数学29.1 投影教案

这是一份数学29.1 投影教案，共5页。教案主要包含了教学目标，教学设计等内容，欢迎下载使用。
阅读与思考 山坡的高度一、教学目标1．核心素养通过解直角三角形应用举例的学习，初步形成基本的运算能力、推理能力、应用意识.2．学习目标（1）1.1.1理解山坡的高度、坡角等概念．（2）1.1.2能将实际问题抽象成数学问题，并用解直角三角形的方法来解决.（3）1.1.3能利用解直角三角形来灵活求解其他非直角三角形的问题．3．学习重点 熟练运用解直角三角形的方法来解决山坡的高度、坡角相关的实际问题.4．学习难点将实际问题抽象为数学模型．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务 任务1  阅读教材P80，思考：什么是坡度、坡角？2．预习自测一、填空题1．如图，一个小球由地面沿着坡度i＝1∶2的坡面向上前进了10m，此时小球距离地面的高度为______m. 答案：2 解析：过点B作BC⊥AC，如下图所示.∵AB=10米，tanA=BC/AC=1/2，∴设BC=x，则AC=2x，由勾股定理得：AB2=AC2+BC2，即100=x2+4x2，解得x=2，∴BC=2米.（二）课堂设计1．知识回顾（1）锐角三角函数：在Rt△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别记为a、b、c，若∠C=90°，则 ，cosA＝＝ ，tanA＝＝. （2）勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．（3）含30°角的直角三角形的三边比为；含45°角的直角三角形的三边比为. （4）30°、45°、60°角的三角函数值：，，，，，，，，. 2．问题探究问题探究一  什么是坡度、坡角？重点知识★ ●活动  坡角的定义坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度的l的比叫做坡度．一般用i表示．坡角：把坡面与水平面的夹角α叫做坡角．坡度i与坡角α之间的关系：i＝＝tanα.问题探究二   坡度、坡角在解直角三角形中有什么应用？重点知识★ ●活动 应用知识，解决问题例. 同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i＝1∶3，斜坡CD的坡度i＝1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m)【知识点：解直角三角形；数学思想：数形结合、转化思想】详解：作BE⊥AD，CF⊥AD，在Rt△ABE和Rt△CDF中，∵＝，＝，∴AE＝3BE＝3×23＝69(m)．FD＝2.5CF＝2.5×23＝57.5(m)．∴AD＝AE＋EF＋FD＝69＋6＋57.5＝132.5(m)．∵斜坡AB的坡度i＝tanα＝≈0.33，∴α≈18.43°，∵＝sinα，∴AB＝＝≈72.7(m)．答：斜坡AB的坡角α约为18.43°，坝底宽AD为132.5m，斜坡AB的长约为72.7m.点拨：求解坡角相关的问题，一般作高把斜坡放到直角三角形中来求解. ●活动二方法总结利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：    1．将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）．    2．根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形．    3．得到数学问题的答案．4．得到实际问题的答案．问题探究三   怎样灵活运用解直角三角形的方法解决跟坡度、坡角相关的问题？重点、难点知识★▲构造基本图形角直角三角形的实际问题：●活动一构造单一直角三角形例1：平放在地面上的直角三角形铁板ABC的一部分被沙堆掩埋，其示意图如图所示．量得∠A为54°，斜边AB的长为2.1 m，BC边上露出部分的长为0.9 m．求铁板BC边被掩埋部分CD的长．(结果精确到0.1 m，参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38)【知识点：解直角三角形；数学思想：数形结合、转化思想】详解：由题意，得∠C＝180°－∠B－∠A＝180°－36°－54°＝90°.在Rt△ABC中，sin A＝，则BC＝AB·sinA＝2.1sin54°≈2.1×0.81＝1.701，则CD＝BC－BD＝1.701－0.9＝0.801≈0.8(m)．●活动二   与梯形有关的角直角三角形例2：如图，梯形ABCD是拦水坝的横断面图，斜面坡度i＝1∶是指坡面的铅直高度DE与水平宽度CE的比，∠B＝60°，AB＝6，AD＝4，求拦水坝的横断面ABCD的面积．(结果保留小数点后一位．参考数据：≈1.732，≈1.414)【知识点：解直角三角形；数学思想：数形结合、转化思想】详解：过点A作AF⊥BC，垂足为点F.在Rt△ABF中，∠B＝60°，AB＝6，∴AF＝ABsinB＝6sin60°＝3，BF＝ABcosB＝6cos60°＝3.∵AD∥BC，AF⊥BC，DE⊥BC，∴四边形AFED是矩形．∴DE＝AF＝3，FE＝AD＝4.在Rt△CDE中，i＝＝，∴EC＝ED＝×3＝9.∴BC＝BF＋FE＋EC＝3＋4＋9＝16.∴S梯形ABCD＝(AD＋BC)·DE＝(4＋16)×3≈52.0.答：拦水坝的横断面ABCD的面积约为52.0.3．课堂总结【知识梳理】坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度的l的比叫做坡度．一般用i表示．坡角：把坡面与水平面的夹角α叫做坡角．坡度i与坡角α之间的关系：i＝＝tanα.【重难点突破】（1）题中没有直角三角形，或已知直角三角形不可用时，常常作辅助线构造直角三角形.（2）构造直角三角形，常用辅助线为延长或作高，但一般不破坏特殊角或已知角.4．随堂检测一、选择题．四个规模不同的滑梯A，B，C，D，它们的滑板长(滑板是平直的)分别为300m，250m，200m，200m；滑板与地面所成的角度分别为30°，45°，45°，60°，则关于四个滑梯的高度正确说法（   ） A．A的最低     B．B的最低   C．C的最低     D．D的最低　 答案：C   解析：A的高度为：300×sin30°=150（米）．B的高度为：250×sin45°=125≈176.75（米）．C的高度为：200×sin45°=100≈141.4（米）．D的高度为：200×sin60°=100≈173.2（米）．所以C的最低．【知识点：解直角三角形的应用；数学思想：数形结合】二、填空题．如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为14m，斜面坡度为1∶2，则斜坡AB的长为______m.答案：解析：在Rt△ABC中，∵i=，AC=12米，∴BC=6米，根据勾股定理得：AB==米.【知识点：解直角三角形的应用；数学思想：数形结合】三、解答题．如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶BC宽7米，坝高20米，斜坡AB的坡度i＝1∶2.5，斜坡CD的坡角为30°，求坝底AD的长度．(精确到0.1米，参考数据：≈1.414，≈1.732)答案：见解析  解析：作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E、F，则四边形BCFE是矩形．由题意得，BC＝EF＝7米，BE＝CF＝20米，斜坡AB的坡度i为1∶2.5，在Rt△ABE中，BE＝20米，＝，∴AE＝50米．在Rt△CFD中，∠D＝30°，∴DF＝＝20米．∴AD＝AE＋EF＋FD＝50＋7＋20≈91.6(米)．答：坝底AD的长度约为91.6米．【知识点：解直角三角形的应用；数学思想：数形结合】