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2024年新高考数学第一轮复习课件：备选微专题 极值点偏移问题
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这是一份2024年新高考数学第一轮复习课件：备选微专题 极值点偏移问题，共12页。
例1 设函数f(x)＝2lnx－x2＋1，若在f(x)的定义域内存在两实数x1，x2满足x12.
又f(x1)＝f(x2)，所以f(x2)1且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，所以x2>2－x1，即x1＋x2>2.
【解答】 f′(x)＝lnx，当x>1时，f′(x)>0，当0
【解答】 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝alnx＋a＝a(lnx＋1)．
当a>0时，令f′(x)>0，得x∈(0，a)，令f′(x)<0，得x∈(a，＋∞)，故f(x)在(0，a)上单调递增，在(a，＋∞)上单调递减．综上，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；当a>0时，f(x) 在(0，a)上单调递增，在(a，＋∞)上单调递减．
已知a是实数，函数f(x)＝alnx－x.(1) 讨论f(x)的单调性；
【解答】 由(1)可知，要想f(x)有两个相异的零点x1，x2，则a>0.因为f(x1)＝f(x2)＝0，所以alnx1－x1＝0，alnx2－x2＝0，x1－x2＝a(lnx1－lnx2)．
(2) 若f(x)有两个相异的零点x1，x2且x1>x2>0，求证：x1·x2>e2.
极值点偏移问题的一般解法：1. 对称化构造法：主要用来解决与两个极值点之和(积)相关的不等式的证明问题．其解题要点如下：(1) 定函数(极值点为x0)，即利用导函数符号的变化判断函数的单调性，进而确定函数的极值点x0.
例1 设函数f(x)＝2lnx－x2＋1，若在f(x)的定义域内存在两实数x1，x2满足x1
又f(x1)＝f(x2)，所以f(x2)
【解答】 f′(x)＝lnx，当x>1时，f′(x)>0，当0
【解答】 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝alnx＋a＝a(lnx＋1)．
当a>0时，令f′(x)>0，得x∈(0，a)，令f′(x)<0，得x∈(a，＋∞)，故f(x)在(0，a)上单调递增，在(a，＋∞)上单调递减．综上，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；当a>0时，f(x) 在(0，a)上单调递增，在(a，＋∞)上单调递减．
已知a是实数，函数f(x)＝alnx－x.(1) 讨论f(x)的单调性；
【解答】 由(1)可知，要想f(x)有两个相异的零点x1，x2，则a>0.因为f(x1)＝f(x2)＝0，所以alnx1－x1＝0，alnx2－x2＝0，x1－x2＝a(lnx1－lnx2)．
(2) 若f(x)有两个相异的零点x1，x2且x1>x2>0，求证：x1·x2>e2.
极值点偏移问题的一般解法：1. 对称化构造法：主要用来解决与两个极值点之和(积)相关的不等式的证明问题．其解题要点如下：(1) 定函数(极值点为x0)，即利用导函数符号的变化判断函数的单调性，进而确定函数的极值点x0.
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