2023年陕西省宝鸡市金台区中考数学二检试卷（含解析）

2023年陕西省宝鸡市金台区中考数学二检试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的倒数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  第届亚足联亚洲杯足球赛将于年在中国举办．以下是四届亚洲杯会徽的图案部分，其中是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  若，则补角的大小是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  如图，在中，，，延长到点，使得，若点是的中点，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  已知，是直线上的点，则，的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，是的直径，点、在上，连接、、，若，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

8.  已知二次函数是常数，的与的部分对应值如下表：

下列各选项中，错误的是(    )

A. 这个函数的图象开口向上
B. 当时，
C. 这个函数的最小值为
D. 当时，的值随值的增大而减小

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

9.  请写一个小于零的无理数______ 写出一个即可．

10.  如图，在数轴上，点表示的数是，将点沿数轴向左移动个单位长度得到点，则点表示的数是______ ．

11.  德国著名数学家高斯在大学二年级时得出了正十七边形的尺规作图法，并给出了可用尺规作图的正多边形的条件如图是高斯正十七边形作法的一部分：“如图，已知是的直径，分别以，为圆心、长为半径作弧，两弧交于点，两点”若的长为，则图中的长为______ 结果保留

12.  在平面直角坐标系中，点，在反比例函数为常数，的图象上，且，则的取值范围是______ ．

13.  如图，在菱形中，对角线、相交于点，点、分别是、上的两个动点，且，是的中点，连接、、，若，，则的最小值为______ ．

三、解答题（本大题共13小题，共81.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

14.  本小题分
计算：

15.  本小题分
解不等式，并求出它的正整数解．

16.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

17.  本小题分
如图，已知，请用尺规作图法在边上求作一点，使得不写作法，保留作图痕迹

18.  本小题分
如图，在▱中，点、分别在、的延长线上，连接，分别交、于、．
请添加一个条件：______ ，使得≌；只需添加一个条件
写出证明过程．

19.  本小题分
观察下列关于自然数的等式：





根据上述规律解决下列问题：
写出第五个等式：______ ；
猜想第个等式用含的式子表示，并证明其正确性．

20.  本小题分
棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益智游戏，喜欢思考的小敏设计了如图所示的的小方格棋盘，在棋盘方格内随机放入棋子，且每一个方格内最多放入一枚棋子，棋盘内现已有四枚棋子，在剩余的、、、、方格内继续随机放入棋子，如果有三枚棋子在同一条直线上，我们称之为“三连珠”．

若小敏随机放入枚棋子，出现“三连珠”的概率是______ ；
若小敏随机放入枚棋子，请用画树状图或列表法求放入的两枚棋子恰好与右下角的棋子均相邻的概率．

21.  本小题分
小红和小华决定利用所学数学知识测量出一棵大树的高度如图，小红在点处，测得大树顶端的仰角的度数；小华竖立一根标杆并沿方向平移标杆，当恰好平移到点时，发现从标杆顶端处到点的视线与标杆所夹的角与相等，此时地面上的点与标杆顶端、大树顶端在一条直线上，测得米，标杆米，米，已知、、、在一条直线上，，，请你根据测量结果求出这棵大树的高度．

22.  本小题分
近日，“盛唐密盒”爆火出圈，一举将西安再次推入文旅热门打卡城市，也带火了汉服体验，有数据显示，月以来，西安汉服体验订单量排全国第一，比去年同期增长了倍某旅行团计划租用若干件汉服供游客体验，已知甲、乙两个汉服体验店租用单价分别是元件、元件，五一期间为吸引更多的顾客，甲、乙两店各自推出了不同的优惠方案，具体如下：
甲汉服体验店：按原价的八折进行优惠；
乙汉服体验店：若租用不超过件时，按原价收取租金；若租用件以上，超出件的部分可按得以原价的五折进行优惠；
设该旅行团需要租用件汉服，选择甲店总租金为元，选择乙店总租金为元
请分别求出，关于的函数关系式；
若该旅行团租用件汉服，选择哪家汉服体验店总租金更便宜？

23.  本小题分
为更加全面深入学习年“两会”精神及“两会”内容要点，某校开展年“两会”精神解读专题培训，并组织学生进行党史学习学习结束后，随机抽取部分学生进行党史知识竞赛，并将竞赛成绩满分分进行整理成绩得分用表示，其中记为“较差”，记为“一般”，记为“良好”，记为“优秀”，绘制了不完整的扇形统计图和频数分布后，直方图．

请根据统计图提供的信息，回答如下问题：
将直方图补充完整；
已知这组的具体成绩单位：分为，，，，，，，，则这个数据的中位数是______ 分，众数是______ 分，并求这组的平均成绩；
若该校共有人，估计该校学生对党史知识掌握程度达到优秀的人数．

24.  本小题分
如图，内接于，是的直径，过点作的切线，连接，过点作，垂足为，交于点．
求证：；
若点到的距离为，，求直径的长．

25.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与轴相交于点、，与轴相交于点．
求抛物线的函数表达式；
将抛物线向右平移个单位长度得到新的抛物线，点为坐标平面内一点，试判断在抛物线的对称轴上是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是以为边的菱形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

26.  本小题分
初步探究
如图，点、分别在正方形的边、上，将、分别沿、折叠后，、重合于，则 ______ ；
深入探究
如图，在等腰直角中，，点在右侧，且于点，交于点，将沿折叠得到，连接求证：是等腰直角三角形；
问题解决
如图，现有一块四边形铁皮，，，工人师傅想用这块铁皮裁出一个直角三角形部件，要求点在边上，，且工人师傅在这块铁皮上的操作如下：
分别在边、上各取一点、，将、分别沿、折叠后，使得、重合于；
再将四边形展开铺平，连接，分别交折痕，于点，，连接，得到请问，若按上述操作，裁得的部件是否符合要求？请证明你的结论．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
的倒数是．
故选：．
根据倒数的定义，直接得出结果．
主要考查倒数的定义，要求熟练掌握．需要注意的是倒数的性质：负数的倒数还是负数，正数的倒数是正数，没有倒数．倒数的定义：若两个数的乘积是，我们就称这两个数互为倒数．
 

2.【答案】 

【解析】解：选项A、、都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
的补角为．
故选：．
两个角的和为，则这两个角互为补角，根据补角的含义可得答案．
本题考查了互补的两个角之间的关系，掌握两角互补的含义是解本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：．
利用单项式乘单项式的法则，平方差公式的法则，完全平方公式，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

5.【答案】 

【解析】解：点是的中点，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
故选：．
根据点是的中点，求得，得到，推出∽，根据相似三角形的性质即可得到结论．
本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质多了是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
随的增大而增大，
又，是直线上的点，且，
．
故选：．
由，利用一次函数的性质可得出随的增大而增大，结合，即可得出．
本题考查了一次函数的性质，牢记“，随的增大而增大；，随的增大而减小”是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：连接，
为直径，
，
，
，
四边形为的内接四边形，
．
故选：．

由直径得出，再求出的度数，再根据内接四边形对角互补求出答案即可．
本题考查了圆周角定理的应用，圆内接四边形的性质是解题关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：将，，代入得：
，
解得，
，
抛物线开口向上，选项A正确，
将代入得，
B正确．
抛物线经过，，
抛物线对称轴为直线，
将代入得，
函数最小值为，选项C错误，
抛物线对称轴为直线，
时，随增大而减小，选项D正确．
故选：．
通过待定系数法求出函数解析式，从而可得抛物线开口方向及对称轴，进而求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
 

9.【答案】 

【解析】解：小于零的无理数可以为：等，
故答案为：答案不唯一．
利用无理数的定义直接得出答案．
此题主要考查了估算无理数的大小，正确把握无理数的定义是解题关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：由题意得，，
故答案为：．
由题意可列算式，再计算求解．
此题考查了运用数轴上的点表示有理数的能力，关键是能准确理解并运用该知识进行列式、计算．
 

11.【答案】 

【解析】解：连接、、、，如图，
由作法得，
和都是等边三角形，
，
图中弧的长
故答案为：
利用作法得到，则和都是等边三角形，所以，然后根据弧长公式计算图中弧的长．
本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了弧长公式．
 

12.【答案】 

【解析】解：点，在反比例函数为常数，的图象上，且，
点在第二象限，点在第四象限，
反比例函数为常数，的图象在二、四象限，
，
故答案为：．
根据点的坐标特征得出反比例函数为常数，的图象在二、四象限，根据反比例函数的性质得出．
此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特征，熟知反比例函数的性质是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：以点为圆心，以为半径作圆弧，在上取，连接、，
在菱形中，，，
，，，
，是的中点，
，
点在以点为圆心，以为半径的圆弧上，
，，
，
又，
∽，
，
，
，
在中，，
只有当、、三点共线时，，
即的值最小，
的最小值为，
在中，，，
，
的最小值为．
故答案为：．
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得，点在以点为圆心，以为半径的圆弧上，在上取，连接、，由，，得，又因为，可推出∽，根据相似三角形的性质，得，进而得，，在中，根据三角形任意两边之和大于第三边，得，只有当、、三点共线时，，此时的值最小，即的最小值为，在中，根据勾股定理求，即可求解．
本题考查了胡不归模型，菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，将转化为是解题的关键．
 

14.【答案】解：原式
． 

【解析】根据负整数指数幂，零指数幂，绝对值性质进行计算即可．
本题考查实数的运算，实数的相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
 

15.【答案】解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项合并同类项得：，
系数化为得：，
不等式的正整数解是，，． 

【解析】首先解不等式，然后确定不等式的解集中的正整数值即可．
本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键，解不等式的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为，解不等式应根据不等式的基本性质．
 

16.【答案】解：原式

，
当时，原式． 

【解析】先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行计算，最后代入求出即可．
本题考查了分式的化简与求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
 

17.【答案】解：作的垂直平分线交于，连接，如图：

则即为所求；
理由：
是的垂直平分线，
，
，
，
． 

【解析】作的垂直平分线交于即可．
本题考查作图复杂作图，解题的关键是掌握线段垂直平分线的尺规作图方法．
 

18.【答案】答案不唯一 

【解析】解：添加条件：，
故答案为：答案不唯一；
证明：四边形是平行四边形，
，，
，，
在与中，
，
≌．
根据题意添加条件即可；
根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
 

19.【答案】 

【解析】解：由题知，
第五个等式为：．
故答案为：．
根据题意得，
猜想第个等式为：．
证明：左边右边．
所以此等式成立．
根据题目中前三个等式的规律特征，可写出第五个等式．
根据题目所给等式的规律，左边为两个相间的整数的积与的好，右边是一个完全平方数，可得出第个等式，再对所得等式进行化简，可证明其正确性．
观察并发现本题实数计算中存在的规律是解题的关键．
 

20.【答案】 

【解析】解：棋盘内已有四枚棋子，在剩余的个方格内随机放入一枚棋子，能出现“三连珠”的位置是、、三个位置，
出现“三连珠”的概率是，
故答案为：；
根据题意画树状图如下：

共有个等可能的结果，两枚棋子恰好与右下角的棋子均相邻的有种，
两枚棋子恰好与右下角的棋子均相邻的概率为．
直接由概率公式求解即可；
画树状图，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

21.【答案】解：由题意得：，，
，
，
∽，
，
，
，
∽，
，
，
，
解得：，
这棵大树的高度为米． 

【解析】根据题意得：，，从而可得，进而可得∽，然后利用相似三角形的性质可得，再证明字模型相似三角形∽，最后利用相似三角形的性质进行计算，即可解答．
本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 

22.【答案】解：根据题意得：；
．
关于的函数解析式为；关于的函数解析式为；
当时，即，解得；
当时，即，解得；
当时，即，解得．
综上，该旅行团租用件汉服选择甲、乙店费用一样． 

【解析】根据甲、乙两店的租用方式即可用式表示和的函数解析式；
根据的结论分别讨论当，，和时，三种情况就可以求出结论．
本题考查了一次函数的运用，方案设计的运用，解答时求出一次函数的解析式是关键，分类讨论是难点．
 

23.【答案】   

【解析】解：被调查的总人数为人，
则一般对应的人数为人，
补全图形如下：
；
中位数为，众数为，
，
故答案为：、；
人，
答：估计该校学生对党史掌握程度达到优秀的人数为人．
先求出被调查的总人数，继而可求得一般的人数，即可补全图形；
将数据重新排列，再根据中位数和众数，平均数的概念求解即可；
用总人数乘以样本中优秀人数所占百分比即可；
本题考查频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

24.【答案】证明：为的切线，
，
，
，
，
，，
；
解：过点作于点，如图，则，
，
，
在中，，
即，
解得，
，
． 

【解析】先根据切线的性质得到，然后根据等角的余角相等得到结论；
过点作于点，如图，则，利用得到，在中利用正切的定义可求出，然后利用勾股定理可求出，从而得到的长．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了解直角三角形．
 

25.【答案】解：抛物线：与轴相交于点、，
，
解得，
抛物线的函数表达式为；
存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是以为边的菱形，理由如下：
，将抛物线向右平移个单位长度得到新的抛物线，
抛物线的解析式为，
即抛物线的解析式为，对称轴为直线，
抛物线：与轴相交于点，
，
，
设，，
当为菱形的对角线时，，
，
解得或，
或；
当为菱形的对角线时，，
，
解得或，
或；
综上所述：点坐标为或或或 

【解析】用待定系数法求函数的解析式即可；
设，，根据题意分两种情况讨论：当为菱形的对角线时，，或；当为菱形的对角线时，，或
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，菱形的性质，分类讨论是解题的关键．
 

26.【答案】 

【解析】解：将、分别沿、折叠，
，，
，
，
，
故答案为：；
证明：，，
，
，
，
点，点，点，点四点共圆，
，
，
将沿折叠得到，
，，
，
是等腰直角三角形；
解：部件符合要求，理由如下：

，
，
，
，
，
，
，
由折叠的性质可得，，
，
，
点，点，点，点四点共圆，
，
，
部件符合要求．
由折叠的性质可得，，即可求解；
通过证明点，点，点，点四点共圆，可得，由折叠的性质可得，，即可求解；
由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，由折叠的性质可得，，可求，通过证明点，点，点，点四点共圆，可得．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，折叠的性质，圆的有关知识，等腰直角三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．