湖北省随州市广水市2023届九年级下学期中考模拟（5月份）数学试卷（含解析）

这是一份湖北省随州市广水市2023届九年级下学期中考模拟（5月份）数学试卷（含解析），共36页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年湖北省随州市广水市中考数学模拟试卷（5月份）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列各数是无理数的是(    )
A. B. C. D.
2. 随着我国经济快速发展，轿车进入百姓家庭，小明同学在街头观察出下列四种汽车标志，其中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是(    )
A. B.
C. D.
3. 几个棱长为的正方体组成的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是(    )

A. B. C. D.
4. 在下列计算中，正确的是(    )
A. B.
C. D.
5. 如图，直尺经过一副三角尺中的一块三角板的顶点，若，，则度数为(    )

A. B. C. D.
6. 在函数中，自变量的取值范围是(    )
A. B. 且 C. 且 D. 且
7. 为了响应学校“书香校园”建设，阳光班的同学们积极捐书，其中宏志学习小组的同学捐书册数分别是：，，，，，已知他们平均每人捐本，则这组数据的众数、中位数和方差分别是(    )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
8. 如图，、分别是的边、上的点，且，、相交于点，若：：，则与的比是(    )


A. ： B. ： C. ： D. ：
9. 正比例函数的图象上有一点到轴的距离与到轴的距离之比为，且随的增大而减小，则的值为(    )
A. B. C. D.
10. 二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：；；若点、点、点在该函数图象上，则；若方程的两根为和，且，则其中正确的结论有(    )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 年“圣地车都”--随州改装车的总产值为亿元，其中亿元用科学记数法表示为______ 元．
12. 已知等腰三角形的一边长为，另一边长为方程的根，则该等腰三角形的周长为          ．
13. 如图，在中，，、分别是、的中点，延长至点，使，连接、、若，则          ．






14. 观察下列图形，它是把一个三角形分别连接这个三角形三边的中点，构成个小三角形，挖去中间的一个小三角形如图；对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法，将这种做法继续下去如图，图，则图中挖去三角形的个数为______．


15. 如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形，、为梯形的高，其中迎水坡的坡角，坡长米，背水坡的坡度：为与的比值，则背水坡的坡长为______米．

16. 如图，在矩形中，，，点为线段上的动点，将沿折叠，使点落在矩形内点处．
当为线段中点时， ______ ；
当，，三点共线时， ______ ．


三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）
17. 解方程：．
四、解答题（本大题共7小题，共67.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18. 本小题分
关于的一元二次方程，其中为常数．
求证：无论为何值，方程总有两个不相等实数根；
若原方程的一根大于，另一根小于，求的最大整数值．
19. 本小题分
国务院办公厅年月日发布了中国足球改革的总体方案，这是中国足球历史上的重大改革．为了进一步普及足球知识，传播足球文化，我市举行了“足球进校园”知识竞赛活动，为了解足球知识的普及情况，随机抽取了部分获奖情况进行整理，得到下列不完整的统计图表：
 获奖等次
 频数
 频率
 一等奖
 
 
 二等奖
 
 
三等奖
 
 
 优胜奖
 
 
 鼓励奖
 
 
请根据所给信息，解答下列问题：
______，______，且补全频数分布直方图；
若用扇形统计图来描述获奖分布情况，问获得优胜奖对应的扇形圆心角的度数是多少？
在这次竞赛中，甲、乙、丙、丁四位同学都获得一等奖，若从这四位同学中随机选取两位同学代表我市参加上一级竞赛，请用树状图或列表的方法，计算恰好选中甲、乙二人的概率．

20. 本小题分
已知：如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于一、三象限内的、两点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为，．
求该反比例函数和一次函数的解析式；
在轴上有一点点除外，使得与的面积相等，求出点的坐标．

21. 本小题分
如图，已知，，为的中点，以为直径的交于点．

求证：是的切线；
若：：，，求的长．
22. 本小题分
九年级班数学兴趣小组经过市场调查整理出某种商品在第天，且为整数的售价与销售量的相关信息如下．已知商品的进价为元件，设该商品的售价为单位：元件，每天的销售量为单位：件，每天的销售利润为单位：元．
 时间天
 
 
 
 
 每天销售量件
 
 
 
 
求出与的函数关系式；
问销售该商品第几天时，当天的销售利润最大？并求出最大利润；
该商品在销售过程中，共有多少天每天的销售利润不低于元？请直接写出结果．

23. 本小题分
【探索发现】
如图，是一张直角三角形纸片，，小明想从中剪出一个以为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线、剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为______．

【拓展应用】
如图，在中，，边上的高，矩形的顶点、分别在边、上，顶点、在边上，则矩形面积的最大值为______用含，的代数式表示
【灵活应用】
如图，有一块“缺角矩形”，，，，，小明从中剪出了一个面积最大的矩形为所剪出矩形的内角，求该矩形的面积．
【实际应用】
如图，现有一块四边形的木板余料，经测量，，，且，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点、在边上且面积最大的矩形，求该矩形的面积．
24. 本小题分
如图，抛物线与轴交于、两点，且，与轴交于点，其中，是方程的两个根．
求抛物线的解析式；
点是线段上的一个动点，过点作，交于点，连接，当的面积最大时，求点的坐标；
点在中抛物线上，点为抛物线上一动点，在轴上是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．


答案

1.【答案】 
解析：解：是整数，它不是无理数，
则不符合题意；
B.是分数，它不是无理数，
则不符合题意；
C.是无限不循环小数，它是无理数，
则符合题意；
D.，它不是无理数，
则不符合题意；
故选：．
整数和分数统称为有理数；无理数即为无限不循环小数，据此进行判断即可．
本题考查有理数和无理数的定义，它们是实数的基础概念，必须熟练掌握．

2.【答案】 
解析：解：、不是轴对称图形，是中心对称图形；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形．
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．

3.【答案】 
解析：解：综合三视图可知，这个几何体的底层应该有个小正方体，
第二层应该有个小正方体，
因此搭成这个几何体所用小正方体的个数是个，
所以这个几何体的体积是．
故选：．
根据三视图，该几何体的主视图以及俯视图可确定该几何体共有两行三列，故可得出该几何体的小正方体的个数，即可得出这个几何体的体积．
此题主要考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．

4.【答案】 
解析：解：、原式，不符合题意；
B、原式，符合题意；
C、原式，不符合题意；
D、原式，不符合题意．
故选：．
各式计算得到结果，即可做出判断．
此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

5.【答案】 
解析：解：，，
，
，
，
故选：．
依据三角形外角性质，即可得到，再根据平行线的性质，即可得到的度数．
本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等．

6.【答案】 
解析：解：由题意得：且，
解得：且，
故选：．
根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为是解题的关键．

7.【答案】 
解析：解：由，，，，，，已知他们平均每人捐本，得
．
众数是，中位数是，
方差，
故选：．
根据平均数，可得的值，根据众数的定义、中位数的定义、方差的定义，可得答案．
本题考查了方差，众数，中位数，掌握相关定义及计算公式是解题关键．

8.【答案】 
解析：解：，
∽，
，
：：，
：：，
：：，
故选：．
由，推出∽，可得，推出：：，推出：：，根据等高模型即可解决问题．
本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方，掌握等高模型解决问题．

9.【答案】 
解析：解：函数图象上的点随的增大而减小，
，
函数图象上点到轴的距离与到轴的距离之比为，
，即，
故选：．
根据“函数图象上的点随的增大而减小”，得，根据“函数图象上点到轴的距离与到轴的距离之比为”，得，即可得到答案．
本题考查了一次函数图象上的坐标特征，正比例函数的性质，正确掌握正比例函数的性质是解题的关键．

10.【答案】 
解析：解：抛物线的对称轴为直线，
，即，所以正确；
时，，
，即，所以错误；
点、点、点在该函数图象上，且对称轴为直线，
点离对称轴最远，点离对称轴的距离近，
，故错误．
抛物线的对称轴为直线，图象与轴交于，
抛物线轴的另一个交点是，
抛物线与直线的交点横坐标，，如图，
方程的两根为和，且，则故正确．
故选：．
由抛物线的对称轴方程得到，则可对进行判断；由于时，，则可对进行判断；根据抛物线的增减性对称轴，则可对进行判断；根据解的范围，则可对进行判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时即，对称轴在轴左；当与异号时即，对称轴在轴右；常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于；抛物线与轴交点个数由决定：时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴没有交点．

11.【答案】 
解析：解：亿．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式．其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定的值以及的值．

12.【答案】或或 
解析：
本题考查了解一元二次方程和等腰三角形性质，三角形的三边关系的应用，因式分解法求出方程的解是根本，根据等腰三角形的性质分类讨论是关键．
求出方程的解，分是腰长和底边长两种情况，看看是否符合三角形三边关系，求出即可．
【解答】
解：由方程得：，
或，
解得：或，
当等腰三角形的三边长为、、时，其周长为；
当等腰三角形的三边长为、、时，其周长为；
当等腰三角形的三边长为、、时，，不符合三角形三边关系，舍去；
当等腰三角形的三边长为、、时，其周长为；
综上，该等腰三角形的周长为或或，
故答案为或或．  
13.【答案】 
解析：
连接，根据三角形中位线定理得到，，证明四边形是平行四边形，得到，根据直角三角形的性质得到，等量代换即可．
本题考查的是三角形的中位线定理、直角三角形的性质、平行四边形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
【解答】
解：连接，
、分别是、的中点，
，，又，
，又，
四边形是平行四边形，
，
，是的中点，
，
，
故答案为：．  
14.【答案】 
解析：解：图挖去中间的个小三角形，
图挖去中间的个小三角形，
图挖去中间的个小三角形，

则图挖去中间的个小三角形，即图挖去中间的个小三角形，
故答案为：．
根据题意找出图形的变化规律，根据规律计算即可．
本题考查的是图形的变化，正确找出图形的变化规律是解题的关键

15.【答案】 
解析：
此题考查了坡度坡角问题．此题难度适中，注意构造直角三角形，并借助于解直角三角形的知识求解是关键．由题意可得四边形是矩形，由的坡角，得出的长，利用背水坡的坡度：为与的比值得出的度数，即可求解．
【解答】
解：迎水坡的坡角，坡长米，
，
背水坡的坡度：为与的比值，
，
，
则．
故答案为．
  
16.【答案】  
解析：解：当为线段中点时，如图，过点作于点，

四边形为矩形，
，
为线段中点，，
，
在中，，
根据折叠的性质可得，，，
，
，，，
，
，即，
，
，
∽，
，
，
，
；
故答案为：；
当，，三点共线时，如图，

在中，，
根据折叠的性质可得，，，，
，，
设，则，
在中，，
，
解得：，
．
故答案为：．
当为线段中点时，过点作于点，由线段中点定义可得，由勾股定理求得，，由折叠可知，，进而得到，即为等腰三角形，根据等腰三角形的性质可得，，，根据三角形外角性质可推出，以此可证∽，利用相似三角形的性质即可求解．
先根据勾股定求出，由折叠的可知，，，进而得到，，设，则，在中，利用勾股定理建立方程，求解即可．
本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、三角形外角性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质，并根据不同情况画出图形，利用数形结合思想解决问题．

17.【答案】解：两边都乘以，得：，
解得：，
检验：当时，，
所以原分式方程的解为． 
解析：两边都乘以化分式方程为整式方程，解之求得的值，再检验即可得．
本题主要考查分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤：去分母；求出整式方程的解；检验；得出结论．

18.【答案】解：，，，
．
，
，即，
无论为何值，方程总有两个不相等实数根；
方程的一根大于，另一根小于，
抛物线与轴的两交点位于的两侧．
，
当时，，即，
，
解得：，
的最大整数值为． 
解析：本题考查了根的判别式、抛物线与轴的交点以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”；利用二次函数图象上点的坐标特征找出关于的一元一次不等式．
根据方程的系数结合根的判别式，即可得出，由此可证出：无论为何值，方程总有两个不相等实数根；
由方程两根的范围可得出抛物线与轴的两交点位于的两侧，结合抛物线的开口方程可得出当时，进而可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可得出结论．

19.【答案】解：；； 
优胜奖所在扇形的圆心角为；
列表：甲乙丙丁分别用表示，

























共有种等可能的结果，恰好选中、的有种，
画树状图如下：

选中、． 
解析：
本题考查了列表与树状图的知识，解题的关键是通过列表将所有等可能的结果列举出来，然后利用概率公式求解，难度不大．
根据公式频率频数样本总数，求得样本总数，再根据公式得出，的值即可；
根据公式优胜奖对应的扇形圆心角的度数优胜奖的频率计算即可；
画树状图或列表将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可．
【解答】
解：样本总数为人，
人，
，
故答案为，；

优胜奖所在扇形的圆心角为；
列表：甲乙丙丁分别用表示，

























共有种等可能的结果，恰好选中、的有种，
画树状图如下：

选中、．  
20.【答案】解：过点作轴，垂足为，
，
，
在中，，即，
解得，
又点在第三象限，
，
将代入中，得，
反比例函数解析式为，
将代入中，得，
，
将，代入中，
得，解得．
则一次函数解析式为；
由得，即，
，
，
，即． 
解析：本题考查了反比例函数的综合运用．关键是通过解直角三角形确定点坐标，根据反比例函数图象上点的坐标求点坐标，求出反比例函数解析式，一次函数解析式．
过点作轴，垂足为，由得，由，解直角三角形求，确定点坐标，得出反比例函数关系式，再由、两点横坐标与纵坐标的积相等求的值，由“两点法”求直线的解析式；
点为轴上的点，要使得与的面积相等，只需要即可，根据直线解析式求，再确定点坐标．

21.【答案】证明：如图，连接、．

是的直径，
．
为的中点，
，
．
，
，
，
即．
，
，
是的切线．
由知：，
在与中，，，
∽，
，
．
：：，设，则，，
又，
，
解得：负值舍去，
即． 
解析：本题考查了切线的判定和相似三角形的性质和判定，能求出和∽是解此题的关键．
求出，根据切线的判定得出即可；
求出∽，得出比例式，代入求出即可．

22.【答案】解：当时，设商品的售价与时间的函数关系式为、为常数且，
经过点、，
，解得：，
售价与时间的函数关系式为；
当时，．
售价与时间的函数关系式为．
由数据可知每天的销售量与时间成一次函数关系，
设每天的销售量与时间的函数关系式为、为常数，且，
过点、，
，解得：，
，且为整数，
当时，；
当时，．
综上所示，每天的销售利润与时间的函数关系式是．
当时，，
且，
当时，取最大值，最大值为元．
当时，，
，随增大而减小，
当时，取最大值，最大值为元．
，
当时，最大，最大值为元．
即销售第天时，当天获得的销售利润最大，最大利润是元．
当时，令，即，
解得：，
天；
当时，令，即，
解得：，
为整数，
，
天．
综上可知：天，
故该商品在销售过程中，共有天每天的销售利润不低于元． 
解析：当时，设商品的售价与时间的函数关系式为，由点的坐标利用待定系数法即可求出此时关于的函数关系式，根据图形可得出当时，再结合给定表格，设每天的销售量与时间的函数关系式为，套入数据利用待定系数法即可求出关于的函数关系式，根据销售利润单件利润销售数量即可得出关于的函数关系式；
根据关于的函数关系式，分段考虑其最值问题．当时，结合二次函数的性质即可求出在此范围内的最大值；当时，根据一次函数的性质即可求出在此范围内的最大值，两个最大值作比较即可得出结论；
令，可得出关于的一元二次不等式和一元一次不等式，解不等式即可得出的取值范围，由此即可得出结论．
本题考查了二次函数的应用、一元一次不等式的应用、一元二次不等式的应用以及利用待定系数法求函数解析式，解题的关键：根据点的坐标利用待定系数法求出函数关系式；利用二次函数与一次函数的性质解决最值问题；得出关于的一元一次和一元二次不等式．本题属于中档题，解决该题型题目时，根据给定数量关系，找出函数关系式是关键．

23.【答案】解：【探索发现】；
【拓展应用】；
【灵活应用】
如图，延长、交于点，延长、交于点，延长、交于点，取中点，的中点，

由题意知四边形是矩形，
，，，，
、，
、，
在和中，

≌，
，
同理≌，
，
，
，
中位线的两端点在线段和上，
过点作于点，
由【探索发现】知矩形的最大面积为，
答：该矩形的面积为；

【实际应用】

如图，延长、交于点，过点作于点，
，
，
，
，且，
，
，
，
在中，，
，
，
的中点在线段上，
，
，
的中点在线段上，
中位线的两端点在线段、上，
由【拓展应用】知，矩形的最大面积为，
答：该矩形的面积为 
解析：解：【探索发现】
、为中位线，
，，，，
又，
四边形是矩形，
则，
故答案为：；

【拓展应用】
，
∽，
，即，
，
设，
则，
当时，最大值为，
故答案为：；
【灵活应用】
见答案；
【实际应用】
见答案．
【探索发现】：由中位线知、、由可得；
【拓展应用】：由∽知，可得，设，由，据此可得；
【灵活应用】：添加如图辅助线，取中点，的中点，由矩形性质知、，分别证≌、≌得、，从而判断出中位线的两端点在线段和上，利用【探索发现】结论解答即可；
【实际应用】：延长、交于点，过点作于点，由知、，，继而求得，可判断中位线的两端点在线段、上，利用【拓展应用】结论解答可得．
本题主要考查四边形的综合问题，熟练掌握中位线定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质及类比思想的运用是解题的关键．

24.【答案】解：，
，．
，，
又抛物线过点、、，故设抛物线的解析式为，
将点的坐标代入，求得，
抛物线的解析式为；

设点的坐标为，过点作轴于点如图．


点的坐标为，点的坐标为，
，，
，∽．
，
，
，
，
，
．
当时，有最大值．
此时，点的坐标为；

点在抛物线上，
当时，，
点的坐标是．
如图，

当为平行四边形的边时，平行且等于，
，．
，，
如图，

当为平行四边形的对角线时，设，
点的坐标为，
则平行四边形的对称中心的横坐标为：，
平行四边形的对称中心坐标为，
，
的横坐标为：，
的纵坐标为：，
的坐标为．
把代入，得．
解得．，，
综上所述，，，． 
解析：根据一元二次方程解法得出，两点的坐标，再利用交点式求出二次函数解析式；
首先判定∽得出，进而得出函数的最值；
分别根据当为平行四边形的边时，平行且等于与当为平行四边形的对角线时，分析得出符合要求的答案．
此题主要考查了二次函数的综合应用，二次函数的综合应用是初中阶段的重点题型，特别注意利用数形结合是这部分考查的重点，也是难点，同学们应重点掌握．