期末专题11 概率综合-【备战期末必刷真题】2022-2023学年高一数学下学期期末考试真题必刷强化训练（新高考广东专用）

这是一份期末专题11 概率综合-【备战期末必刷真题】2022-2023学年高一数学下学期期末考试真题必刷强化训练（新高考广东专用），文件包含期末专题11概率综合原卷版docx、期末专题11概率综合解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共43页， 欢迎下载使用。
期末专题11 概率综合

一、单选题
1．（2022春·广东·高一统考期末）“五一”劳动节放假期间，甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为，，，假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】结合对立事件以及相互独立事件概率计算公式，计算出正确答案.
【详解】∵甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为，，．
∴他们不去北京旅游的概率分别为，，．
∵至少有1人去北京旅游的对立事件是没有人去北京旅游，
∴至少有1人去北京旅游的概率为：．
故选：B
2．（2022春·广东梅州·高一统考期末）第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬季奥运会，是由中国举办的国际性奥林匹克赛事，某运动选手从男子500米、男子1000米、男子1500米、男子5000米接力、混合团体2000米接力5项中等可能的选3项参赛，则该选手没有选择男子5000米接力的概率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用列举法写出样本空间，结合古典概型的计算公式即可求解.
【详解】记男子500米、男子1000米、男子1500米、男子5000米接力、混合团体2000米接力分别为，则从5项中选3项参赛的样本空间为：共个样本点，
记“该选手没有选择男子5000米接力”的事件，则共4个样本点，由古典概型的计算公式，得
所以.
故选：C.
3．（2022春·广东梅州·高一统考期末）同时抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，用x表示红色骰子的点数，y表示绿色骰子的点数，设事件“”，事件“为奇数”，事件“”，则下列结论正确的是（    ）
A．与对立 B．
C．与相互独立 D．与相互独立
【答案】C
【分析】根据题意写出样本空间，分别表示出事件、事件和事件，求出对应概率，然后根据对立事件的概念以及事件独立性概念作出判断即可.
【详解】依题意，样本空间为：

共36种，
事件包含的基本事件为： 共种，
，
事件包含的基本事件为：
共种，
，
事件包含的基本事件为：

共种，

对于A，事件与事件互斥，不对立，A错误；
事件与事件同时发生的基本事件为：，共种，
，B错误；
事件与事件同时发生的基本事件为：，共种，
，
对于C，，C正确；
对于D，，D错误.
故选C.
4．（2022春·广东肇庆·高一统考期末）二进制数字系统中，用两个不同的符号0（代表脉冲间隔）和1（代表有脉冲信号）来表示基数，每个0或1就是一个位（bit）．如二进制数01001就是5（bit）．一个5（bit）的二进制数，由3个0和2个1随机排成一行，则2个1不相邻的概率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用列举法和古典概型概率计算公式可得答案.
【详解】将3个0和2个1随机排成一行，可以是：
00011，00101，01001，10001，00110，01010，10010，01100，10100，11000，共10种排法，
其中2个1不相邻的排列方法为：
00101，01001，10001，01010，10010，10100，共6种排法，
故2个1不相邻的概率为.
故选：C．
5．（2022春·广东江门·高一统考期末）抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币正面向上”，事件“第二枚硬币反面向上”，下列结论中正确的是（    ）
A．A与B为相互独立事件 B．A与B互为对立事件
C．A与B为互斥事件 D．
【答案】A
【分析】由相互独立事件及互斥事件、对立事件的定义以及古典概率依次判断即可.
【详解】由相互独立事件的定义知，A与B为相互独立事件，A正确；
事件可以同时发生，则A与B不是互斥事件，也不是对立事件，B错误；C错误；
，D错误.
故选：A.
6．（2022春·广东茂名·高一统考期末）2021年是中国共产党成立100周年，为了庆祝建党100周年，激发青少年学生的爱国、爱党热情，引导青少年学生深入地了解党的光辉历史，加强爱国主义教育，甲、乙两所学校均计划于2021年7月组织师生参加“观看一部红色电影”活动．据了解，《1921》、《革命者》、《红船》、《三湾改编》等多部电影将陆续上映．甲、乙两校分别从这4部电影中任选一部电影观看，则甲、乙两校选择不同电影观看的概率是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用古典概型概率公式即得.
【详解】分别用1，2，3，4表示《1921》、《革命者》、《红船》、《三湾改编》，
由题可得基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，，共有16种，
其中甲、乙两校选择不同电影有：，，，，，，，，，，，，共有12种，
所以甲、乙两校选择不同电影观看的概率是.
故选：D．
7．（2022春·广东茂名·高一统考期末）有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是6”，则（    ）
A．甲与丙相互独立 B．丙与丁相互独立 C．甲与丁相互独立 D．乙与丙相互独立
【答案】C
【分析】根据给定条件，求出各个事件的概率，再利用相互独立事件的定义判断作答.
【详解】甲、乙、丙、丁事件分别记为，则有，，
对于A，显然甲丙不可能同时发生，即，A不正确；
对于B，显然丙丁不可能同时发生，即，B不正确；
对于C，，甲与丁相互独立，C正确；
对于D，，D不正确.
故选：C
8．（2022春·广东揭阳·高一统考期末）若随机事件满足，，，则事件与的关系是（    ）
A．互斥 B．相互独立 C．互为对立 D．互斥且独立
【答案】B
【分析】利用独立事件，互斥事件和对立事件的定义判断即可
【详解】解：因为， ，
又因为，所以有，所以事件与相互独立，不互斥也不对立
故选：B.
9．（2022春·广东·高一校联考期末）集合A=，，从A，B中各取一个数，则这两数之和等于5的概率是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】依据古典概型公式解之即可.
【详解】从A，B中各取一个数，则这两数之和可能为
，，
共有6个可能的结果，其中两数之和等于5的有2个，
则从A，B中各取一个数，这两数之和等于5的概率是
故选：B
10．（2022春·广东广州·高一华南师大附中校考期末）有位男生和位女生在周日去参加社区志愿活动，从该位同学中任取人，至少有名女生的概率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将位男生分别记为、、，位女生分别记为、，列举出所有的基本事件，并确定事件“从这位同学中任取人，至少有名女生”所包含的基本事件数，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】将位男生分别记为、、，位女生分别记为、，
从这位同学中任取人，所有的基本事件有：、、、、、、、、、，共种，
其中，事件“从这位同学中任取人，至少有名女生”包含的基本事件有：、、、、、、、、，共种，
因此，所求概率为.
故选：D.
【点睛】方法点睛：求解古典概型概率的方法如下：
（1）列举法；
（2）列表法；
（3）树状图法；
（4）排列、组合数的应用.

二、多选题
11．（2022春·广东·高一校联考期末）口袋里装有2红，2白共4个形状相同的小球，从中不放回的依次取出两个球，事件“取出的两球同色”，“第一次取出的是红球”，“第二次取出的是红球”，“取出的两球不同色”，下列判断中正确的（    ）
A．A与B相互独立. B．A与D互为对立. C．B与C互斥. D．B与D相互独立；
【答案】ABD
【分析】根据古典概型的概率公式求出所对应的事件的概率，再根据相互独立事件的定义判断AD，根据对立事件，互斥事件的定义可判断BC.
【详解】由题可得，，，
，，
所以，，
所以 A 与 B 相互独立，B 与 D 相互独立，故AD正确；
对于B，由题意知，取出两个球要么颜色相同，要么颜色不同，即 A 与 D 互为对立事件，故B正确；
对于C， “第1次取出的是红球”，“第2次取出的是红球”， C 与 D 可能同时发生，故C错误.
故选：ABD.
12．（2022春·广东中山·高一统考期末）第二次世界大战中，英军急需找到空战中飞机的危险区域并加固钢板．美国数理统计学家瓦尔德（Wal，Abrahom）研究了返航轰炸机的中弹情况．他画了飞机的轮廓，并标示出弹孔位置．图中的小黑点表示返航的轰炸机机身上所受到的德军防空炮火的袭击棕记．根据这张图，可以确定战机需要加强防护的主要部位是（　　）

A．机头部分 B．机翼部分 C．机腹部分 D．尾翼部分
【答案】AC
【分析】因为是根据返航轰炸机的中弹情况进行分析，飞机的机头和机腹部分鲜有弹孔，说明机头和机腹部分较为薄弱危险，只要中弹就很难返回，机翼和机尾部分弹孔密集，说明这两部分危险性较小．
【详解】因为飞机每一部分在空中中弹情况都是等可能的，而飞回来的飞机的机头和机腹部分鲜有弹孔，说明机头和机腹部分较为薄弱危险，只要中弹就回不来了，机翼和机尾部分弹孔密集，说明这两部分危险性较小，比较耐打．故应该加强机头和机腹部分．
故选：AC．
13．（2022春·广东肇庆·高一统考期末）已知表示必然事件，事件A的对立事件记为，且，事件B的对立事件记为，且，则（    ）
A．必然事件与事件A相互独立 B．若A与B互斥，则A与B不独立
C．若A与B相互独立，则与不独立 D．若A与相互独立，则A与B互斥
【答案】AB
【分析】利用相互独立事件的定义以及互斥事件的定义对选项一一判断即可得出答案.
【详解】，所以A正确；
若A与B互斥，则，而，所以A与B不独立，故B正确；
若A与B相互独立，则，
故，所以与相互独立，故C错误；
若A与相互独立，则A与B相互独立，则，则，与A与B互斥矛盾，故D错误．
故选：AB.
14．（2022春·广东广州·高一统考期末）下列结论正确的是（    ）
A．某班有男生30人，女生20人，现用分层抽样的方法从其中抽10名同学进行体有健康测试，则应抽取男生6人
B．某人将一枚质地均匀的硬币连续抛掷了10次，正而朝上的情形出现了6次，则正面朝上的概率为0.6
C．一组数6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的80%分位数为2
D．某学员射击10次，命中环数如下：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4．则命中环数的标准差为2
【答案】AD
【分析】根据分层抽样、概率、百分位数及标准差的定义一一判断即可；
【详解】解：对于A：男生应抽取人，故A正确；
对于B：某人将一枚质地均匀的硬币连续抛掷了10次，正面朝上的情形出现了6次，则正面朝上的频率为，
但是无论掷硬币多少次，再一次掷硬币，硬币正面朝上的概率均，故B错误；
对于C：这组数据从小到大排列依次为：、、、、、、、、、，
因为，所以分位数为，故C错误；
对于D：命中环数的平均数为：，
命中环数的方差为：，
所以命中环数的标准差为，故D正确．
故选：AD
15．（2022春·广东广州·高一校联考期末）某高中有学生500人，其中男生300人，女生200人，希望获得全体学生的身高信息，按照分层抽样的原则抽取了容量为50的样本，经计算得到男生身高样本均值为170，方差为17；女生身高样本均值为160，方差为30.下列说法中正确的是（    ）
A．男生样本容量为30
B．每个女生被抽入到样本的概率均为
C．所有样本的均值为166
D．所有样本的方差为46.2
【答案】ACD
【分析】分层抽样等比例性质求男女生样本容量，再由古典概型的概率求每个女生被抽入到样本的概率判断A、B；利用均值、方差公式，结合男、女的样本的均值和方差求样本总体均值方差判断C、D.
【详解】A：由人，正确；
B：由人，故每个女生被抽入到样本的概率为，错误；
C：所有样本的均值为，正确；
D：男生方差，女生方差，
所有样本的方差


，正确.
故选：ACD
16．（2022春·广东茂名·高一统考期末）（多选题）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，记事件“选中的2人都是女同学”的概率为；事件“选中2人都是男同学”的概率为；事件“选中1名男同学1名女同学”的概率．则下列选项正确的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】根据题意列出基本事件，根据古典概型概率公式分别求出，，，然后结合选项逐项分析即可求出结果.
【详解】将2名男同学分别记为，，3名女同学分别记为，，，则从5名同学中任选2人参加社区服务的所有可能情况有，，，，，，，，，共10种，则，，，
因此，，，，
故选：BC.
17．（2022春·广东惠州·高一统考期末）有甲、乙两种套餐供学生选择，记事件A为“只选甲套餐”，事件B为“至少选一种套餐”，事件C为“至多选一种套餐”，事件D为“不选甲套餐”，事件E为“一种套餐也不选”．下列说法正确的是（    ）
A．A与C是互斥事件 B．B与E是互斥事件，且是对立事件
C．B与C不是互斥事件 D．C与E是互斥事件
【答案】BC
【分析】根据互斥事件和对立事件的概念，将每个事件的基本事件列出来，对照即可判断.
【详解】事件A为“只选甲套餐”；
事件B为“至少选一种套餐”，
包括选甲套餐，选乙套餐，甲乙两种套餐都选；
事件C为“至多选一种套餐”，
包括选甲套餐，选乙套餐，甲乙两种都不选；
事件D为“不选甲套餐”，
包括选乙套餐，甲乙两种都不选；
事件E为“一种套餐也不选”.
A.事件A与C既不互斥也不对立，故A错误；
B.事件B与E是互斥事件，且是对立事件，故B正确；
C.事件B与C不互斥，故C正确；
D.事件C与E不互斥，故D错误.
故选：BC.
18．（2022春·广东广州·高一华南师大附中校考期末）已知甲罐中有四个相同的小球，标号为1，2，3，4；乙罐中有五个相同的小球，标号为1，2，3，5，6，现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件“抽取的两个小球标号之和大于5”，事件“抽取的两个小球标号之积大于8”，则（    ）
A．事件发生的概率为
B．事件发生的概率为
C．事件发生的概率为
D．从甲罐中抽到标号为2的小球的概率为
【答案】BC
【分析】根据题意，分别列举出事件和事件所包含的基本事件，再逐项判断，即可得出结果.
【详解】由题意，从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，共包含个基本事件；
“抽取的两个小球标号之和大于5”包含的基本事件有：，，，，，，，，，，，共个基本事件；
“抽取的两个小球标号之积大于8”包含的基本事件有：，，，，，，，，共个基本事件；
即事件是事件的子事件；
因此事件发生的概率为，故A错；
事件包含的基本事件个数为个，所以事件发生的概率为；故B正确；
事件包含的基本事件个数为个，所以事件发生的概率为，故C正确；
从甲罐中抽到标号为2的小球，包含的基本事件为：，，，，共个基本事件，故从甲罐中抽到标号为2的小球的概率为，即D错误.
故选：BC.
【点睛】本题主要考查求古典概型的概率，考查求并事件和交事件的概率，属于基础题型.

三、填空题
19．（2022春·广东·高一校联考期末）某高校的入学面试中有道难度相当的题目，李明答对每道题目的概率都是．若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第次为止．那么，李明最终通过面试的概率为___________．
【答案】##
【分析】根据独立事件概率乘法公式可求得无法通过面试的概率，根据对立事件概率的求法可求得结果.
【详解】李明无法通过面试的概率为，李明最终通过面试的概率为.
故答案为：.
20．（2022春·广东广州·高一统考期末）某同学从篮球、足球、羽毛球、乒乓球四个球类项目中任选两项报名参加比赛，则篮球被选中的概率为____________．
【答案】##
【分析】利用列举法列出所以可能结果，再利用古典概型的概率公式计算可得；
【详解】解：记篮球、足球、羽毛球、乒乓球分别为、、、，
则从中任选两项有、、、、、共种情况；
满足选中篮球的有、、共种情况；
所以篮球被选中的概率为；
故答案为：
21．（2022春·广东深圳·高一统考期末）从2，3，4，5四个数中任取两个数，则两个数相差为2的概率是______.
【答案】
【分析】利用列举法列出所有可能结果，再利用古典概型的概率公式计算可得；
【详解】解：从2，3，4，5四个数中任取两个数，所有可能结果有、、、、、共个结果；
满足两个数相差为2的有、共个结果；
所以两个数相差为2的概率；
故答案为：
22．（2022春·广东茂名·高一统考期末）我国古代认为构成宇宙万物的基本要素是金、木、水、火、土这五种物质，称为“五行”.古人构建了金生水、水生木、木生火、火生土、土生金的相生理论，随机任取“两行”，则取出的“两行”相生的概率是_______
【答案】##0.5
【分析】写出随机任取 “两行”共有多少种，再写出“两行”相生的可能情况，根据古典概型的概率计算求得答案.
【详解】由题意得，随机任取“两行”共有金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土共10种，
其中取出的“两行”相生的情况有金生水、水生木、木生火、火生土、土生金共5种，
所以取出的“两行”相生的概率,
故答案为：
23．（2022春·广东·高一校联考期末）甲、乙独立地解决同一数学问题，甲解决这个问题的概率是0.8，乙解决这个问题的概率是0.6，那么其中至少有1人解决这个问题的概率是____________．
【答案】0.92##
【分析】先求两个都没有解决的概率，然后由对立事件的概率可得.
【详解】解：由题意可得，甲、乙二人都不能解决这个问题的概率是．那么其中至少有1人解决这个问题的概率是1-0.08=0.92.
故答案为：0.92
24．（2022春·广东揭阳·高一统考期末）高二某位同学参加物理、政治科目的学考，已知这位同学在物理、政治科目考试中得A的概率分别为、，这两门科目考试成绩的结果互不影响，则这位考生至少得1个A的概率为______．
【答案】
【分析】根据给定条件利用相互独立事件、对立事件的概率公式计算作答.
【详解】依题意，这位考生至少得1个A的对立事件为物理、政治科目考试都没有得A，其概率为，
所以这位考生至少得1个A的概率为.
故答案为：
25．（2022春·广东汕头·高一统考期末）将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____.
【答案】
【分析】分别求出基本事件总数，点数和为5的种数，再根据概率公式解答即可．
【详解】根据题意可得基本事件数总为个.
点数和为5的基本事件有，，，共4个.
∴出现向上的点数和为5的概率为.
故答案为：.
【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
26．（2022春·广东湛江·高一统考期末）从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是_____.
【答案】.
【分析】先求事件的总数，再求选出的2名同学中至少有1名女同学的事件数，最后根据古典概型的概率计算公式得出答案.
【详解】从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿服务，共有种情况.
若选出的2名学生恰有1名女生，有种情况，
若选出的2名学生都是女生，有种情况，
所以所求的概率为.
【点睛】计数原理是高考考查的重点内容，考查的形式有两种，一是独立考查，二是与古典概型结合考查，由于古典概型概率的计算比较明确，所以，计算正确基本事件总数是解题的重要一环.在处理问题的过程中，应注意审清题意，明确“分类”“分步”，根据顺序有无，明确“排列”“组合”.

四、解答题
27．（2022春·广东肇庆·高一统考期末）甲、乙、丙三人进行摔跤比赛，比赛规则如下：①每场比赛有两人参加，另一人当裁判，没有平局；②每场比赛结束时，负的一方在下一场当裁判；③累计负两场者被淘汰；④当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人累计负两场被淘汰，另一人最终获得冠军，比赛结束．已知在每场比赛中，甲胜乙和甲胜丙的概率均为，乙胜丙的概率为，各局比赛的结果相互独立．经抽签，第一．场比赛甲当裁判．
(1)求前三场比赛结束后，丙被淘汰的概率；
(2)求只需四场比赛就决出冠军的概率；
(3)求甲最终获胜的概率．
【答案】(1)
(2)
(3)

【分析】（1）前三场比赛结束后，丙被淘汰的情况有2种①乙胜丙、乙胜甲、乙胜丙②乙胜丙、甲胜乙、甲胜丙，再利用相互独立事件概率的乘法运算即可得出答案.
（2）首先分析出只需四场比赛就决出冠军的情况，再利用相互独立事件概率的乘法运算即可得出答案.
（3）首先分析出甲最终获胜的情况，再利用相互独立事件概率的乘法运算即可得出答案.
【详解】（1）记事件A为甲胜乙，则，，
事件B为甲胜丙，则，，
事件C为乙胜丙，则，，
前三场比赛结束后，丙被淘汰的概率为

（2）只需四场比赛就决出冠军的概率为

．
（3）由于甲胜乙和甲胜丙的概率均为，且乙胜丙和丙胜乙的概率也相等，均为，第一场比赛甲当裁判，以后的比赛相对于甲，可视乙丙为同一人，设甲胜为事件D，甲当裁判为事件E，
．
28．（2022春·广东·高一校联考期末）新冠肺炎疫情期间，某地为了了解本地居民对当地防疫工作的满意度，从本地居民中随机抽取若干居民进行评分（满分为分），根据调查数据制成如下频率分布直方图，已知评分在的居民有人．

(1)求频率分布直方图中的值；
(2)根据频率分布直方图估计本次评测分数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，并精确到）；
(3)为了今后更好地完成当地的防疫工作，政府部门又采用比例分配的分层抽样的方法，从评分在的居民中选出人进行详细的调查，再从中选取两人进行面对面沟通，求选出的两人恰好都是评分在之间的概率．
【答案】(1)
(2)
(3)

【分析】（1）由频率和为可直接构造方程求得；
（2）由频率分布直方图估计平均数的方法可直接求得结果；
（3）由分层抽样原则可确定两个分数段分别抽取的人数，采用列举法可得所有基本事件和满足题意的基本事件个数，由古典概型概率公式可求得结果.
【详解】（1），.
（2）平均数为.
（3）评分在和的频率之比为，
应在评分在的居民中应抽取人，记为；在的居民中应抽取人，记为，
则从中选取两人有，，，，，，，，，，，，，，，共种情况；
其中选出的两人恰好都是评分在之间的有，仅有种；
所求概率.
29．（2022春·广东广州·高一校联考期末）“2021年全国城市节约用水宣传周”已于5月9日至15日举行、成都市围绕“贯彻新发展理念，建设节水型城市”这一主题，开展了形式多样，内容丰富的活动，进一步增强全民保护水资源，防治水污染，节约用水的意识.为了解活动开展成效，某街道办事处工作人员赴一小区调查住户的节约用水情况，随机抽取了300．名业主进行节约用水调查评分，将得到的分数分成6组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)求a的值，并估计这300名业主评分的众数和中位数；
(2)若先用分层抽样的方法从评分在和的业主中抽取5人，然后再从抽出的这5位业主中任意选取2人作进一步访谈：
①写出这个试验的样本空间；
②求这2人中至少有1人的评分在概率．
【答案】(1)；众数为；中位数为；
(2)，，，，，，，，，；

【分析】（1）由频率分布直方图的的性质，所有小矩形的面积之和为1，可解得的值，由中位数的定义，找到频率之和为的点，众数估计值为最高小矩形的中点；
（2）首先根据两个分组的人数之比，采用分层抽样的方法，得到每个分组抽取的人数，根据古典概型的概率计算公式求解即可
（1）
第三组的频率为，

又第一组的频率为，第二组的频率为，第三组的频率为.
前三组的频率之和为，
这名业主评分的中位数为.
众数为．
（2）
由频率分布直方图，知评分在的人数与评分在的人数的比值为.
采用分层抽样法抽取人，评分在的有人，评分在有人.
不妨设评分在的人分别为；评分在的人分别为，
这个试验的样本空间为：
，，，，，，，，，；
②从人中任选人的所有可能情况有共种.
其中选取的人中至少有人的评分在的情况有：
，，，，，，共种.
故这人中至少有人的评分在的概率为.
30．（2022春·广东湛江·高一统考期末）移动支付为人民群众的生活带来极大的方便.为了解某地区居民移动支付的使用情况，随机调查了该地区100名居民在一星期内使用移动支付的相关情况，列表如下：
支付次数





人数

30
25

10

已知这100名居民中一星期内使用移动支付次数超过30次的占55%.
(1)求，的值；
(2)估计该地区居民在一星期内使用移动支付次数超过45次的概率.
【答案】(1)；
(2)

【分析】（1）根据题意结合列表即可求解，的值；
（2）结合列表可得100名居民中一星期内使用移动支付次数超过45次的人数为30人，利用古典概型的概率公式即可求解.
(1)
解：由题意，一星期内使用移动支付次数超过30次的人数为人，
故，解得，
又，解得，
故.
(2)
解：由题可知，100名居民中一星期内使用移动支付次数超过45次的人数为30人，
故该地区居民在一星期内使用移动支付次数超过45次的概率为.
31．（2022春·广东清远·高一统考期末）为了解中学生的身高情况，某部门随机抽取了某学校的100名学生，将他们的身高数据（单位：）按分为五组，绘制成如图所示的频率分布直方图

(1)求a并估计这100名学生身高的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
(2)在上述样本中，用分层抽样的方法从身高在的学生中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求这2人中至少有1人身高不低于160的概率.
【答案】(1)，平均数为
(2)

【分析】（1）由频率分布直方图求解即可；
（2）先确定与抽取的人数并分别标记，再结合古典概型的概率公式求解即可
【详解】（1）.
平均数为，
即这100名学牛身高的平均数为；
（2）身高在的学生有人，身高在的学生有人，
故身高在的学生共有50人，
用分层抽样的方法从身高在的学生中抽取名，记为1，2，
从身高在的学生中抽取名，记为.
从这5名学生中随机选取2名学生的所有结果为，共10种，
其中这2人中至少有1人身高不低于的结果有9种.
故所求概率.
32．（2022春·广东惠州·高一统考期末）为普及抗疫知识、弘扬抗疫精神，惠州市某学校组织防疫知识挑战赛，每位选手挑战时，主持人从电脑题库中随机抽出3道题，并编号为，，，并依次展示题目，选手按规则作答．挑战规则如下：
①选手每答对一道题目得5分，每答错一道题目扣3分：
②选手若答对第题，则继续作答第题：选手若答错第题，则失去第题的答题机会，从第题开始继续答题：直到3道题目回答完，挑战结束：
③选手初始分为0分，若挑战结束后，累计得分不低于7分，则选手挑战成功，否则挑战失败．
选手甲即将参与挑战，已知选手甲答对题库中任何一题的概率均为，各次作答结果相互独立，且他不会主动放弃任何一次作答机会，求：
(1)挑战结束时，选手甲恰好作答了2道题的概率；
(2)选手甲挑战成功的概率．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）设为选手答对题，其中，2，3，设挑战结束时，选手甲恰好作答了2道题为事件，选手甲恰好作答了2道题即选手甲第一题答错或第一题答对且第2题答错，即，结合概率的加法公式和事件独立性的定义，即可求解．
（2）设选手甲挑战成功为事件，若选手甲挑战成功，则选手甲共作答了3道题，且选手甲只可能作答2道题或3道题，“选手甲闯关成功”是“选手甲恰好作答了2道题”的对立事件，结合对立事件的性质，即可求解．
(1)
解：设为选手答对题，其中，2，3
设挑战结束时，选手甲恰好作答了2道题为事件，
选手甲恰好作答了2道题即选手甲第一题答错或第一题答对且第2题答错，
，
由概率的加法公式和事件独立性的定义得．
即挑战结束时，选手甲恰好作答了2道题的概率为；
(2)
解：设选手甲挑战成功为事件，
若选手甲挑战成功，则选手甲共作答了3道题，且选手甲只可能作答2道题或3道题，
“选手甲闯关成功”是“选手甲恰好作答了2道题”的对立事件，

根据对立事件的性质得．
所以选手甲挑战成功的概率；
33．（2022春·广东·高一校联考期末）把一个棋子放在的顶点，棋子每次跳动只能沿的一条边从一个顶点跳到另一个顶点，并规定：抛一枚硬币，若出现正面朝上，则棋子按逆时针方向从棋子所在的顶点跳到的另一个顶点；若出现反面朝上，则棋子按顺时针方向从棋子所在的顶点跳到的另一个顶点.现在抛次硬币，棋子按上面的规则跳动次.

(1)列出棋子从起始位置开始次跳动的所有路径（用顶点的字母表示）；
(2)求次跳动后，棋子停在点的概率.
【答案】(1)答案见解析
(2)

【分析】（1）列举出所有路径即可；
（2）确定所求事件所包含的基本事件个数，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
(1)
解：根据题意可知，棋子从起始位置开始次跳动的所有路径有：、
、、、、
、、.
(2)
解：记事件次跳动后，棋子停在点，则事件包含个基本事件，故.
34．（2022春·广东广州·高一统考期末）2021年12月8日召开的中央经济工作会议，总结了2021年经济工作，分析了当前经济形势，并对2022年经济工作做出部署，其中强调加大对科技创新等领域的支持．现国家支持甲、乙、丙三家公司同时对某一科技产品进行攻坚研发，已知每一轮研发中满足：甲公司研发成功的概率为，甲、乙两公可都研发成功的概率为，乙、丙两家公司都研发不成功的概率为，各公司是否研发成功互不影响．
(1)求乙、丙两家公司各自研发成功的概率；
(2)若至少有一家公司研发成功，则称作实现了“取得重大突破”的目标，如果没有实现目标，则三家公司都进行第二轮研发，求不超过两轮研发就能实现“取得重大突破”目标的概率．
【答案】(1)乙、丙两家公司各自研发成功的概率分别为；
(2).

【分析】（1）利用相互独立事件概率的乘法公式计算即可；
（2）利用对立事件的定义计算一轮研发“取得重大突破”的事件概率，再结合互斥事件与相互独立事件的概率公式求解即可.
【详解】（1）解：设甲、乙、丙公司研发成功分别为事件A，B，C
则，，
由于各公司是否研发成功互不影响，事件A，B，C相互独立

，
故乙、丙两家公司各自研发成功的概率分别为.
（2）解：设一轮研发“取得重大突破”的目标为事件M

设实现“取得重大突破”目标为事件N，

所以实现“取得重大突破”目标的概率为：.
35．（2022春·广东茂名·高一统考期末）2022年2月20日，北京冬奥会在国家体育场“鸟巢”落下帷幕，中国代表团创历史最佳战绩.北京冬奥会的成功举办推动了我国冰雪运动的普及，让越来越多的青少年爱上了冰雪运动.某学校组织了一次冰雪运动趣味知识竞赛，100名喜爱冰雪运动的学生参赛，现将成绩分成，，，，（成绩均在区间上）共五组并制成如下频率分布直方图.学校决定对成绩前15名的参赛学生进行奖励，奖品为冬奥吉祥物冰墩墩玩偶.

(1)试求参赛学生成绩的众数及受奖励的分数线的估计值；
(2)从受奖励的15名学生中按上述成绩分组并利用分层抽样抽取5人.现从这5人中抽取2人，试求这2人成绩恰有一个不低于90分的概率.
【答案】(1)众数为75，受奖励分数的估计值为85
(2)

【分析】（1）根据频率分布直方图众数求法，可得众数；先求得成绩在的人数，分析可得受奖励分数线在内，且设为x，根据题意，列出方程，即可得答案.
（2）由（1）可得成绩在的人数为9，成绩在的人数为6，利用分层抽样，分别求得两层人数，且记作，，， ，，分别列出总可能情况和满足条件情况，根据古典概型概率公式，即可得答案.
【详解】（1）由频率分布直方图估计众数为75，
竞赛成绩在的人数为，
竞赛成绩在的人数为，故受奖励分数线在内.
设受奖励分数为，则，
解得，故受奖励分数的估计值为85.
（2）由（1）知，受奖励的15人，成绩在的人数为9，成绩在的人数为6，
利用分层抽样，可知成绩在的抽取3人，记作，，，成绩在的抽取2人，记作，，
现从这5人中抽取2人，所有的可能情况有，，，，，，，，，共10种，
满足条件的情况有，，，，，共6种，
故所求的概率为.
36．（2022春·广东揭阳·高一统考期末）新冠疫苗有三种类型：腺病毒载体疫苗､灭活疫苗和重组蛋白亚单位疫苗，腺病毒载体疫苗只需要接种一针即可产生抗体，适合身体素质较好的青壮年，需要短时间内完成接种的人群，突发聚集性疫情的紧急预防.灭活疫苗和重组蛋白亚单位疫苗安全性高，适合老､幼､哺､孕及有慢性基础病患者和免疫缺陷人群，灭活疫苗需要接种两次.重组蛋白亚单位新冠疫苗需要完成全程三针接种，接种第三针后，它的有效保护作用为90%，人体产生的抗体数量提升5-10倍，甚至更高（即接种疫苗第三针后，有90%的人员出现这种抗疫效果）．以下是截止2021年12月31日在某县域内接种新冠疫苗人次（单位：万人，忽略县外人员在本县接种情况）统计表：

腺病毒载体疫苗
灭活疫苗
重组蛋白亚单位疫苗
第一针
0.5
10
110
第二针
0
10
110
第三针
0
0
100

其中接种腺病毒载体疫苗的统计情况如下：
接种时间
接种原因
接种人次（单位：人）
3月
疫情突发
1500
6月
高考考务
1000
7月
抗洪救灾
2500

(1)遭遇3月疫情突发､服务6月高考考务､参加7月抗洪救灾的人都是不同的人，在已接种腺病毒载体疫苗的人员中随机抽取一名，求这个人参加了抗洪救灾的概率；
(2)在已接种灭活疫苗和重组蛋白亚单位疫苗的人员中，以人体产生的抗体数量是否至少提升5-10倍为依据，用分层抽样的方法抽取4人，再从这4人随机抽取2人，求这2人均为人体产生的抗体数量至少提升5-10倍的疫苗接种者的概率．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）参加了抗洪救灾的接种人数为2500，总接种腺病毒载体疫苗的人数有5000，根据古典概型即可求解；
（2）接种灭活疫苗和重组蛋白亚单位疫苗人次共有120万人，接种灭活疫苗和重组蛋白亚单位疫苗人次共有120万人，比率为，所以抽取4人中有1人人体产生的抗体数量不足以提升5-10倍，由列举法即可求解结果．
【详解】（1）在已接种腺病毒载体疫苗的人员中随机抽取一名，这个人参加了抗洪救灾的概率为
；
（2）截止2021年12月31日在某县域内接种灭活疫苗和重组蛋白亚单位疫苗人次共有120万人
其中接种灭活疫苗有10万人，接种重组蛋白亚单位疫苗有110万人，这110万人中只有100
万人接种了第三针，根据有效保护率只有90万人人体产生的抗体数量至少提升5-10倍，
比率为.所以以人体产生的抗体数量是否至少提升5-10倍为依据，用分层抽样的方
法抽取4人，有1人人体产生的抗体数量不足以提升5-10倍，3人人体产生的抗体数量至少
提升5-10倍．
设抽取4人中不足以提升5-10倍的那个人为，其他3人分别为故从这4人中
随机抽取2人，所有可能结果分别为共有6个结果，其中
2人均为人体产生的抗体数量至少提升5-10倍的疫苗接种者的结果有共有
3个结果．
所以2人均为人体产生的抗体数量至少提升5-10倍的疫苗接种者的概率为.
37．（2022春·广东·高一统考期末）某餐厅销售一款饮料，定价为4元/瓶，20天的日销量数据按照，分组，得到如下频率分布直方图．

(1)估计该餐厅这款饮料的平均日销售额（销量定价）；
(2)若从这款饮料销量大于35瓶的数据中任取两天的数据，求这两天的饮料销量都大于45瓶的概率．
【答案】(1)124元
(2)

【分析】（1）先根据频率分布直方图，求出平均日销量，再利用平均日销量乘以定价，即可求出结果；
（2）根据题意可知，饮料销量大于35瓶的数据中任取两天的数据有个在内，设为，有个在，设为，列出所有的可能情况总数，再求出满足题意的可能情况数，利用古典概型计算公式，即可求出结果.
（1）
解：各组频率依次为，
平均日销量为（瓶），
所以这款饮料的平均日销售额为元；
（2）
解：由题意，饮料销量大于35瓶的天数为，
其中饮料销量大于35瓶的数据中任取两天的数据有个在内，设为，有个在，设为，
从中任意选个，所有情况有，，共15种，
符合条件的只有，
故所求概率为．
38．（2022春·广东中山·高一统考期末）树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环.据此，某市推出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点，现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65），得到的频率分布直方图如图所示

(1)求出a的值；
(2)求这200人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后一位）；
(3)现在要从年龄较小的第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行问卷调查，求这2人恰好在同一组的概率．
【答案】(1)；
(2)41.5岁，42.1岁；
(3).

【分析】（1）根据频率分布直方图中小矩形的面积和为，列出关于的式子，即可求出.
（2）  平均数为每个小矩形中点的横坐标乘以相应矩形的面积全部相加为平均数；中位数则为使矩形面积左右两边分别为的横坐标，即可求出答案.
（3）利用分层抽样在第1，2组抽取的人数分别为2人，3人，并进行标记为，，，，，再把总的基本事件列举出来，一共10个基本事件，这2人恰好在同一组的基本事件共4个，即可得到答案.
(1)
由，得.
(2)
平均数为：岁；
设中位数为，则，∴岁.
(3)
第1，2组的人数分别为20人，30人，从第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，则第1，2组抽取的人数分别为2人，3人，分别记为，，，，，设从5人中随机抽取2人，为，，，，，，，，，共10个基本事件，这2人恰好在同一组的基本事件，，，共4个，所以.
39．（2022春·广东·高一校联考期末）某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人.

（1）根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄和第80百分位数；
（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任本市的“中国梦”宣传使者.
（i）若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定人选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率；
（ii）若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1，据此估计这人中35~45岁所有人的年龄的方差.
【答案】（1）32.25岁；37.5；（2）（i）；（ii）10.
【分析】(1) 根据频率分布直方图，利用组中值乘以相应的频率，即可的这人的平均年龄；设第80百分位数为，计算从左到右频率和为或计算从右到左频率和为，即可求出；
(2)（i）由题意可得，第四组应抽取4人，记为，，，甲，第五组抽取2人，记为，乙，根据古典概型计算方法求解即可；
（ii）根据方差的计算原理计算合并后方差即可.
【详解】解：（1）设这人的平均年龄为，则
（岁）.
设第80百分位数为，
方法一：由，解得.
方法二：由，解得.
（2）（i）由题意得，第四组应抽取4人，记为，，，甲，第五组抽取2人，记为，乙，
对应的样本空间为：

，共15个样本点.
设事件“甲、乙两人至少一人被选上”，则
，共有9个样本点.
所以，.
（ii）设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，，方差分别为，，
则，，，，
设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为.
则，
，
因此，第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10，
据此，可估计这人中年龄在35~45岁的所有人的年龄方差约为10.