、原式=2 2，所以B选项错误；
C、原式= 2×3= 6，所以C选项正确；
D、原式=2 3÷2= 3，所以D选项错误．
故选：C．
利用二次根式的加减法对A、B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
3.【答案】C
【解析】解：常量是固定不变的量，变量是变化的量，
单价是不变的量，而金额是随着数量的变化而变化，
故选：C．
根据常量与变量的定义即可判断．
本题考查常量与变量，解题的关键是正确理解常量与变量，本题属于基础题型．
4.【答案】D
【解析】解：∵S甲2=0.71，S乙2=0.68，S丙2=0.72，S丁2=0.67，
∴S丙2>S甲2>S乙2>S丁2，
∴四人中成绩最稳定的是丁；
故选：D．
根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
5.【答案】C
【解析】
【分析】
此题考查一次函数图象上点的坐标特征；
把点A(a,−1)代入y=−2x+1，解关于a的方程即可．
【解答】
解：∵点A(a,−1)在一次函数y=−2x+1的图象上，
∴−1=−2a+1，
解得a=1，
故选：C．
6.【答案】D
【解析】解：∵C，D为OA，OB的中点，
∴CD是△OAB的中位线，
∴AB=2CD=80m；
故选：D．
根据三角形的中位线定理进行求解即可．
本题考查三角形的中位线定理．熟练掌握三角形的中位线定理，是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：∵一次函数y=3x−2，k=3>0，b=−2<0，
∴该函数的图象经过第一、三、四象限，
故选：C．
根据题目中的函数解析式和一次函数的性质，可以得到该函数图象经过哪几个象限．
本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确一次函数的性质，知道当k>0，b<0时，一次函数的图象经过哪几个象限．
8.【答案】C
【解析】解：在Rt△ABC中，AC=3，BC=1，
∴AB= AC2+BC2= 32+12= 10，
∴点D表示的数为：1− 10，
故选：C．
根据勾股定理求出AB的长，即可得到答案．
本题考查的是勾股定理，实数与数轴的关系，正确运用勾股定理求出AB的长是解题的关键，要理解数轴上的点与实数的对应关系．
9.【答案】D
【解析】解：A.平行四边形和矩形的对边相等，但四边不一定相等，故A不符合题意；
B.平行四边形，菱形的对角线互相平行，但不一定相等，正方形和矩形的对角线相等，故B不符合题意；
C.矩形对角线互相平分且相等但不互相垂直，故C不符合题意；
D.平行四边形、矩形、菱形、正方形的对角线都互相平分，故D符合题意；
故选：D．
根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质一一判断即可．
本题考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形的相关性质，解决本题的关键是掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的有关对角线的性质．
10.【答案】D
【解析】解：如图所示，

∵△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，
∴AC2+BC2=AB2，
∵△ABD，△ACE，△BCF，都是等腰直角三角形，
∴AD=AB，CA=CE，BC=BF，∠BAD=90°，∠ACE=90°，∠CBF=90°，
∴S△ABD=12AB⋅AD=12AB2，S△ACE=12AC⋅CE=12AC2，S△BCF=12BC⋅BF=12BC2，
∴阴影部分的面积为S阴影=S△ABD+S△ACE+S△BCF，
∴S阴影=12AB2+12AC2+12BC2
=12(AB2+AC2+BC2)
=12(AB2+AB2)
=AB2，
∵AB= 5，
∴S阴影=AB2=( 5)2=5．
故选：D．
根据勾股定理可得AC2+BC2=AB2，根据等腰直角三角形可得S△ABD=12AB⋅AD=12AB2，S△ACE=12AC⋅CE=12AC2，S△BCF=12BC⋅BF=12BC2，再根据阴影部分的面积为S阴影=S△ABD+S△ACE+S△BCF即可求解．
本题主要考查勾股定理，等腰直角三角形的性质与面积计算方法，掌握以上知识是解题的关键．
11.【答案】C
【解析】解：由折叠可得，∠ACD=∠ACE=90°，
∴∠BAC=90°，
又∵∠B=60°，
∴∠ACB=30°，
∴BC=2AB=4，
∴AD=4，
由折叠可得，∠E=∠D=∠B=60°，
∴∠DAE=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴△ADE的周长为4×3=12，
故选：C．
依据平行四边形的性质以及折叠的性质，即可得到BC=2AB=6，AD=6，再根据△ADE是等边三角形，即可得到△ADE的周长为4×3=12．
本题考查了平行四边形的性质、轴对称图形性质以及等边三角形的判定．解题时注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
12.【答案】C
【解析】解：由题意可知当直线y=−2x+b经过A(1,1)时b的值最小，即−2×1+b=1，b=3；
当直线y=−2x+b过C(2,2)时，b最大即2=−2×2+b，b=6，
∴能够使黑色区域变白的b的取值范围为3≤b≤6．
故选：C．
根据题意确定直线y=−2x+b经过哪一点b最大，哪一点b最小，然后代入求出b的取值范围．
本题是一次函数在实际生活中的运用，解答此类题目时一定要注意数形结合的运用．
13.【答案】x≥1
【解析】解：由题意可得 x−1≥0，
∴x−1≥0，
∴x≥1，
故答案为：x≥1．
根据二次根式有意义的条件即可解得．
此题考查了二次根式的意义，解题的关键是列出不等式求解．
14.【答案】88
【解析】解：本学期数学学期综合成绩=90×30%+90×30%+85×40%=88(分)．
故答案为：88．
按3：3：4的比例算出本学期数学学期综合成绩即可．
本题考查了加权成绩的计算，平时成绩：期中考试成绩：期末考试成绩=3：3：4的含义就是分别占总数的30%、30%、40%．
15.【答案】65
【解析】解：由达瓦20分钟所走的路程为6千米，可得速度为6÷20=0.3(千米/分钟)，
休息15分钟后又骑行了9千米所用时间为9÷0.3=30(分钟)，
∴a=35+30=65．
故答案为：65．
根据函数图象可知，达瓦20分钟所走的路程为6千米，可得速度为6÷20=0.3千米/分钟，20～35分钟休息，求出继续骑行9千米的时间即可．
本题考查了函数图象，解决本题的关键是读懂函数图象，利用数形结合的思想方法解答．
16.【答案】4 21
【解析】解：如图，取AB的中点N，连接EN，EC，GN，作EH⊥CD交CD的延长线于H，

由题意可得：AE=8，DE=4，
∵点N是AB的中点，
∴AN=NB=8，
∴AE=AN，
∵∠A=60°，
∴△AEN是等边三角形，
∴EA=EN，∠AEN=∠FEG=60°，∠ANE=60°，
∴∠AEF=∠NEG，
∵EA=EN，EF=EG，
∴△AEF≌△NEG(SAS)，
∴∠ENG=∠A=60°，
∴∠GNB=180°−60°−60°=60°，
∴点G的运动轨迹是射线NG，
∵BN=EN，∠BNG=∠ENG=60°，NG=NG，
∴△EGN≌△BGN(SAS)，
∴GB=GE，
∴GB+GC=GE+GC≥EC，
在Rt△DEH中，∠H=90°，DE=4，∠EDH=60°，
∴DH=12DE=2,EH=2 3，
∴在Rt△ECH中，EC= EH2+CH2= (2 3)2+182=4 21，
∴GB+GC≥4 21，
∴GB+GC的最小值为4 21；
故答案为：4 21．
取AB的中点N，连接EN，EC，GN，作EH⊥CD交CD的延长线于H，根据三角形全等的判定与性质可以得到BG=EG，由三角形三边关系可得GE+GC≥EC，利用勾股定理求出EC的值即可得到解答．
本题考查平行四边形与旋转的综合应用，熟练作出辅助线并掌握旋转的性质、三角形全等的判定与性质、三角形三边关系及勾股定理的应用是解题关键．
17.【答案】解：(1) 27− 8+ 2− 12
=3 3−2 2+ 2−2 3
=3 3−2 3−2 2+ 2
= 3− 2；
(2) 3× 18÷ 6
= 3×18÷6
= 3×18×16
=3．
【解析】(1)根据二次根式的性质化简，二次根式的加减运算法则即可求解；
(2)根据二次根式的乘除运算法则即可求解．
本题主要考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质，二次根式的四则混合运算法则是解题的关键．
18.【答案】2 5 5 5
【解析】解：(1)根据题意，
AB= 22+42=2 5，BC= 12+22= 5，AC= 32+42=5；
故答案为：2 5， 5，5；
(2)△ABC是直角三角形，理由如下：
∵AB=2 5，BC= 5，AC=5；
∴AB2+BC2=(2 5)2+( 5)2=20+5=25=AC2，
∴△ABC是直角三角形．
(1)根据勾股定理即可求解；
(2)根据勾股定理的逆定理即可求解．
本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握网格结构，勾股定理，勾股定理的逆定理是解题的关键．
19.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，AB=CD，
在△ABE和△CDF中，
∵AB=CD∠A=∠CAE=CF，
∴△ABE≌△CDF(SAS)；
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∵AE=CF，
∴AD−AE=BC−CF，
即DE=BF，
∴四边形BFDE是平行四边形．
【解析】(1)由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对边相等，对角相等，即可证得∠A=∠C，AB=CD，又由AE=CF，利用SAS，即可判定△ABE≌△CDF；
(2)由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形对边平行且相等，即可得AD//BC，AD=BC，又由AE=CF，即可证得DE=BF，然后根据对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证得四边形BFDE是平行四边形．
此题考查了平行四边形的性质与判定以及全等三角形的判定．此题难度不大，注意数形结合思想的应用，注意熟练掌握定理的应用．
20.【答案】8 87.5 90
【解析】解：(1)将七年级成绩重新排列为：65、70、75、75、80、80、80、85、85、85、90、90、90、90、90、95、95、95、100、100，
所以a=8，b=85+902=87.5，c=90，
故答案为：8、87.5、90；
(2)七年级学生的竞赛成绩更好，理由如下：
由表知，七年级学生成绩的平均数和中位数均大于八年级，因此七年级学生竞赛成绩的平均水平和高分人数均比八年级高；
(3)1000×8+520+800×5+520=1050(人)，
答：估计七年级和八年级成绩大于80分的总人数为1050人．
(1)将七年级学生的成绩重新排列，再根据中位数和众数的定义求解即可；
(2)根据平均数和中位数的意义求解即可；
(3)根据样本中七、八年级成绩大于80分的总人数所占比例，进而计算七、八年级成绩大于80分的人数即可．
此题考查平均数、中位数、众数的意义和计算方法，频数分布表，从统计表中获取数量之间的关系是解决问题的关键．
21.【答案】解：(1)∵直线l2：y2=kx+b经过A(4,0)、B(3,−32)两点，
∴4k+b=03k+b=−32，解得，k=32b=−6，
∴直线l2的表达式为y2=32x−6．
(2)∵直线l1：y1=−3x+3与直线l2：y2=32x−6交于点C，
∴y=−3x+3y=32x−6，解得，x=2y=−3，
∴点C的坐标为(2,−3)．
(3)由(2)可得，两直线的交点C(2,−3)，
∴当x<2时，l1的图象在l2的图象上方，
∴y1>y2，
∴当x<2时，y1>y2．
【解析】(1)运用待定系数法求解析式即可；
(2)根据两点直线相交，联立方程组求解即可；
(3)由(2)可得点C的坐标，结合图示，即可求解．
本题主要考查一次函数的相关知识，掌握待定系数法求一次函数解析式，两直线交点坐标的计算方法，根据图象的性质确定函数值大小等知识是解题的关键．
22.【答案】解：(1)∵AC=300km，BC=400km，∠ACB=90°，
∴△ABC是直角三角形，
∴AB= AC2+BC2= 3002+4002=500(km)，
如图所示，过点C作CD⊥AB于点D，

∴S△ABC=12AC⋅BC=12AB⋅CD，
∴CD=AC⋅BCAB=240(km)，
∴海港C到直线AB的距离为240km．
(2)由(1)可知，海港C到直线AB的距离为240km，
∵以台风中心为圆心周围260km以内为受影响，如图所示，以点D为圆心，以260km为半径作圆，

∵260>240，
∴海港C受台风影响．
【解析】(1)根据勾股定理先求出AB的长度，再运用等面积法即可求解；
(2)根据台风半径与CD长度的大小比较，即可求解．
本题主要考查直角三角形的勾股定理，点到直线的最短距离的运用，掌握以上知识的综合运用是解题的关键．
23.【答案】(1)证明：∵AB//CD，AD//CE，
∴四边形AECD是平行四边形，∠CDE=∠AED，
∵DE平分∠ADC，
∴∠CDE=∠ADE，
∴∠AED=∠ADE，
∴AD=AE，
∴平行四边形AECD是菱形；
(2)解：由(1)可知，四边形AECD是菱形，
∴OA=OC，CD=AD=10，OD=OE，AC⊥DE，
∵△ACD的周长为36，
∴AC=36−AD−CD=36−10−10=16，
∴OA=OC=8，
在Rt△AOD中，由勾股定理得：OD= AD2−OA2= 102−82=6，
∴DE=2OD=12，
∴菱形AECD的面积=12AC⋅DE=12×16×12=96．
【解析】(1)证四边形AECD是平行四边形，∠CDE=∠AED，再证∠AED=∠ADE，则AD=AE，然后由菱形的判定即可得出结论；
(2)由菱形的性质得OA=OC，CD=AD=10，OD=OE，AC⊥DE，再求出AC=16，则OA=OC=8，然后由勾股定理得OD=6，则DE=2OD=12，即可解决问题．
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
24.【答案】解：(1)设每个A品牌足球的销售利润为m元、每个B品牌足球的销售利润为n元，根据题意，得：5m+10n=70010m+5n=800，
解得：m=60n=40，
答：每个A品牌足球的销售利润为60元、每个B品牌足球的销售利润为40元；
(2)①由题意知，y=60x+40(100−x)=20x+4000，
∴y与x之间的函数关系式为y=20x+4000；
②∵购进A品牌足球的个数不超过B品牌足球个数的4倍，
∴x≤4(100−x)，
解得：x≤80，
在y=20x+4000中，
∵20>0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x=80时，y取得最大值，最大值为20×80+4000=5600，
即最大利润为5600元．
∴应购进A品牌足球80个，B品牌足球20个，销售利润最大，为5600元．
【解析】(1)设每个A品牌和B品牌足球的销售利润分别为m元、n元，根据题“销售5个A品牌和10个B品牌足球的利润和为700元，销售10个A品牌和5个B品牌足球的利润和为800元”得方程组，解方程组即得；
(2)①由题意、根据“总利润等于销售A品牌和B品牌所得利润之和”可得函数关系式；②由已知条件可得关于x的不等式，从而得出x的取值范围，再根据一次函数的增减性，即可求出最大利润．
本题考查一次函数的应用和二元一次方程组的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式或方程组．
25.【答案】①②③④
【解析】解：(1)在正方形和正方形A1B1C1O中，AB=BC，OA=OB，∠OAB=∠OBC=45°，∠AOB=∠A1OC1=90°，
∴∠AOE=∠BOF，
∴△AEO≌△BFO，故①正确；
∴OE=OF，S△AEO=S△BFO，故②正确；
∴四边形OEBF的面积=S△BOE+S△BOF=S△BOE+S△AOE=S△AOB=14S正方形ABCD，
四边形OEBF的面积总等于14S正方形ABCD，故③正确；
如图，
，
∵△AEO≌△BFO，
∴AE=BF，
∵AB=BC，
∴BE=CF，
∵∠ABC=90°，
∴BF2+BE2=EF2，
∴AE2+CF2=EF2，故④正确；
故答案为：①②③④
(2)AE2+CF2=EF2，理由如下：
连接AC，延长EO交CD于点G，连接FG，

∵O是矩形ABCD的中心，
∴点O是AC的中点．
∴AO=CO，
∵在矩形ABCD中，∠BCD=90°，AB//CD，
∴∠BAO=∠DCO，∠AEO=∠CGO，
∴△AEO≌△CGO，
∴AE=CG，OE=OG，
在矩形A1B1C1O中，∠A1OC1=90°，
∴EF=FG，
在Rt△FCG中，CG2+CF2=GF2
∴AE2+CF2=EF2；
(3)设CF=x cm．
①当点E在线段AC上时，

∵AE=2cm，
∴CE=1cm
∵在Rt△FCE中，∠C=90°，
∴CE2+CF2=EF2，
∴12+x2=EF2，
又由(2)得：EF2=AE2+BF2，
∴EF2=22+BF2
∴12+x2=22+(4−x)2，
解得x=198．
∴EF= 12+(198)2=5 178．
②当点E在CA延长线上时，同理可证EF2=AE2+BF2

∴EF2=22+(4+x)2，
又在Rt△FCE中，EF2=x2+(3+2)2．
∴x2+(3+2)2=22+(4+x)2
解得x=58．
∴EF= 52+(58)2=5 658
故EF的长度为5 178cm或5 658cm．
(1)先证明△AEO≌△BFO，再根据全等三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，逐项判断即可求解；
(2)连接AC，延长EO交CD于点G，连接FG，根据矩形的性质可得点O是AC的中点，再证明△AEO≌△CGO，可得AE=CG，OE=OG，再由线段垂直平分线的性质可得EF=FG，在Rt△FCG中，根据勾股定理，即可求解；
(3)设CF=x cm.分两种情况讨论：①当点E在线段AC上时，②当点E在CA延长线上时，结合勾股定理，即可求解．
本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，利用类比思想解答是解题的关键．
成绩x(分)
60≤x≤70
708090七年级
2
5
a
5
八年级
3
7
5
5
统计量
平均数
中位数
众数
七年级
85.75
b
c
八年级
83.5
82.5
80