福建省福州市2024届高三上学期第一次质量检测数学试题

2023~2024学年福州市高三年级第一次质量检测

数学试题

（完卷时间120分钟；满分150分）

第Ⅰ卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知复数满足，则在复平面内，对应的点在（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．已知集合，，则（　　）

A．（0，1） B． C． D．

3．已知点在抛物线C：上，则P到C的准线的距离为（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1

4．“二十四节气”是中国古代劳动人民伟大的智慧结晶，其划分如图所示．小明打算在网上搜集一些与二十四节气有关的古诗．他准备在春季的6个节气与夏季的6个节气中共选出3个节气，若春季的节气和夏季的节气各至少选出1个，则小明选取节气的不同情况的种数是（　　）

A．90 B．180 C．270 D．360

5．一个正四棱台形油槽可以装煤油，其上、下底面边长分别为60cm和40cm，则该油槽的深度为（　　）

A． B．25cm C．50cm D．75cm

6．一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红球，2个黄球，每次从中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，则第二次摸到黄球的条件下，第一次摸到红球的概率为（　　）

A． B． C． D．

7．已知，，，则（　　）

A． B． C． D．

8．若定义在上的函数的图象在区间上恰有5条对称轴，则的取值范围为（　　）

A． B． C． D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．某市抽查一周空气质量指数变化情况，得到一组数据：80，76，73，82，86，75，81．以下关于这组数据判断正确的有（　　）

A．极差为13 B．中位数为82 C．平均数为79 D．方差为124

10．已知圆M：，直线l：，则（　　）

A．l恒过定点 B．若l平分圆周M，则

C．当时，l与圆M相切 D．当时，l与圆M相交

11．已知函数有两个极值点．则（　　）

A．的图象关于点对称 B．的极值之和为-4

C．，使得有三个零点 D．当时，只有一个零点

12．已知正四棱柱的底面边长为2，球O与正四棱柱的上、下底面及侧棱都相切，P为平面上一点，且直线BP与球O相切，则（　　）

A．球O的表面积为 B．直线与BP夹角等于45°

C．该正四棱柱的侧面积为 D．侧面与球面的交线长为

第Ⅱ卷

注意事项：

用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．

三、填空题；本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知向量，，若，则实数的值为__________．

14．将圆周16等分，设每份圆弧所对的圆心角为，则的值为__________．

15．已知定义城为的函数同时具有下列三个性质，则__________．（写出一个满足条件的函数即可）

①；②是偶函数；③当时，．

16．已知双曲线C：的左焦点为F，两条渐近线分别为，．点A在上，点B在上，且点A位于第一象限，原点O与B关于直线AF对称、若，则C的离心率为__________．

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分10分）已知等比数列的前n项和为，且．

（1）求的通项公式；

（2）若，求数列的前n项和．

18．（本小题满分12分）

记的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，．

（1）若，求a；

（2）求面积的最大值．

19．（本小题满分12分）

国际上常采用身体质量指数（Body Mass Index，缩写BMI）来衡量人体肥瘦程度，其计算公式是．为了解某公司员工的身体肥瘦情况，研究人员从该公司员工体检数据中，采用比例分配的分层随机抽样方法抽取了50名男员工、30名女员工的身高和体重数据．计算得到他们的BMI值，并根据“中国成人的BMI数值标准”简称“指标”整理得到如下结果：

（1）若该公司男员工有1500名，则该公司共有多少名员工？

（2）以频率估计概率，分别从该公司男、女员工中各随机抽取2名员工，求抽到的员工中至少有一名是肥胖的概率．

20．（本小题满分12分）如图，在底面为菱形的四棱锥中，，．

（1）求证：平面平面ABCD；

（2）已知，求直线BN与平面ACN所成角的正弦值．

21．（本小题满分12分）

已知椭圆E：的右焦点为F，左、右顶点分别为A，B．点C在E上，，分别为直线AC，BC上的点．

（1）求的值；

（2）设直线BP与E的另一个交点为D，求证：直线CD经过F．

22．（本小题满分12分）已知函数，记曲线在点处的切线为l，l在x轴上的截距为．

（1）当，时，求切线方程；

（2）证明：．

答案

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．【考查意图】本小题以复数为载体，主要考查复数的基本运算、几何意义等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查数学运算、逻辑推理等数学核心素养，体现基础性．

【答案】A．

【解析】由得，应选A．

2．【考查意图】本小题以不等式为载体，主要考查集合运算等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查数学运算、逻辑推理等核心素养，体现基础性．

【答案】C．

【解析】，，故，应选C．

3．【考查意图】本小题以抛物线为载体，主要考查抛物线的图象和性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查数形结合思想、化归与转化思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性．

【答案】C．

【解析】抛物线的准线为，由得，故P到准线的距离为2，应选C．

4．【考查意图】本小题以二十四节气为载体，主要考查排列与组合等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力和应用意识；考查数学运算、逻辑推理等核心素养，体现基础性和应用性．

【答案】B．

【解析】根据题意可知，小明可以选取1春2夏或2春1夏．其中1春2夏的不同情况有：种；2春1夏的不同情况有：种，所以小明选取节气的不同情况有：种．应选B．

5．【考查意图】本小题以正四棱台形油槽为载体，主要考查空间几何体的体积等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力；考查数形结合思想、化归与转化思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性和应用性．

【答案】D．

【解析】设正四棱台的高，即深度为，依题意，得，解得，应选D．

6．【考查意图】本小题主要考查条件概率、全概率公式等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力与创新意识；考查化归与转化思想；考查数学建模、逻辑推理、数据分析等核心素养，体现综合性、应用性与创新性．

【答案】C．

【解析】解法一：记第i次摸到红球为事件，摸到黄球为事件，则，，故．应选C．

解法二：记第i次摸到红球为事件，摸到黄球为事件．由抽签的公平性可知，又，所以．应选C．

7．【考查意图】本小题以数的大小比较为载体，主要考查函数与导数等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力、应用意识；考查数学建模、数学运算、逻辑推理等核心素养，体现基础性、应用性和综合性．

【答案】A．

【解答】解法一：，，，令，，当时，，故在区间上单调递减，所以．

解法二：因为，所以，即．

在同一坐标系中作出函数，的图象，如图所示，由图可知，，即，所以，即，所以，即．

（令，，当时，，故在区间上单调递增，所以．）

综上，．应选A．

8．【考查意图】本小题以三角函数为载体，考查三角函数的图象与性质、三角恒等变换等基础知识；考查抽象概括能力、推理论证能力、应用意识；考查数形结合思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性和综合性．

【答案】A．

【解析】由已知，，

令，，得，，

依题意知，有5个整数k满足，即，所以，则，故，应选A．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．【考查意图】本小题主要考查极差、中位数、平均数、方差等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力；考查化归与转化思想；考查数据分析等核心素养，体现基础性．

【答案】AC．

10．【考查意图】本小题以直线与圆为载体，考查直线的方程、圆的方程、直线与圆的位置关系等基础知识；考查运算求解能力；考查直观想象、逻辑推理等核心素养；体现基础性和综合性．

【答案】BC．

【解析】依题意，l恒过定点，选项A错误；

若l平分圆周M，则l经过圆M的圆心，代入直线方程得，选项B正确；

圆心到l的距离，当时，，l与圆M相切，选项C正确；若l与圆M相交，则，即，即，故选项D错误．

综上，应选BC．

11．【考查意图】本小题以三次函数为载体，主要考查函数与导数等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力、应用意识；考查数学建模、数学运算、逻辑推理等核心素养，体现基础性、应用性和综合性．

【答案】ACD．

【解答】的图象可由奇函数的图象向上平移2个单位长度得到，故的图象关于点对称，选项A正确．

设的极值点分别为，则由对称性可知，故，即的极值之和为4，选项B错误．

依题意，方程有两异根，则，，，在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间单调递增．由图象可知，当时，的图象与x轴有3个交点，即有3个零点，选项C正确．当时，，此时只有一个零点，选项D正确．

综上，应选ACD．

12．【考查意图】本小题以正四棱柱为载体，主要考查球、直线与平面的位置关系等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力；考查化归与转化思想；考查直观想象、逻辑推理等核心素养，体现基础性、应用性和综合性．

【答案】BCD．

【解答】如图，设球O与下底面相切于点，则平面ABCD，连接，则为直线OA与平面ABCD所成的角．因为球O与正四棱柱的侧棱相切，所以其半径，所以，四棱柱的侧面积为，故选项A错误，C正确．

依题意，，BP均为球O的切线，经过球心O，所以，又，所以，选项B正确．

对于选项D，棱的中点F，即球O与棱的切点应为交线上的点，故交线应为过F的圆．截面圆的圆心即为矩形的中心E，在中，，，所以截面圆半径，周长为，该选项正确．

综上，应选BCD．

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．【考查意图】本小题以平面向量为载体，主要考查平面向量的基本运算等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查数学运算、逻辑推理、直观想象等核心素养，体现基础性．

【答案】5．

【解析】由得，解得．

14．【考查意图】本小题以圆的等分为载体，考查三角恒等变换等基础知识；考查推理论证能力，抽象概括能力；考查逻辑推理等核心素养；体现基础性与应用性．

【答案】．

【解析】依题意，得，所以．

15．【考查意图】本小题以函数的性质为载体，考查函数的奇偶性、函数与导数等基础知识；考查推理论证能力；考查逻辑推理等核心素养；体现基础性、综合性与应用性．

【答案】（答案不唯一，均可）．

16．【考查意图】本小题以双曲线为载体，主要考查双曲线的离心率、双曲线的图象和性质、直线与双曲线的位置关系等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查数形结合思想、化归与转化思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性和综合性．

【答案】2．

【解答】依题意，的方程为，，设垂足为P，则．因为，所以点F，A关于直线对称，，又，关于y轴对称，所以的倾斜角为，故，所以离心率．

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．【命题意图】本小题主要考查等差数列、等比数列、递推数列及数列求和等基础知识，考查运算求解能力、逻辑推理能力和创新能力等，考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、特殊与一般思想等，考查逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性和综合性．满分10分．

【解答】（1）解法一：由得

设等比数列的公比为q，

所以

解得或（舍去）．

所以．

（2），

故，，

所以是首项为1，公差为2的等差数列，

所以．

解法二：（1）因为，①

所以当时，，②

①－②得，

所以等比数列的公比．

由①式得，得，

所以．

（2）

．

18．【命题意图】本小题主要考查正弦定理、余弦定理及三角恒等变换等基础知识，考查逻辑推理能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想等，考查数学运算、逻辑推理等核心素养，体现基础性和综合性．满分12分．

【解答】解法一：（1）因为，，，

根据余弦定理得，

所以，

即，

解得．

（2）根据余弦定理，得，

所以，

（当且仅当时取等号），

即，

所以面积，

即面积的最大值为．

解法二：（1）因为，且，

根据正弦定理，得，

所以，即，

因为，所以，所以，

所以或，

当时，，

根据正弦定理，得，

所以；

当时，，

根据正弦定理，得，

所以；

综上，．

（2）略，同解法一．

解法三：（1）因为，且，

根据正弦定理，得，

所以，即，

因为，所以，所以，

所以或，

当时，，

根据正弦定理，得，

所以；

；

当时，，

根据正弦定理，得，

所以

；

综上，．

（2）根据正弦定理，得，

所以，，

即

，

因为，所以，

所以当，即时，取得最大值为1，即ac最大值为，

所以面积，

即面积的最大值为．

19．【命题意图】本小题主要考查分层抽样、独立事件的概率、互斥事件、对立事件的概率等基础知识；考查数学建模能力，运算求解能力，逻辑推理能力，创新能力以及阅读能力等；考查统计与概率思想、分类与整合思想等；考查数学抽象，数学建模和数学运算等核心素养；体现应用性和创新性．满分12分．

【解】（1）设该公司共有x名员工，

依题意得，

解得，

所以该公司共有2400名员工．

（2）依题意，事件“抽到一名男员工不为肥胖”的概率为，事件“抽到一名女员工不为肥胖”的概率为，

由事件的独立性，得抽到的两个男员工都不存在肥胖的概率为，

抽到的两个女员工都不存在肥胖的概率为，

设事件M为“抽到的员工中至少有一名是肥胖”，则事件为“抽到的员工都不存在肥胖”，

所以，

所以，

所以抽到的员工中至少有一名是肥胖的概率为．

20．【命题意图】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，直线与平面所成角等基础知识；考查空间想象能力，逻辑推理能力，运算求解能力等；考查化归与转化思想，数形结合思想，函数与方程思想等；考查直观想象，逻辑推理，数学运算等核心素养；体现基础性和综合性．满分12分．

【解答】（1）取AD的中点为O，连结OM，OB，

因为四边形ABCD是为菱形，且，

所以为正三角形，所以，且．

因为，所以，

所以，

又因为，所以，

所以，

因为，平面ABCD，平面ABCD

所以平面ABCD，

又因为平面MAD，

所以平面平面ABCD．

（2）由（1）知，OA，OB，OM两两垂直，故以O为坐标原点，分别以，，为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．

则，，，，，

所以，，，

设平面ACN的法向量为，

则即

取，则．

因为，

则，

所以直线BN与平面ACN所成角的正弦值为．

21．【命题意图】本小题主要考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与圆、椭圆的位置关系，平面向量等基础知识；考查运算求解能力，逻辑推理能力，直观想象能力和创新能力等；考查数形结合思想，函数与方程思想，化归与转化思想等；考查直观想象，逻辑推理，数学运算等核心素养；体现基础性，综合性与创新性．满分12分．

【解答】（1）依题意，，．

设，则，

直线AC方程为，令得，

直线BC方程为，令得，

所以

，

即的值为．

（2）设，，则

直线AP方程为，直线BP的方程为，

由得，

所以，即，故．

由得，

所以，即，故．

所以

，

又，所以向量，与共线，

所以直线CD经过F．

解法二：（1）依题意，，．

设，则，

所以

．

即，故的值为．

（2）设，，．

要证直线CD经过，

只需证向量，与共线，

即证．（*）

因为，所以，

同理可得，

所以，即，①

同理可得，②

①－②得，即．

所以（*）式成立，命题得证．

22．【命题意图】本小题主要考查导数，函数的单调性、零点、不等式等基础知识；考查逻辑推理能力，直观想象能力，运算求解能力和创新能力等；考查函数与方程思想，化归与转化思想，分类与整合思想等；考查逻辑推理，直观想象，数学运算等核心素养；体现基础性、综合性和创新性．满分12分．

【解答】（1），

当，时，，即切点为，

所以所求切线斜率，

所以所求的切线方程为，即．

（2）由于，

所以切线l的方程为．

令，得，解得．（*）

由，得．

构造函数，

所以，

所以当时，，单调递增；当时，，单调递减．故．

所以．

若，由（*）式知，

所以，

故．

若，则，

所以．

构造函数，

所以，

故在区间上单调递增，

所以，

所以，即

所以，即．

综上，不等式成立成立（当且仅当时取等号）．