辽宁省抚顺市望花区2023届九年级下学期中考质检（四）数学试卷（含解析）

2023年辽宁省抚顺市望花区中考数学质检试卷（四）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的倒数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图所示的几何体是由一个圆柱和一个长方体组成的，它的主视图是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  下列问题中，最适合采用全面调查方式的是(    )

A. 调置一批灯泡的使用寿命
B. 调查年春季抚顺市空气质量情况
C. 调查一架“歼”飞机各零部件的质量
D. 调查全国中学生对“天宫课堂”的了解情况

6.  下表记录了甲、乙、丙、丁四名射击运动员最近几次选拔赛成绩的平均数和方差：

根据表中数据，要从中选择一名成绩发挥稳定的运动员参加比赛，应选择(    )

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

7.  一副三角板如图所示摆放，则与的数量关系为(    )
 

A.
B.
C.
D.

8.  如图，在▱中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，再分别以点，点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，射线交的延长线于点，则的长是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，在中，，点在轴上，点，点分别为、的中点，连接，点为上任意一点，连接、，反比例函数的图象经过点，若的面积为，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图是二次函数的图象的一部分，给出下列命题：；方程的两根分别为，；当时，；；其中正确的命题是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

11.  据报道，某节日期间某市地铁二号线载客量达到人次，再创历史新高．将数据用科学记数法表示为______．

12.  分解因式：          ．

13.  一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不允许将球倒出来的情况下，为估计白球的个数，小刚向其中放入个黑球，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复，共摸球次，其中次摸到黑球，估计盒中大约有白球______个．

14.  某市今年月日到日的每一天最高气温变化如折线图所示，则这组数据的众数是______ ．

15.  在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，，点经过平移后对应点为，将作同样的平移得到，点的对应点为点，则点的坐标为______ ．

16.  若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是______．

17.  如图，在矩形中，，，、分别是边、上一点，，将沿翻折得，连接，当 ______ 时，是以为腰的等腰三角形．

18.  如图，在边长为的菱形中，，点是边的中点，点是菱形内一动点，且满足，连接，则的最小值为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共96.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

20.  本小题分
某中学为了提高学生的综合素质，组建了以下活动小组：、航模；、乐器；、摄影；、舞蹈要求每名学生必须参加，并且只能选择其中一个小组为了解学生对四个课外活动小组的选择情况，学校从全体学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，其中图中所占扇形的圆心角为．

根据以上信息，解答下列问题：
这次被调查的学生共有______ 人；
请你将图中的条形统计图补充完整；
若该校共有名学生，请你估计这名学生中有多少人参加了摄影活动小组；
在航模活动小组中，由于甲、乙、丙、丁四人平时的表现优秀，现决定从这四人中任选两名参加市级大赛，请你用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率．

21.  本小题分
“人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”，为了感受大自然，描绘大自然的美景，李老师打算为学生购买画笔单位：盒与画板单位：个两种写生工具数量若于已知用元购买画笔与用元购买画板的数量相同，且每个画板的单价比每盒画笔的单价少元．
请问购买一盒画笔和一个画板各需要多少元？
根据班级需要，购买画笔盒数和画板个数总共为，且购买这些写生工具的总费用不超过元，求至少购买画板多少个？

22.  本小题分
小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头如图，完全开启后，把手与水平线的夹角为，此时把手端点、出水口点和落水点在同一直线上洗手盆及水龙头示意图如图，其相关数据，，，，，请求出的长结果精确到，参考数据：，，，

23.  本小题分
年月，随着神舟十四号载人飞船成功返回地球，航天模型、航天玩具备受青少年的喜爱某公司在百货大楼销售神舟飞船纪念章，已知神舟飞船纪念章的成本价为每枚元，销售单价不低于成本价且不高于元经销售发现，日销售量枚与销售单价元满足一次函数关系，部分数据如下表：

请求出日销售量与销售单价之间的函数关系式；
当销售单价定为多少时，销售这种神舟飞船纪念章的日获利最大？最大利润为多少元？

24.  本小题分
如图，中，，以为直径的交于点，过点作，交的延长线于点，垂足为点．
判断直线与的位置关系，并说明理由；
若，，求的长．

25.  本小题分
如图，在中，，于点，在上取点，使，连接、．
直接写出与的位置关系；
如图，将绕点旋转，得到点、分别与点、对应，连接、，在旋转的过程中与的位置关系与中的与的位置关系是否一致？请说明理由；
如图，当绕点顺时针旋转时，射线与、分别交于点、，若，，求的长．

 

26.  本小题分
如图，抛物线交轴于点，点，点是直线上方抛物线上的一个动点，过点作轴的垂线交轴于点，交直线于点．

请直接写出抛物线和直线的解析式；
如图，连接、，当的面积等于时，请求出点的坐标；
如图，连接，过点作交轴于点，连接，在点运动过程中，当时，请求点出的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

解析：解：因为．
所以的倒数是，
故选：．
根据倒数的定义，乘积是的两个数互为倒数解答即可．
本题主要考查倒数的定义，解决本题的关键是熟记乘积是的两个数互为倒数．
 

2.【答案】 

解析：

本题考查了积的乘方，单项式除以单项式，单项式乘以单项式，合并同类项，掌握各运算法则是解题的关键．根据积的乘方法则判断；根据单项式除以单项式的法则判断；根据单项式乘以单项式的法则判断；根据合并同类项的法则判断．
【解答】
解：，错误，故本选项不符合题意；
B.，错误，故本选项不符合题意；
C.，正确，故本选项符合题意；
D.，错误，故本选项不符合题意；
故选C．  

3.【答案】 

解析：解：不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C.不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
D.既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

4.【答案】 

解析：解：从正面看，底层是一个比较长的矩形，上层中间是一个比较窄的矩形．
故选：．
根据主视图是从正面看得到的视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是正视图，注意圆柱的主视图是矩形．
 

5.【答案】 

解析：解：、调置一批灯泡的使用寿命，具有破坏性，适合抽样调查，故本选项不合题意；
B、调查年春季抚顺市空气质量情况，适合抽样调查，故本选项不合题意；
C、调查一架“歼”飞机各零部件的质量，适合采用全面调查方式，故本选项符合题意；
D、调查全国中学生对“天宫课堂”的了解情况，适合抽样调查，故本选项不合题意；
故选：．
根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似进行判断．
此题考查全面调查与抽样调查，关键是根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似进行判断．
 

6.【答案】 

解析：解：四人的平均数相等，而乙的方差最小，
选择乙参加比赛，
故选：．
根据方差的意义求解即可．
本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
 

7.【答案】 

解析：

本题考查了直角三角形的性质，对顶角相等，正确的识别图形是解题的关键．
根据四边形的内角和定理即可得到结论．
【解答】

解：如图，在四边形中，且，，

，
．
故选：．

8.【答案】 

解析：解：由作法得平分，
，
四边形为平行四边形，
，
，
，
，
而，
即，
．
故选：．
先利用基本作图得到平分，则，再根据平行四边形的性质和平行线的性质得到，则，所以，从而可求出的长．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质和平行四边形的性质．
 

9.【答案】 

解析：解：如图，过点作轴交于点，
由题可知：点，点分别为、的中点，
是的中位线，
点在线段上，
，
，
是等腰三角形，轴，
是的中线，
，
设，
，
根据图象，，，
，
点在反比例函数上，
．
故选：．
过点作轴交于点，根据三角形中位线的性质求出的值，根据等腰三角形的性质求出的值，利用反比例函数中的几何意义，求出的值即可．
本题以反比例函数为背景考查了反比例中值得几何意义，考查学生对反比例函数和三角形性质的综合运用．本题利用三角形的性质求出点坐标中横纵坐标的乘积是解决问题的关键．
 

10.【答案】 

解析：解：时，，
，所以正确；
抛物线的对称轴为直线，
，
抛物线与轴的一个交点坐标为，
而抛物线的对称轴为直线，
抛物线与轴的另一个交点坐标为，
方程的两根分别为和，所以正确；
当时，，所以错误；
抛物线与轴的一个交点坐标为，
，
，
，所以正确；
故选：．
利用时，可对进行判断；利用对称性确定抛物线与轴的另一个交点坐标为，则根据抛物线与轴的交点问题可对进行判断；利用抛物线在轴下方对应的自变量的范围可对进行判断；进而可判断．
本题考查了命题与定理及二次函数图象和系数的关系，写成“如果，那么”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
 

11.【答案】 

解析：解：，
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，整数位数减即可．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

12.【答案】 

解析：解：，
，
．
故答案为：．
先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
本题主要考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．
 

13.【答案】 

解析：解：设盒子里有白球个，
根据得：

解得：．
经检验得是方程的解．
答：盒中大约有白球个．
可根据“黑球数量黑白球总数黑球所占比例”来列等量关系式，其中“黑白球总数黑球个数白球个数“，“黑球所占比例随机摸到的黑球次数总共摸球的次数”．
解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解，注意分式方程要验根．
 

14.【答案】 

解析：解：这组数据分别为：，，，，，，
出现的次数最多，故众数是．
故答案为：．
根据众数的定义解答即可．
本题考查了众数，解答本题的关键是掌握众数的定义．
 

15.【答案】 

解析：解：点经过平移后对应点为，
横坐标加，可得点向右平移了个单位，纵坐标减，可得点向下平移了个单位，
由此得的平移的过程是：向右平移个单位，再向下平移个单位，
所以点的对应点的坐标为，即．
故答案为：．
直接利用平移中点的变化规律求解即可．
本题考查了坐标与图形变化平移，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
 

16.【答案】且 

解析：解：关于的一元二次方程有两个实数根，
，
解得且．
故答案为：且．
先根据一元二次方程的定义及根的判别式列出关于的不等式组，求出的取值范围即可．
本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程的根与的关系是解答此题的关键．
 

17.【答案】或 

解析：解：设，则，
由翻折得：，当时，，
，
由勾股定理得：，
解得：，
当时，如图，作
，
，
，
沿翻折得，
，
，
在和中，
≌，
，
时，作，
，
即，
解得，
综上所述：或．
故答案为：或．
设，则，由翻折得：当时，由勾股定理得：；当时，作，由，平分可证得，则≌，所以，由三线合一得，即，解方程即可．
本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，涉及到方程思想和分类讨论思想．当时如何列方程，有一定难度．
 

18.【答案】 

解析：解：过点作，交的延长线于点，如图所示：

在边长为的菱形中，，，
，
，
点是边的中点，
，
，
根据勾股定理，得，

，
根据勾股定理，得，
，
当点运动到线段上的点时，取得最小值，
，
的最小值为，
故答案为：．
过点作，交的延长线于点，根据菱形的性质以及直角三角形的性质求出的长，然后当点运动到线段上的点时，取得最小值，进一步求解即可．
本题考查了菱形的性质，勾股定理，含的直角三角形的性质，线段最小问题等，本题综合性较强，难度较大．
 

19.【答案】解：原式

．
把代入，原式． 

解析：先把括号内的分式通分，再将除法转化为乘法，把各分子和分母因式分解，然后进行约分化简，最后代入求值．
本题考查了分式的化简求值，在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
 

20.【答案】 

解析：解：类有人，所占扇形的圆心角为，
这次被调查的学生共有：人；
故答案为：；
项目对应人数为：人；
补充如图：

人，
答：估计这名学生中有人参加了摄影活动小组；
画树状图得：

共有种等可能的情况，恰好选中甲、乙两位同学的有种，
选中甲、乙．
由类有人，所占扇形的圆心角为，即可求得这次被调查的学生数；
首先求得项目对应人数，即可补全统计图；
该校学生数参加了摄影活动小组的人数所占的百分比即可得到结论；
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好选中甲、乙两位同学的情况，再利用概率公式即可求得答案．
此题考查了列表法或树状图法求概率以及扇形与条形统计图．注意概率所求情况数与总情况数之比．
 

21.【答案】解：设购买一盒画笔需要元，一个画板需要元，
根据题意，得，
解得．
经检验：是原方程的解，
则．
答：购买一盒画笔需要元，一个画板需要元；
设购买画板个，则购买画笔个，
根据题意有，
解得：，
根据题意可知为整数，
的最小值为．
答：至少购买画板个． 

解析：设购买一盒画笔需要元，一个画板需要元，根据“用元购买画笔与用元购买画板的数量相同”列出方程并解答；
设最少购买画板个，则购买画笔个，根据题意可列出关于的一元一次不等式，解出的解集，结合其实际意义即得出答案．
本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用．理解题意，找出数量关系，列出等式和不等式是解题关键．
 

22.【答案】解：过点作于，过点作于，如图所示，
则四边形为矩形，
，，
在中，，，
，，
，，
，
，
，
答：的长约为． 

解析：过点作于，过点作于，根据正弦的定义求出，根据余弦的定义求出，再根据正切的定义求出，计算即可．
本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

23.【答案】解：设与之间的函数关系式为，
把，和，代入上式得，
，
解得，，
日销售量与销售单价之间的函数关系式为．
设日销售利润为元，
则

，
，，
当时，．
答：当销售单价定为元时，销售这种神舟飞船纪念章的日获利最大，最大利润为元． 

解析：设与之间的函数关系式为，用待定系数法求解即可．
根据销售利润销售量售价进价，列出关于的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润．
本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要弄懂题意，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值或最小值，也就是说二次函数的最值不一定在时取得．
 

24.【答案】解：为的切线，理由为：
证明：连接，，
为的直径，
，
，
，
点为的中点，
点为的中点，
为的中位线，
，
，
，
，
，
，
为的半径，为的外端点，
为的切线；
，
，
，，
，即，
在中，，，，
，
在中，，，
，
，
，，
∽，
，即，
，
解得：． 

解析：为的切线，理由为：连接，，由直径所对的圆周角为直角及垂直定义得到，再由，利用三线合一得到为中点，根据为中点，得到为中位线，利用中位线的性质得到，由与垂直得到与垂直，即可得证；
由，利用等边对等角得到一对角相等，再利用等角的余角相等得到，即，在中，利用三角函数定义求出的长，在中，利用锐角三角函数定义求出的长，由与平行，得到∽，由相似得比例求出的长即可．
此题考查了直线与圆的位置关系，等腰三角形的性质，圆周角定理，以及解直角三角形，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
 

25.【答案】解：
在旋转的过程中与的位置关系与中的与的位置关系一致，
理由如下：如图，延长交于，

由旋转可得：，，
，
，
又，
∽，
，
，
，
，
；
如图，过点作于点，

绕点顺时针旋转，
，，
，，
，，
，，
，
由可知：∽，
，
，，
，，
，
，，
，
，
． 

解析：，证明如下：
如图，延长交于，

，，
，，
，
，
，
；
通过证明∽，可得，由余角的性质可得结论；
由等腰直角的性质和直角三角形的性质可得，即可求解．
本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质等知识，证明三角形相似是解题的关键．
 

26.【答案】解：把，代入得：
，
解得，
；
在中，令得，
；
设直线的解析式为，将，代入得：
，
解得，
直线的解析式为；
设，则，
，
的面积等于，，
，
解得或，
或；
设，则，，
由，得直线解析式为，
，
设直线解析式为，
将代入得：
，
，
直线解析式为，
在中，令得，
，
，
，
解得或或或，
点是直线上方抛物线上的一个动点，
或，
点的坐标为或 

解析：把，代入得；求出，再用待定系数法得直线的解析式为；
设，可得，由的面积等于，有，即可解得或；
设，由，得直线解析式为，设直线解析式为，将代入得直线解析式为，，根据，有，解方程并检验即可得点的坐标为或
本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，两点间的距离公式的应用等，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．