广东省汕尾市城区汕尾中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题

汕尾中学2022-2023学年度高二数学期中考试卷

第I卷（选择题）

一、单选题（共40分）

1．（本题5分）某商店进了一批服装，每件进价为60元．每件售价为90元时，每天售出30件．在一定的范围内这批服装的售价每降低1元，每天就多售出1件．当售价是（    ）元时，每天的利润最大．

A．60 B．90 C．80 D．70

2．（本题5分）已知，分别为椭圆的左、右焦点，是椭圆的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

3．（本题5分）若复数满足（是虚数单位），则（    ）

A． B． C． D．

4．（本题5分）在中，，，则（    ）

A． B． C． D．

5．（本题5分）已知，双曲线的左、右焦点分别为，，点是双曲线左支上一点，则的最小值为（    ）

A．5 B．7 C．9 D．11

6．（本题5分）在等比数列中，如果，，那么（    ）

A．80 B．90 C．95 D．100

7．（本题5分）已知抛物线的焦点为，其准线与坐标轴交于点，点为上一点，当取最小值时，点恰好在以，为焦点的双曲线上，则双曲线的实轴长等于（    ）

A． B． C． D．

8．（本题5分）已知曲线，，则下面结论正确的是（    ）

A．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线

B．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线

C．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线

D．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线

二、多选题（共20分）

9．（本题5分）下列说法正确的有（    ）

A．，

B．，

C．若，，则，

D．若，，则，

10．（本题5分）已知事件，，且，，则下列结论正确的是（    ）

A．如果，那么，

B．如果与互斥，那么，

C．如果与相互独立，那么

D．如果与相互独立，那么，

11．（本题5分）若不等式的解集是，则下列选项正确的是（     ）

A． B．且

C． D．不等式的解集是

12．（本题5分）已知，则下列命题正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

第II卷（非选择题）

三、填空题（共20分）

13．（本题5分）关于的不等式恒成立，则的取值范围是         ．

14．（本题5分）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是         ．

15．（本题5分）直线与直线之间的距离为         ．

16．（本题5分）已知函数，且对任意，存在，使得，则实数的取值范围是         ．

四、解答题（共70分）

17．（本题12分）求的值．

18．（本题12分）设函数的最小正周期为，且．

（1）求的表达式；

（2）当时，求的单调区间及最值．

19．（本题10分）如图，在圆台中，平面过上下底面的圆心，，点在上，为的中点，．

（1）求证：平面平面；

（2）当时，与底面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值．

20．（本题12分）

（1）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．

（2）解关于的不等式，其中．

21．（本题12分）已知函数

（1）求函数的单调递增区间；

（2）当时，求函数的值域．

22．（本题12分）某次运动会甲、乙两名射击运动员成绩如下：

甲：9.4，8.7，7.5，8.4，10.1，10.5，10.7，7.2，7.8，10.8；

乙：9.1，8.7，7.1，9.8，9.7，8.5，10.1，9.2，10.1，9.1；

（1）用茎叶图表示甲，乙两个成绩；

（2）分别计算两个样本的平均数和标准差，并根据计算结果估计哪位运动员的成绩比较稳定．

汕尾中学2022-2023学年度高二数学期中考试卷

参考答案：

1．B

【分析】根据所给条件，确定等量关系，然后二次函数求出最值即可．

【详解】设每件售价定为元，则销售件数增加了件．

∴每天所获利润为：，

故当时，每天所获利润最大．

故售价定为每件90元时，可获最大利润．

故选：B．

2．C

【分析】由题得直线的方程为，直线的方程为，联立，解得点坐标．再根据为等腰三角形，，可得．

利用两点之间的距离公式即可得出的离心率．

【详解】解：由题知，所以直线的方程为，

因为，所以直线的倾斜角为，

所以直线的方程为．

联立，解得，．

．

因为为等腰三角形，，

所以，即，整理得：．

所以椭圆的离心率为．

故选：C

3．A

【分析】首先表示，再化简复数．

【详解】，

故选：A．

4．A

【分析】先求出，根据可求答案．

【详解】因为在中，，所以为锐角，且，

所以；

因为，所以，

即，解得

故选：A．

5．C

【分析】根据双曲线的方程，求得焦点坐标，由双曲线的性质，整理，利用三角形三边关系，可得答案．

【详解】由双曲线，则，即，且，，

由题意，

，

当且仅当，，共线时，等号成立．

故选：C．

6．B

【详解】试题分析：等比数列中，，

考点：等比数列性质

7．B

【分析】根据抛物线的定义可得，又，可知当直线与抛物线相切时，即点为切点时，最小．设出方程，联立直线与抛物线的方程，根据，可求出的值，进而得出切点的坐标．然后根据双曲线的定义，即可得出答案．

【详解】

根据抛物线的对称性，不妨设点在第一象限，，，如图，过点作，垂足为．

根据抛物线的定义，可得，所以，

在中，有，

因为在上单调递增，

所以，当最小时，最小，即最小，

当直线与抛物线相切时，即点为切点时，最小，最小．

由已知可得，，，，

则可设直线方程为，，

联立直线与抛物线的方程可得，．

由直线与抛物线相切，可知，

解得，（舍去负值），所以，

代入可得，，此时，

所以切点．

由已知可设双曲线方程为，

因为点在双曲线上，

根据双曲线的定义可知，

，

所以，双曲线的实轴长等于．

故选：B．

8．D

【分析】根据三角函数图像的伸缩和平移变换，即可得解．

【详解】首先将上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，可得；

再把得到的曲线向左平移个单位长度，可得，即为的图像

综上可知，D为正确选项

故选：D

【点睛】本题考查了三角函数图像的伸缩和平移变换，注意先伸缩再平移过程中的平移量，属于中档题．

9．BC

【分析】通过举例判断AB，根据含量词的命题的否定方法判断CD．

【详解】当时，，A错误，

当时，，B正确，

命题，，则，，C正确，

命题，，则，，D错误．

故选：BC．

10．ABD

【分析】根据独立､互斥事件概率计算方法计算即可．

【详解】解：∵如果，那么，，∴A对；

∵如果与互斥，那么，，∴B对；

∵如果与相互独立，那么，∴C错；

∵如果与相互独立，那么，，∴D对．

故选：ABD．

11．AB

【解析】结合不等式的解集与方程的根之间的关系，求得，且，逐项判定，即可求解．

【详解】由题意，不等式的解集是，

可得，2是方程的两个根，所以，且，所以A正确；

又由得，，所以，，所以B正确；

当时，此时，所以C不正确；

把，代入不等式，可得，

因为，所以，即，此时不等式的解集为，

所以D不正确．

故选：AB．

12．BD

【分析】根据不等式的性质判断各选项．

【详解】当时，如，时成立，A错；

若则一定有，所以时，一定有，B正确；

，但，C错；

，则，D正确．

故选：BD．

13．

【分析】先由题设条件求得，再将不等式转化为上半圆上任意一点到直线的距离小于或等于3，结合图像，可得，由此可得的取值范围．

【详解】由题意可得，得，

则原不等式可转化为在上恒成立，

设直线，上半圆，即，半径为，

则由点线距离公式可知，表示上半圆上任意一点到直线的距离小于或等于3，且直线过定点，如图，

设圆心（原点）到直线的距离为，由于上半圆上的点到直线的最大距离为，所以，即，即，解得或，所以的取值范围为．故答案为：．

14．

【分析】二次不等式恒成立问题可以考虑判别式．

【详解】的解集为则有，

解之：

故答案为：

15．

【分析】利用两平行线间的距离公式求解即可

【详解】解：直线可化为，

所以直线与间的距离为．

故答案为：

【点睛】此题考查两平行线间的距离公式，属于基础题．

16．

【解析】根据题意知在上的值域是在上的值域的子集，结合二次函数的性质可求出，结合一次函数的单调性可求出，进而可得到关于的不等式，进而可求出数的取值范围．

【详解】解：设在上的值域是在上的值域是N．

由知，则．当时，对称轴为，

当时，；当时，．

当时，，则．

所以或，解得．

故答案为：．

【点睛】本题考查了分段函数的图像和性质，考查了函数值域的求解，考查了数学的运算能力．本题的关键是由题意得在上的值域是在上的值域的子集．

17．3

【分析】利用两角和与差的正弦公式、二倍角的正弦公式化简求值．

【详解】因为

，

所以．

18．（1）

（2）在上单调递增；在上单调递减，最大值为1，最小值为．

【分析】（1）由余弦型函数最小正周期求得，再由，求得，即可求解；

（2）由，结合余弦型函数的图象与性质，求得函数的单调区间和最值．

【详解】（1）解：由题意，函数的最小正周期为，

可得最小正周期，解得，

又由，

因为，所以，

所以函数的解析式为．

（2）解：由（1）知，，

因为函数上单调递减，在上单调递增，

令，，解得，，

令，，解得，

可得在上单调递增；在上单调递减，

又因为，，，

所以的最大值为1，最小值为．

19．（1）证明见解析；（2）

【分析】（1）利用圆的性质和圆台高的性质可以证明出平面，再利用面面垂直的判定定理证明出平面平面；

（2）求可知：，故分别，，为轴建立空间直角坐标系．利用空间向量根据已知可以求出圆台的高，最后利用空间向量夹角公式求出二面角的余弦值．

【详解】（1）在中，因为为中点，．

在圆台中，因为底面

，，，．

．

又

（2）当时，，故分别以，，为轴建立空间直角坐标系．

设，则，，

故，．

所在平面的法向量为．

记与底面，所成角为

则，解得：．

，

设平面的法向量为

由得：

平面的法向量为，记二面角的大小为，

则．

∴二面角的余弦值为．

【点睛】本题考查了面面垂直、线面垂直的证明，考查了线面角、二面角的求法，考查了推理论证能力和数学运算能力．

20．（1）；（2）见解析

【分析】（1）利用列不等式求出实数的取值范围；

（2）讨论、和，分别求出对应不等式的解集．

【详解】（1）不等式化为，

由知，，

化简得，解得，

所以实数的取值范围是；

（2）时，不等式化为，且，

解得或，

所以不等式的解集为；时，不等式化为，

解得，

所以不等式的解集为；

时，不等式化为，且，

解得，

所以不等式的解集为．

综上知，时，不等式的解集为；

时，不等式的解集为；

时，不等式的解集为．

【点睛】本题考查了不等式恒成立问题和含有字母系数的不等式解法与应用问题，是基础题．

21．（1）；（2）．

【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简函数的表达式，借助正弦函数的性质列不等式求解即得；

（2）由已知条件并结合（1）的结论求出相位的范围，再用正弦函数性质即可作答．

【详解】（1）依题意，，

由，得：，，

所以函数的单调递增区间是；

（2）由（1）及得，，

当，即时，取最小值，当，即时，取最大值1，

于是得，从而有，

所以函数的值域是．

22．（1）见解析；（2）乙．

【分析】（1）依照给出的数据绘制茎叶图即可．

（2）根据公式计算甲乙的均数和标准差，根据标准差越大，波动越大进行比较即可

【详解】解：（1）如图所示，茎表示成绩的整数环数，叶表示小数点后的数字．

（2）解：（3）

，

，

因为，这说明甲运动员的波动大于乙运动员的波动，

所以乙运动员比较稳定．