四川省成都市第七中学（高新校区）2024届高三上学期入学考试数学（理科）试题

成都七中（高新校区）高2021级高三上期入学考试

数学（理科）

本试卷分选择题和非选择题两部分，第Ⅰ卷（选择题）1至2页，第Ⅱ卷（季选择题）3至4页，共4页．满分150分．考试用时120分钟．

注意事项：

1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填在答题卡规定的位置上．

2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．

3．答非选择题时，必须使用钢笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．

4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若集，，则（    ）

A．[0，1] B．{2，3，4} C．{1} D．{0，1}

2．复数，则（    ）

A． B．5 C． D．3

3．若平面向量满足，．则（    ）

A．4 B．3 C．2 D．1

4．若，则（    ）

A． B． C．或 D．或

5．已知，则的最小值为（    ）

A． B．6 C． D．4

6．数列的通项公式．设为前n项的和，若，则n的最小值为（    ）

A．2 B．3 C．12 D．13

7．通过斜截圆柱可得到一椭圆截面．现将圆柱的侧面从任意处展开成长方形，所得的椭圆截面的截线始终为平滑的曲线．则该截线在展开图上的方程最可能为下列哪种曲线的一部分（    ）

A． B． C． D．

8．在没有其他因素影响时，飞机的航线往往选取的是两地之间的最短距离．设地球为一半径为R的球体，一架飞机将从A地东经飞至B地东经，且A，B两地纬度相同．若飞机始终在地球球面上运动，则该飞机飞行的最短路程为（    ）

A． B． C． D．

9．某地盛行糕点有n种，该地的糕点店从中准备了m（）种糕点供顾客选购．已知某顾客喜好的糕点有k（）种，则当其随机进入一家糕点店时，会发现该店中有若干种糕点符合其喜好．记随机变量X为该顾客发现符合其喜好的糕点的种数，则（    ）

A． B． C． D．

10．若在时恒成立，则a的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

11．定义：若直线将多边形分为两部分，且使得多边形在两侧的点到直线的距离之和相等，则称为多边形的一条“等线”．已知双曲线（a，b为常数）和其左右焦点，P为C上的一动点，过P作C的切线分别交两条渐近线于点A，B，已知四边形与三角形有相同的“等线”．则对于下列四个结论：

①；

②等线必过多边形的重心；

③始终与相切；

④的斜率为定值且与a，b有关．

其中所有正确结论的编号是（    ）

A．①② B．①④ C．②③④ D．①②③

12．已知△ABC的内角A，B，C满足．设△ABC面积为S，外接圆半径为R，内切圆半径为r．记，则当时，y＝（    ）

A．5 B．6 C．7 D．8

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．的展开式中项的系数为______（用数字作答）．

14．《孙子算经》给出了“物不知数”问题，原文如下：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二．问物几何？即一个正整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，则这个正整数的最小值为______．

15．定义表示不超过x的最大整数，例如[2.1]＝2，[－1.2]＝－2．则方程的解的个数为______．

16．集合，其中为单位向量，两两之间夹角为120°．现从A中任选一个向量，选取n次，并将所选取的向量合成为一个向量，则最终得到的不同向量有______个（用含n的代数式表示）．

三．解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

已知正项等差数列满足，且．

（I）求的公差d的最小值；

（Ⅱ）当d取最小值时，若也取最小值，求前n项和．

18．（本小题满分12分）

现有如图所示的八面体，八面体的正视图和侧视图如图所示．

（I）证明：面BEC；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

19．（本小题满分12分）

已知函数有三个零点（）．

（I）求a的取值范围；

（Ⅱ）过点与分别作的切线，两切线交于M点，求M点到y轴的距离．

20．（本小题满分12分）

已知，．

（I）证明：总与和相切；

（Ⅱ）在（I）的条件下，若与在y轴右侧相切于A点，与在y轴右侧相切于B点．直线与和分别交于P，Q，M，N四点.是否存在定直线使得对任意题干所给a，b，总有为定值？若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由．

21．（本小题满分12分）

在三维空间中，立方体的坐标可用三维坐标表示，其中．而在n维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的项点坐标可表示为n维坐标，其中．现有如下定义：在n维空间中两点间的曼哈顿距离为两点与坐标差的绝对值之和，即为．回答下列问题：

（I）求出n维“立方体”的顶点数；

（Ⅱ）在n维“立方体”中任取两个不同顶点，记随机变量X为所取两点间的曼哈顿距离

①求出X的分布列与期望；

②证明：在n足够大时，随机变量X的方差小于．

（已知对于正态分布，P随X变化关系可表示为）

请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目所对应的标号涂黑．

22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

已知极坐标系中极点与直角坐标原点均为O，曲线，．

（I）求C的直角坐标方程与和C的交点到O的距离；

（Ⅱ）已知直线，，．若分别与C交于P，Q，R点，求的最小值．

23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

已知正实数a，b，c，d．

（I）证明：，并确定取等条件．

（Ⅱ）证明：，并确定取等条件．

成都七中（高新校区）高2021级高三上期入学考试

答案与解析

13．16 14．23 15．3 16．

11．解：

②：设多边形顶点坐标为，其中

设“等线”方程为，则到等线的距离为：

又因为等线将顶点分为上下两部分，则有

从而

整理得

即等线必过该多边形重心．

①：设．易知过P点切线方程为，渐近线方程为

联立两直线方程得，

故有 故

③④：下考察重心，设则重心．对于四边形，其重心H必在与重心连线上，也必在与重心连线上，则即为直线GH．

易知过P点切线方程为

且过，则直线方程

易知该方程为切线方程．

故①②③正确．

12．由正弦定理①

又由②

联立①②整理得③

由内接圆④

联立①④整理得⑤

又由下图易知⑥

由③⑤⑥有

⑦

将⑦代入y整理有

且由⑦结合已知条件有

故

因为在任意三角形中有

代入有 故y可能为6，7．

又由

故有

所以y的唯一整数解为7．

*说明：本题运用放缩夹逼的必要性思想得到答案，而在时，的具体取值范围可证明能够使得充分性成立．

15．易知当或时方程必无解．

故[x]＝1，2，3．  当[x]＝1时，解得x＝1；

当[x]＝2时，解得； 当[x]＝3时，解得x＝3；

综上，该方程解为．

共3个解．

16．解：题目可以看作在集合中选取1，2，…，n次向量，所得到的不同向量的和．

现在一六边形格点中表示所述情况如下图所示．

图中所标数字i即为选取i次向量时所新增的不同的向量．

由图易知第i次选取增加3i个向量．

则总共有个不同向量

故答案为．

17．（1）　（2）

解：（1）由正项等差数列有公差，又有

故有或，其中

当时，公差；

当时，公差，当且仅当时成立．

故．

（2）由题意知，此时．

令

令前n项和为，则

整理得，其中．

18．（1）见详解（2）

解：（1）由正视图、侧视图可知，BD，AC，EF两两垂直且交于一点O．

又知，故．

由面BEC，故有面BEC．

（2）以O为原点，为x轴正方向，为y轴正方向，为轴正方向，建立空间直角坐标系．

则C（2，0，0），D（0，3，0），E（0，0，1），F（0，0，－3）．

，，

面CDE法向量； 面DEF法向量；

故

故二面角的余弦值为．

19．（1）　　（2）0

解：（1）

知．

故只需使在各有两解即可

即且． 即．

（2）当时，．

故，．

又知当时，有 

即故．

则在处的切线方程为

代入有

在处的切线方程为

联立整理得两直线交点横坐标．

故到y轴距离为0．

20．（1）见详解（2）不存在，理由见详解

解：（1）曲线在点的切线方程为．

当时，联立得

，．

故点在上，即曲线C与相切．

而此时且．

故总与和相切．

（2）设直线．

设与交于和，

联立得

由韦达定理得，

由题意，

代入整理得

因为为定值对任意a，b均成立，故为定值与a无关，为定值与b无关．

1．当时，必有

此时．

故有

代入解得，矛盾．

2．当时，k＝1且m＝2时成立．

此时直线，由（1）知与曲线仅有1交点，矛盾．

故不存在，使为定值对任意a，b均成立．

21．（1）　（2）见详解

解：（1）对于n维坐标有两种选择（）．

故共有种选择，即个顶点

（2）①对于的随机变量，在坐标与中有k个坐标值不同，

即，剩下个坐标值满足．

此时所对应情况数为种．

即

故分布列为：

数学期望

倒序相加得

即．

②当n足够大时，．

设正态分布，正态分布曲线为，

由定义知该正态分布期望为，方差为．

设题中分布列所形成的曲线为．

则当与均在处取最大值，若当时，

且，则可认为方差．

I．：当时，有

即．

II． 

当n足够大时，有

当时，

当时，

故．

综上所述，可以认为．

22．（1）；（2）

解：（1）当时，

即曲线C的直角坐标方程为

（2）

令整理得

令 

故在，，．

最小即最大即时取得 此时．

23．（1）见详解（2）见详解

解：（1）设向量，向量．

则有

即为．

当且仅当与同向共线时取等即时取等．

（其他证明方法合理得分）

（2）欲证

即证

即为．

由（1）得证，取等条件同（1）．

（其他证明方法合理得分）