辽宁省抚顺市、本溪市、辽阳市2020年中考数学试题（含详解）

这是一份辽宁省抚顺市、本溪市、辽阳市2020年中考数学试题（含详解），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第一部分选择题（共30分）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.-2的倒数是（ ）
A. -2B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】
根据倒数的定义求解.
【详解】-2的倒数是- SKIPIF 1 < 0
故选B
【点睛】本题难度较低，主要考查学生对倒数相反数等知识点的掌握
2.下图是由一个长方体和一个圆锥组成的几何体，它的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【详解】从正面看下边是一个矩形，矩形的上边是一个三角形，
故选：C．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
3.下列运算正确的是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】
运用合并同类项，同底数幂的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方等运算法则运算即可．
【详解】解：A．m2与2m不是同类项，不能合并，所以A错误；
B．m4÷m2＝m4﹣2＝m2，所以B正确；
C．m2•m3＝m2+3＝m5，所以C错误；
D．（m2）3＝m6，所以D错误；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方等运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．
4.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
5.某校九年级进行了3次数学模拟考试，甲、乙、丙、丁4名同学3次数学成绩的平均分都是129分，方差分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则这4名同学3次数学成绩最稳定的是（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
【答案】A
【解析】
【分析】
根据方差的意义即方差越小成绩越稳定即可求解．
【详解】解：∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且平均数相等，
∴ SKIPIF 1 < 0 ＜ SKIPIF 1 < 0 ＜ SKIPIF 1 < 0 ＜ SKIPIF 1 < 0
∴这4名同学3次数学成绩最稳定的是甲，
故选：A．
【点睛】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
6.一个等腰直角三角尺和一把直尺按如图所示的位置摆放，若 SKIPIF 1 < 0 ，则∠2的度数是（ ）
A. 15°B. 20°C. 25°D. 40°
【答案】C
【解析】
【分析】
利用平行线的性质求得∠3的度数，即可求得∠2的度数．
【详解】
∵AD∥BC，
∴∠3=∠1=20 SKIPIF 1 < 0 ，
∵△DEF是等腰直角三角形，
∴∠EDF=45 SKIPIF 1 < 0 ，
∴∠2=45 SKIPIF 1 < 0 ∠3=25 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
7.一组数据1，8，8，4，6，4的中位数是（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】
先将数据重新按大小顺序排列，再根据中位数的概念求解可得．
【详解】解：一组数据1，4，4，6，8，8的中位数是 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B．
【点睛】本题主要考查中位数，解题的关键是掌握中位数的定义：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
8.随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递80件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件 SKIPIF 1 < 0 件，根据题意可列方程为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
【分析】
设原来平均每人每周投递快件x件，则现在平均每人每周投递快件（x+80）件，根据人数=投递快递总数量÷人均投递数量，结合快递公司的快递员人数不变，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【详解】解：设原来平均每人每周投递快件x件，则现在平均每人每周投递快件（x+80）件，
根据快递公司的快递员人数不变列出方程，得： SKIPIF 1 < 0 ，
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
9.如图，四边形 SKIPIF 1 < 0 是菱形，对角线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上一点，连接 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的长是（ ）
A. 2B. SKIPIF 1 < 0 C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
根据菱形的对角线互相垂直平分求出OB，OC，AC⊥BD，再利用勾股定理列式求出BC，然后根据等腰三角形的性质结合直角三角形两个锐角互余的关系求解即可．
【详解】∵菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
∴OA=OC= SKIPIF 1 < 0 AC=4，OB=OD= SKIPIF 1 < 0 BD=3，AC⊥BD，
由勾股定理得，CD= SKIPIF 1 < 0 ，
∵OE=CE，
∴∠EOC=∠ECO，
∵∠EOC+∠EOD =∠ECO+∠EDO=90 SKIPIF 1 < 0 ，
∴∠EOD =∠EDO，
∴OE=ED，
∴OE=ED=CE，
∴OE= SKIPIF 1 < 0 CD= SKIPIF 1 < 0 ．
故选：B．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形两个锐角互余，勾股定理，熟记性质与定理是解题的关键．
10.如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ．点 SKIPIF 1 < 0 从点 SKIPIF 1 < 0 出发，沿 SKIPIF 1 < 0 的路径运动，运动到点 SKIPIF 1 < 0 停止，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ．设点 SKIPIF 1 < 0 运动的路程为 SKIPIF 1 < 0 ，四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，则能反映 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 之间函数关系的图象是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
分两段来分析：①点P从点A出发运动到点D时，写出此段的函数解析式，则可排除C和D；②P点过了D点向C点运动，作出图形，写出此阶段的函数解析式，根据图象的开口方向可得答案．
【详解】解：∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴四边形 SKIPIF 1 < 0 是矩形，
I．当P在线段AD上时，即 SKIPIF 1 < 0 时，如解图1
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，此阶段函数图象是抛物线，开口方向向下，故选项CD错误；
II．当P在线段CD上时，即 SKIPIF 1 < 0 时，如解图2：
依题意得： SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，此阶段函数图象是抛物线，开口方向向上，故选项B错误；
故选：A．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，分段写出函数的解析式并数形结合进行分析是解题的关键．
第二部分非选择题（共120分）
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
11.截至2020年3月底，我国已建成 SKIPIF 1 < 0 基站198 000个，将数据198 000用科学记数法表示为_________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【详解】198000=1.98×105，
故答案为：1.98×105．
【点睛】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．
12.若一次函数 SKIPIF 1 < 0 的图象经过点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 _________．
【答案】8
【解析】
【分析】
将点 SKIPIF 1 < 0 代入一次函数的解析式中即可求出m的值．
【详解】解：由题意知，将点 SKIPIF 1 < 0 代入一次函数 SKIPIF 1 < 0 的解析式中，
即： SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为：8．
【点睛】本题考查了一次函数的图像和性质，点在图像上，则将点的坐标代入解析式中即可．
13.若关于 SKIPIF 1 < 0 一元二次方程 SKIPIF 1 < 0 无实数根，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是_________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
方程无实数根，则 SKIPIF 1 < 0 ，建立关于k的不等式，即可求出k的取值范围．
【详解】∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由题意知， SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查了一元二次方程 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为常数）的根的判别式 SKIPIF 1 < 0 ．当 SKIPIF 1 < 0 ，方程有两个不相等的实数根；当 SKIPIF 1 < 0 ，方程有两个相等的实数根；当 SKIPIF 1 < 0 ，方程没有实数根．
14.下图是由全等的小正方形组成的图案，假设可以随意在图中取点，那么这个点取在阴影部分的概率是_________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
先设阴影部分的面积是5x，得出整个图形的面积是9x，再根据几何概率的求法即可得出答案．
【详解】解：设阴影部分的面积是5x，则整个图形的面积是9x，
则这个点取在阴影部分的概率是 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．
15.如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的中点，连接 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，连接 SKIPIF 1 < 0 并延长，交 SKIPIF 1 < 0 的延长线于点 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的长为_________．
【答案】2
【解析】
【分析】
依据三角形中位线定理，即可得到MN= SKIPIF 1 < 0 BC=2，MN SKIPIF 1 < 0 BC，依据△MNE≌△DCE（AAS），即可得到CD=MN=2．
【详解】解：∵M，N分别是AB和AC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
∴MN= SKIPIF 1 < 0 BC=2，MN∥BC，
∴∠NME=∠D，∠MNE=∠DCE，
∵点E是CN的中点，
∴NE=CE，
∴△MNE≌△DCE（AAS），
∴CD=MN=2．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理以及全等三角形判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
16.如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，分别以点 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 为圆心，以大于 SKIPIF 1 < 0 的长为半径作弧，两弧相交于点 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，作直线 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的长为_________．
【答案】5
【解析】
分析】
由题意可得：直线MN是AB的垂直平分线，从而有EA=EB，然后设BE=AE=x，则可用含x的代数式表示出BC，于是在Rt△BCE中根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求出结果．
【详解】解：由题意可得：直线MN是AB的垂直平分线，∴EA=EB，
设BE=AE=x，则AC=x+3，
∵AC=2BC，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在Rt△BCE中，由勾股定理，得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 （舍去），
∴BE=5．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图和性质、勾股定理和一元二次方程的解法等知识，属于常考题型，熟练掌握上述知识、灵活应用方程思想是解题关键．
17.如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在反比例函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）的图象上，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴上， SKIPIF 1 < 0 ，延长 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 的面积等于1，则 SKIPIF 1 < 0 的值为_________．
【答案】3
【解析】
【分析】
作AE⊥BC于E，连接OA，根据等腰三角形的性质得出OC= SKIPIF 1 < 0 CE，根据相似三角形的性质求得S△CEA=1，进而根据题意求得S△AOE= SKIPIF 1 < 0 ，根据反比例函数系数k的几何意义即可求得k的值．
【详解】解：作AE⊥BC于E，连接OA，
∵AB=AC，
∴CE=BE，
∵OC= SKIPIF 1 < 0 OB，
∴OC= SKIPIF 1 < 0 CE，
∵AE∥OD，
∴△COD∽△CEA，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，OC= SKIPIF 1 < 0 OB，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵OC= SKIPIF 1 < 0 CE，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 )，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，三角形的面积，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
18.如图，四边形 SKIPIF 1 < 0 是矩形，延长 SKIPIF 1 < 0 到点 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ；点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ；点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ；…；按照此规律继续进行下去，若矩形 SKIPIF 1 < 0 的面积等于2，则 SKIPIF 1 < 0 的面积为_________．（用含正整数 SKIPIF 1 < 0 的式子表示）
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
先计算出 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的面积，然后再根据其面积的表达式找出其一般规律进而求解．
【详解】解：∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 面积是矩形ABCD面积的一半，∴梯形BCDE的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，
∵点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，由中线平分所在三角形的面积可知，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
同理可以计算出：
SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的面积分别为： SKIPIF 1 < 0 ，
观察规律，其分母分别为2,4,8，符合 SKIPIF 1 < 0 ，分子规律为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查了三角形的中线的性质，三角形面积公式，矩形的性质等，本题的关键是能求出前面三个三角形的面积表达式，进而找出规律求解．
三、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分）
19.先化简，再求值： SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
首先根据分式的加减法法则将括号里面的分式进行计算，然后将除法转化成乘法进行约分化简，最后将 SKIPIF 1 < 0 的值代入化简后的式子进行计算．
【详解】 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，
原式 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值以及二次根式的加减运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
20.为培养学生的阅读习惯，某中学利用学生课外时间开展了以“走近名著”为主题的读书活动．为了有效了解学生课外阅读情况，现随机调查了部分学生每周课外阅读的时间，设被调查的每名学生每周课外阅读的总时间为 SKIPIF 1 < 0 小时，将它分为4个等级： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）， SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）， SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）， SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），并根据调查结果绘制了如两幅不完整的统计图：
请你根据统计图的信息，解决下列问题：
（1）本次共调查了_________名学生；
（2）在扇形统计图中，等级 SKIPIF 1 < 0 所对应扇形的圆心角为_________°；
（3）请补全条形统计图；
（4）在等级 SKIPIF 1 < 0 中有甲、乙、丙、丁4人表现最为优秀，现从4人中任选2人作为学校本次读书活动的宣传员，用列表或画树状图的方法求恰好选中甲和乙的概率．
【答案】（1）50；（2）108；（3）见解析；（4） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
（1）用条形统计图中等级B的人数除以扇形统计图中等级B所占百分比即得本次调查的人数；
（2）用扇形统计图中等级D的人数除以总人数再乘以360°即可求出等级 SKIPIF 1 < 0 所对应的扇形的圆心角；
（3）用总人数减去其它三个等级的人数即得等级C的人数，进而可补全条形统计图；
（4）先画出树状图求出所有等可能的结果数，再找出恰好选中甲和乙的结果数，然后根据概率公式求解即可．
【详解】解：（1）本次调查的学生人数=13÷26%=50名；
故答案为：50；
（2）在扇形统计图中，等级 SKIPIF 1 < 0 所对应的扇形的圆心角= SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为：108；
（3） SKIPIF 1 < 0 等级人数为： SKIPIF 1 < 0 名，补图如下：
（4）画树状图得：
由图可知：总共有12种结果，且每种结果出现的可能性相同，其中恰好选中甲和乙的结果有2种，
所以 SKIPIF 1 < 0 （恰好选中甲和乙） SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题是统计与概率综合题，主要考查了条形统计图和扇形统计图的相关知识以及求两次事件的概率，属于常考题型，熟练掌握统计与概率的基本知识是解题的关键．
四、解答题（第21题12分，第22题12分，共24分）
21.某校计划为教师购买甲、乙两种词典．已知购买1本甲种词典和2本乙种词典共需170元，购买2本甲种词典和3本乙种词典共需290元．
（1）求每本甲种词典和每本乙种词典的价格分别为多少元？
（2）学校计划购买甲种词典和乙种词典共30本，总费用不超过1600元，那么最多可购买甲种词典多少本？
【答案】（1）每本甲种词典的价格为70元，每本乙种词典的价格为50元；（2）学校最多可购买甲种词典5本
【解析】
【分析】
（1）设每本甲种词典的价格为x元，每本乙种词典的价格为y元，根据“购买1本甲种词典和2本乙种词典共需170元，购买2本甲种词典和3本乙种词典共需290元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设学校购买甲种词典m本，则购买乙种词典（30-m）本，根据总价=单价×数量结合总费用不超过1600元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【详解】（1）设每本甲种词典的价格为 SKIPIF 1 < 0 元，每本乙种词典的价格为 SKIPIF 1 < 0 元，根据题意，得
SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0
答：每本甲种词典的价格为70元，每本乙种词典的价格为50元．
（2）设学校计划购买甲种词典 SKIPIF 1 < 0 本，则购买乙种词典 SKIPIF 1 < 0 本，根据题意，得
SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0
答：学校最多可购买甲种词典5本．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
22.如图，我国某海域有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两个港口，相距80海里，港口 SKIPIF 1 < 0 在港口 SKIPIF 1 < 0 的东北方向，点 SKIPIF 1 < 0 处有一艘货船，该货船在港口 SKIPIF 1 < 0 的北偏西30°方向，在港口 SKIPIF 1 < 0 的北偏西75°方向，求货船与港口 SKIPIF 1 < 0 之间的距离．（结果保留根号）
【答案】货船与港口 SKIPIF 1 < 0 之间的距离是 SKIPIF 1 < 0 海里
【解析】
【分析】
过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，先求出 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，由三角函数定义求出 SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形，得出 SKIPIF 1 < 0 海里即可．
【详解】解：过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0
根据题意，得
SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
在 SKIPIF 1 < 0 中
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
在 SKIPIF 1 < 0 中
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
答：货船与港口 SKIPIF 1 < 0 之间的距离是 SKIPIF 1 < 0 海里．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用 SKIPIF 1 < 0 方向角问题、等腰直角三角形的判定与性质等知识；通过作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
五、解答题（满分12分）
23.超市销售某品牌洗手液，进价为每瓶10元．在销售过程中发现，每天销售量 SKIPIF 1 < 0 （瓶）与每瓶售价 SKIPIF 1 < 0 （元）之间满足一次函数关系（其中 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 为整数），当每瓶洗手液的售价是12元时，每天销售量为90瓶；当每瓶洗手液的售价是14元时，每天销售量为80瓶．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 之间的函数关系式；
（2）设超市销售该品牌洗手液每天销售利润为 SKIPIF 1 < 0 元，当每瓶洗手液的售价定为多少元时，超市销售该品牌洗手液每天销售利润最大，最大利润是多少元？
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 （10≤x≤15，且x为整数）；（2）当每瓶洗手液的售价定为15元时，超市销售该品牌洗于液每天销售利润最大，最大利润是375元
【解析】
分析】
（1）利用待定系数法求解可得；
（2）根据“毛利润=每瓶毛利润×销售量”列出函数解析式，将其配方成顶点式后利用二次函数的性质求解可得．
【详解】解：（1）设 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 之间的函数关系式为 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），根据题意，得：
SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 之间的函数关系式为 SKIPIF 1 < 0 （10≤x≤15，且x为整数）；
（2）根据题意，得：
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴抛物线开口向下， SKIPIF 1 < 0 有最大值，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 随 SKIPIF 1 < 0 的增大而增大，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 为整数，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有最大值，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
答：当每瓶洗手液的售价定为15元时，超市销售该品牌洗于液每天销售利润最大，最大利润是375元．
【点睛】本题主要了考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据总利润的相等关系列出函数解析式、利用二次函数的性质求最值问题．
六、解答题（满分12分）
24.如图，在平行四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是对角线， SKIPIF 1 < 0 ，以点 SKIPIF 1 < 0 为圆心，以 SKIPIF 1 < 0 的长为半径作 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 边于点 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求证： SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相切；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析；（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
（1）证明：连接AE，根据平行四边形的性质得到AD=BC，AD∥BC，求得∠DAE=∠AEB，根据全等三角形的性质得到∠DEA=∠CAB，得到DE⊥AE，于是得到结论；
（2）根据已知条件得到△ABE是等边三角形，求得AE=BE，∠EAB=60°，得到∠CAE=∠ACB，得到CE=BE，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．
【详解】（1）证明：连接 SKIPIF 1 < 0
∵四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的半径
∴ SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相切
（2）解：∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 是等边三角形
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∵在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，扇形的面积的计算，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．
七、解答题（满分12分）
25.如图，射线 SKIPIF 1 < 0 和射线 SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），且 SKIPIF 1 < 0 ．点 SKIPIF 1 < 0 是射线 SKIPIF 1 < 0 上的动点（点 SKIPIF 1 < 0 不与点 SKIPIF 1 < 0 和点 SKIPIF 1 < 0 重合）．作射线 SKIPIF 1 < 0 ，并在射线 SKIPIF 1 < 0 上取一点 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）如图①，当点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 时，请直接写出 SKIPIF 1 < 0 的度数；
（2）如图②，当点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 时，请写出线段 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 之间的数量关系，并说明理由；
（3）当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时，请直接写出 SKIPIF 1 < 0 的值．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ，理由见解析；（3） SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
（1）根据等腰直角三角形的性质求解得∠ACB=45 SKIPIF 1 < 0 ，证明A、B、E、C四点共圆，利用圆周角定理即可求解；
（2）在 SKIPIF 1 < 0 上截取 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，利用“SAS”证得△ABF SKIPIF 1 < 0 △CBE，求得 SKIPIF 1 < 0 ，根据三角函数的定义即可求解；
（3）分D在线段CB上和D在CB延长线上两种情况讨论，利用（2）的方法及结论即可求解．
【详解】（1）连接AC，如图：
∵∠ABC=90 SKIPIF 1 < 0 ，AB=CB,
∴∠ACB=∠CAB=45 SKIPIF 1 < 0 ，
∵∠AEC=90 SKIPIF 1 < 0 ，又∠ABC=90 SKIPIF 1 < 0 ，
∴A、B、E、C四点共圆，
根据圆周角定理：∠AEB=∠ACB=45 SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 ，理由如下：
在 SKIPIF 1 < 0 上截取 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴A、B、E、C四点共圆，
根据圆周角定理： SKIPIF 1 < 0 ，
在△ABF和△CBE中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴在 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（3）当D在线段CB上时，如图：
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴设BH= SKIPIF 1 < 0 ，则AH= SKIPIF 1 < 0 ，
由（2）得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴BF=BE= SKIPIF 1 < 0 ，FH=EH= SKIPIF 1 < 0 ，
∴AF=CE=AH-FH=(3- SKIPIF 1 < 0 ) SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
当D在CB延长线上时，
在 SKIPIF 1 < 0 上截取 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ．如图：
同理：设BH= SKIPIF 1 < 0 ，则AH= SKIPIF 1 < 0 ，
同理得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴BF=BE= SKIPIF 1 < 0 ，FH=EH= SKIPIF 1 < 0 ，
∴AF=CE=AH+FH=(3+ SKIPIF 1 < 0 ) SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
综上， SKIPIF 1 < 0 的值为： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查了圆周角定理，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，解直角三角形的应用，作出辅助线构建全等三角形是解题的关键．
八、解答题（满分14分）
26.如图，抛物线 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）过点 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是抛物线的顶点，点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 轴下方抛物线上的一点，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，当 SKIPIF 1 < 0 时，求点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；
（3）如图②，在（2）的条件下，抛物线的对称轴交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，交线段 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 上的动点（点 SKIPIF 1 < 0 不与点 SKIPIF 1 < 0 和点 SKIPIF 1 < 0 重合，连接 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 折叠，点 SKIPIF 1 < 0 的对应点为点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的重叠部分为 SKIPIF 1 < 0 ，在坐标平面内是否存在一点 SKIPIF 1 < 0 ，使以点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ；（3）存在，( SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 )或( SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 )或( SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 )
【解析】
【分析】
（1）把点O(0，0)和A(6，0)分别代入解析式即可求解；
（2）分别求得点B、C、E的坐标，用待定系数法求得直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式，解方程组即可求得点D的坐标；
（3）分三种情况讨论，利用解直角三角形求解即可．
【详解】（1）把点 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 分别代入 SKIPIF 1 < 0 中，得：
SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴抛物线的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）如图，设抛物线的对称轴与 SKIPIF 1 < 0 轴相交于点C，与 SKIPIF 1 < 0 相交于点E，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴顶点 SKIPIF 1 < 0 ，对称轴与 SKIPIF 1 < 0 轴的交点C(3，0)，
∴OC=3， CB= SKIPIF 1 < 0 ，
∵在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
∴点E的坐标为(3， SKIPIF 1 < 0 )，
设直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式是 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），
把点E (3， SKIPIF 1 < 0 )代入，得：
SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式是 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 （舍去）， SKIPIF 1 < 0 ，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴点D的坐标为(5， SKIPIF 1 < 0 )；
（3）存在，理由如下：
由（2）得：∠COE=∠EOB=30 SKIPIF 1 < 0 ，CE= SKIPIF 1 < 0 ，BE=OE=2CE=2 SKIPIF 1 < 0 ，
①当∠EFG=90 SKIPIF 1 < 0 时，如图：
点 SKIPIF 1 < 0 、G与点O重合，此时四边形EFGH为矩形，
过H作HP⊥OC于P，
∵∠COE=∠EOB=30 SKIPIF 1 < 0 ，
∴OH=EF=CE= SKIPIF 1 < 0 ，
∴∠HOP=90 SKIPIF 1 < 0 -∠COE-∠EOB=30 SKIPIF 1 < 0 ，
∴HP= SKIPIF 1 < 0 OH= SKIPIF 1 < 0 ，OP= SKIPIF 1 < 0 HP= SKIPIF 1 < 0 ，
点H的坐标为( SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 )；
②当∠EGF=90 SKIPIF 1 < 0 时，此时四边形EGFH为矩形，如图：
∵∠CEO=90 SKIPIF 1 < 0 -∠COE=60 SKIPIF 1 < 0 ，∠OEG=90 SKIPIF 1 < 0 -∠EOB=60 SKIPIF 1 < 0 ，
∠BEG=180 SKIPIF 1 < 0 -∠CEO-∠OEG=60 SKIPIF 1 < 0 ，
根据折叠的性质：∠ SKIPIF 1 < 0 EF=∠BEF= SKIPIF 1 < 0 =30 SKIPIF 1 < 0 ，
在Rt△EGF中，∠EGF=90 SKIPIF 1 < 0 ，∠GEF=30 SKIPIF 1 < 0 ，GE=CE= SKIPIF 1 < 0 ，
∴GF=GE SKIPIF 1 < 0 =1，
∴EH=GF=1，
过H作HQ⊥BC于Q，
∴∠HEQ=90 SKIPIF 1 < 0 -∠BEG =30 SKIPIF 1 < 0 ，
∴HQ= SKIPIF 1 < 0 EH= SKIPIF 1 < 0 ，EQ= SKIPIF 1 < 0 HQ= SKIPIF 1 < 0 ，
点H的坐标为( SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 )，即( SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 )；
③当点G在OD上，且∠EGF=90 SKIPIF 1 < 0 时，此时四边形EGFH为矩形，如图：
∵∠BOE=30 SKIPIF 1 < 0 ，
∴∠OFG=90 SKIPIF 1 < 0 -∠EOB=60 SKIPIF 1 < 0 ，
根据折叠的性质：∠ SKIPIF 1 < 0 E=∠BFE= SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 =60 SKIPIF 1 < 0 ，
∴FG是线段OE的垂直平分线，
∴OG=GE= SKIPIF 1 < 0 OE= SKIPIF 1 < 0 ，EH=GF=OG SKIPIF 1 < 0 =1，
过H作HK⊥BC于K，
∴∠HEK=180 SKIPIF 1 < 0 -∠OEC-∠OEH=30 SKIPIF 1 < 0 ，
∴HK= SKIPIF 1 < 0 EH= SKIPIF 1 < 0 ，EK= SKIPIF 1 < 0 HK= SKIPIF 1 < 0 ，
点H的坐标为( SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 )，即( SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 )；
综上，符合条件的点H的坐标为( SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 )或( SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 )或( SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ) ．
【点睛】本题是二次函数与几何的综合题考查了待定系数法求函数解析式，解直角三角形，含30度角的直角三角形的性质，翻折变换，矩形的性质等知识，解题的关键是注意数形结合思想和分类讨论的思想解决问题，属于中考压轴题．
本试卷的题干、答案和解析均由组卷网（）专业教师团队编校出品。
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