高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）示范课课件ppt

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4.5.1 函数的零点与方程的解
《三国志·魏书》记载:“邓哀王冲字仓舒,少聪察歧嶷,生五六岁,智意所及,有若成人之智.时孙权曾致巨象,太祖(曹操)欲知其斤重,访之群下,咸莫能出其理.冲曰:‘置象大船之上,而刻其水痕所至,称物以载之,则校可知矣.’太祖大悦,即施行焉.”这就是千古传诵、妇孺皆知的曹冲称象的故事.抛除物理中的浮力原理,这其中还运用了转化与化归的思想.那么,在函数和方程中是否也有类似的转化呢?
1.问题探究1问题1 观察下列三组方程与函数:利用函数图象探究方程的解和函数图象与x轴的交点的横坐标之间的关系.
观察发现:方程x2-2x-3=0的根为-1,3,函数y=x2-2x-3的图象与x轴交于点 (-1,0),(3,0);x2-2x+1=0有两个相等实根,为1,函数y=x2-2x+1的图象与 x轴有唯一交点(1,0);x2-2x+3=0没有实根,函数y=x2-2x+3的图象与x轴无交点.由此你能得到方程的解和相应函数的图象与x轴交点的坐标有什么联系? 【结论】方程的解就是相应函数图象与x轴交点的横坐标.
2.形成概念(1)零点的概念:对于一般函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.函数的零点是一个点吗?函数的零点是相应函数图象与x轴交点的坐标吗?
前面已经探究了方程的解和相应函数图象与x轴交点坐标间的关系,那函数的零点与方程的解又有怎样的关系?(2)函数的零点与方程的解的关系:方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)有零点⇔函数y=f(x)的图象与x轴有公共点.
一元二次方程的实数根的个数可以用判别式判断,那根据函数的零点与方程的解的关系,二次函数零点的个数可以怎样判断?(3)二次函数零点个数的判断:对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),其判别式 Δ=b2-4ac:
考察函数①y=lg x,②y=lg2(x+1),③y=2x,④y=2x-2的零点.①y=lg x的零点是 x=1.②y=lg2(x+1)的零点是 x=0.③y=2x没有零点.④y=2x-2的零点是 x=1.【总结】函数的零点即相应方程的解.
3.深化概念如何求函数的零点?函数的零点即函数图象与x轴交点的横坐标,求函数的零点即求函数值为0时对应的自变量的值,也就是说,求函数的零点可转化为求对应方程的解.
4.问题探究2问题2 探究函数y=x2+4x-5的零点所在区间,及这一区间的端点处函数值的正负情况.函数y=x2+4x-5的零点为x=-5或1.其中-5∈(-6,-4),1∈(0,2),且 f(-6)f(-4)