2023年北京市海淀区师达中学中考数学四模试卷（含解析）

这是一份2023年北京市海淀区师达中学中考数学四模试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年北京市海淀区师达中学中考数学四模试卷
一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如图是某几何体的三视图，该几何体是(    )
A. 长方体
B. 三棱柱
C. 圆锥
D. 圆柱


2. 2021年2月，中共中央、国务院发布关于全面推进乡村振兴加快农业农村现代化的意见，明确指出加大涉农职业院校、涉农专业建设力度.截止到2021年6月，中国已建成世界上规模最大的职业教育体系，有1.13万所职业学校，3088万在校生.将30880000用科学记数法表示应为(    )
A. 0.3088×108 B. 3.088×108 C. 3.088×107 D. 30.88×106
3. 将一副三角尺(厚度不计)如图摆放，使有刻度的两条边互相平行，则图中∠1的大小为(    )


A. 100° B. 105° C. 115° D. 120°
4. 实数m，n在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是(    )

A. |m|<|n| B. m+n>0 C. m−n<0 D. mn>0
5. 不透明的袋子中装有3个红球、2个白球，除颜色外小球无其他差别.从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么两次都摸到红球的概率是(    )
A. 35 B. 325 C. 310 D. 925
6. 如图图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有(    )


A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
7. 关于x的一元二次方程x2−2x+a=0有两个相等的实数根，则a的值是(    )
A. 4 B. −4 C. 1 D. −1
8. 下面的三个问题中都有两个变量：
①矩形的面积一定，一边长y与它的邻边x；
②某村的耕地面积一定，该村人均耕地面积S与全村总人口n；
③汽车的行驶速度一定，行驶路程s与行驶时间t．
其中，两个变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是(    )


A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）
9. 若 x−3在实数范围内有意义，则实数x的取值范围为______．
10. 分解因式：3a2−6a+3=          ．
11. 方程32x+1=1x−1的解为______ ．
12. 在平面直角坐标系xOy中，直线y=mx与双曲线y=nx交于A，B两点.若点A，B的纵坐标分别为y1，y2，则y1+y2的值为______ ．
13. 如图，在矩形ABCD中，若AB=3，AC=5，AFFC=14，则AE的长为______．


14. 某班级准备定做一批底色相同的T恤衫，征求了全班40名同学的意向，每个人都选择了一种底色，得到如下数据：
底色
灰色
黑色
白色
紫色
红色
粉色
频数
3
6
18
4
7
2
为了满足大多数人的需求，此次定做的T恤衫的底色为______ ．
15. 如图，AB是⊙O内接正五边形的一条边，点P在优弧AB上，则∠APB的度数为______ °.


16. 某工厂用甲、乙两种原料制作A，B，C三种型号的工艺品，三种型号工艺品的重量及所含甲、乙两种原料的重量如下：
工艺品型号
含甲种原料的重量/kg
含乙种原料的重量/kg
工艺品的重量/kg
A
3
4
7
B
3
2
5
C
2
3
5
现要用甲、乙两种原料共31kg，制作5个工艺品，且每种型号至少制作1个．
(1)若31kg原料恰好全部用完，则制作A型工艺品的个数为______ ；
(2)若使用甲种原料不超过13kg，同时使用乙种原料最多，则制作方案中A，B，C三种型号工艺品的个数依次为______ ．
三、解答题（本大题共12小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题5.0分)
计算：4cos30°+ 27−|−2|+(13)−1．
18. (本小题5.0分)
解不等式组：x+1>4x+75x−43≤x．
19. (本小题5.0分)
已知3x2+4x−1=0，求代数式(2x+1)2−(x+1)(x−1)的值．
20. (本小题5.0分)
如表是小芸同学证明定理时使用的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
已知：如图1，在△ABC中，∠ABC=90°，点O是AC边的中点．
求证：OB=12AC．

方法一：(如图2)
证明：延长BO至D，使OD=OB，
连接AD，CD．

方法二(如图3)：
证明：过点O作OD⊥BC于点D．



21. (本小题5.0分)
如图，四边形ABCD是平行四边形，点E，F分别是BC，AD上的点，且BE=DF．
(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
(2)连接AC，若AC平分∠ECF，求证：四边形AECF是菱形．

22. (本小题5.0分)
在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由函数y=x的图象平移得到，且经过点(1,2)．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)当x<1时，对于x的每一个值，函数y=mx(m≠0)的值小于一次函数y=kx+b的值，直接写出m的取值范围．
23. (本小题6.0分)
如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，分别过A，C两点作⊙O的切线，交点为点P，连接OP，交AC于点D．
(1)求证：∠PCA=∠ABC；
(2)若BC=3，tan∠APO=34，求PA的长．

24. (本小题6.0分)
2022年10月12日，“天宫课堂”第三课在中国空间站的问天实验舱开讲，“太空教师”陈冬、刘洋、蔡旭哲为广大青少年带来一场精彩的太空科普课.为了激发学生的航天兴趣，弘扬科学精神，某校甲、乙两个校区的八年级所有学生(两个校区八年级各有200名学生)参加了“格物致知叩问苍穹”为主题的太空科普知识竞赛.为了解八年级学生的太空科普知识掌握情况，从每个校区八年级的科技小组中分别随机抽取了20名学生的竞赛成绩，并整理成部分信息如下：
a.乙校区学生成绩的频数分布直方图如图(数据分为5组：65≤x<80；80≤x<85；85≤x<90；90≤x<95；95≤x<100)：
b.乙校区的学生成绩数据在90≤x<95这一组的是：
91
91
92
94
c.两个校区学生成绩的平均数、中位数、方差如下表所示：
校区
平均数
中位数
方差
甲校区
89.3
88.5
42.6
乙校区
89.3
m
87.2
根据上述信息，解答问题：
(1)m= ______ ；
(2)对于抽取的八年级学生竞赛成绩，高于本校区平均分的人数更多的是______ 校区，成绩更整齐的是______ 校区(填“甲”或“乙”)；
(3)抽样调查中，两个校区共有30%的学生竞赛成绩不低于95分.该校计划从两个校区选派成绩不低于95分的学生参加全区的竞赛，估计参赛的八年级学生中，甲校区有______ 人被选中．

25. (本小题6.0分)
某公园修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安装一个可调节角度的喷水头，从喷水头喷出的水柱形状是一条抛物线.建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线形水柱的竖直高度y(单位：m)与到池中心的水平距离x(单位：m)满足的关系式近似为y=a(x−h)2+k(a<0)．
(1)在某次安装调试过程中，测得x与y的部分对应值如下表：
水平距离x/m
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
竖直高度y/m
2.25
2.8125
3
2.8125
2.25
1.3125
0
根据表格中的数据，解答下列问题：
①水管的长度是______ m；
②求出y与x满足的函数解析式y=a(x−h)2+k(a<0)；
(2)安装工人在上述基础上进行了下面两种调试：
①不改变喷水头的角度，将水管长度增加1m，水柱落地时与池中心的距离为d1；
②不改变水管的长度，调节喷水头的角度，使得水柱满足y=−0.6(x−1.5)2+3.6，水柱落地时与池中心的距离为d2．
则比较d1与d2的大小关系是：d1 ______ d2(填“>”或“=”或“<”)

26. (本小题6.0分)
在平面直角坐标系xOy中，点(x0,m)，(a+1,n)在抛物线y=ax2−2a2x上，且x0≠a+1．
(1)当x0=2，m=n时，求a的值；
(2)若3 27. (本小题7.0分)
如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是BC边上一个动点(不与B，C重合)，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到线段AE，连接CE．

(1)求∠ACE的度数；
(2)过点D作DG⊥BC，交BA于点F，交CA的延长线于点G，连接EF，交AC于点H；
①依据题意，补全图形；
②用等式表示线段AG，AH的数量关系，并证明．
28. (本小题7.0分)
在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，M为⊙O上一点，点N(0,−2)．
对于点P给出如下定义：将点P绕点M顺时针旋转90°，得到点P′，点P′关于点N的对称点为Q，称点Q为点P关于点M，N的“中旋点”．

(1)如图1，已知点P(4,0)，点Q为点P关于点M，N的“中旋点”．
①若点M(0,1)，在图中画出点Q，并直接写出OQ的长度为______ ；
②当点M在⊙O上运动时，直线y=x+b上存在点P关于点M，N的“中旋点”Q，求b的取值范围；
(2)点P(t,0)，当点M在⊙O上运动时，若⊙O上存在点P关于点M，N的“中旋点”Q，直接写出t的取值范围．
答案和解析

1.【答案】A 
【解析】解：该几何体的主视图为矩形，左视图为矩形，俯视图是一个矩形，且三个矩形大小不一，
故该几何体是长方体．
故选：A．
该几何体的主视图与左视图、俯视图均为矩形，易得出该几何体的形状．
本题主要考查的是由三视图判断几何体，涉及三视图的相关知识，解题时要有丰富的空间想象力．

2.【答案】C 
【解析】解：3088万=30880000=3.088×107．
故选：C．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

3.【答案】B 
【解析】解：如图，

∵AB//DE，
∴∠ABC=∠BED=30°，
又∵∠DEF=45°，
∴∠BEF=75°，
∴∠1=180°−∠BEF=105°，
故选：B．
根据平行线的性质可得∠ABC=∠BED=30°，再根据三角尺各角的度数以及邻补角的定义即可得∠1的度数．
此题主要考查了平行线的性质以及邻补角的定义，关键是掌握两直线平行，内错角相等．

4.【答案】B 
【解析】解：
A.由图可知，−2 B.由图可知，−20，那么B正确．
D.由图可知，−20，那么C错误．
D.由图可知，−2 故选：B．
根据数轴上的点表示的数的大小关系、实数的乘法法则、绝对值的定义、不等式的性质解决此题．
本题主要考查数轴上的点表示的数、实数的乘法、绝对值、不等式的性质，熟练掌握数轴上的点表示的数的大小关系、实数的乘法法则、绝对值的定义、不等式的性质是解决本题的关键．

5.【答案】D 
【解析】解：画树状图如下：

共有25种等可能的结果，其中两次都摸到红球的结果有9种，
∴两次都摸到红球的概率是925，
故选：D．
画树状图，共有25种等可能的结果，其中两次都摸到红球的结果有9种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

6.【答案】B 
【解析】解：左起第二、第四两个图形既是轴对称图形又是中心对称图形；
第一和第三两个图形是轴对称图形，但不是中心对称图形．
所以既是轴对称图形，又是中心对称图形的有2个．
故选：B．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项判断即可求解．
本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键．

7.【答案】C 
【解析】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根，
∴Δ=b2−4ac=0，
即(−2)2−4×1×a=0，
解得，a=1；
故选：C．
由一元二次方程根的判别式，解出即可．
本题主要考查了一元二次方程根的判别式，①当Δ>0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当Δ=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当Δ<0时，方程无实数根．

8.【答案】A 
【解析】解：①矩形的面积一定，边长y与它的邻边x符合反比例函数关系；
②某村的耕地面积一定，该村人均耕地面积S与全村总人口n符合反比例函数关系；
③汽车的行驶速度一定，行驶路程s与行驶时间t不符合反比例函数关系．
所以两个变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是①②．
故选：A．
根据图象可以判断函数为反比例函数，找出是反比例函数关系的选项即可．
本题考查了函数的图象，解题的关键是熟练掌握反比例函数的图象性质．

9.【答案】x≥3 
【解析】解：∵x−3≥0，
∴x≥3．
故答案为：x≥3．
根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．
本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．

10.【答案】3(a−1)2 
【解析】解：原式=3(a2−2a+1)=3(a−1)2．
故答案为：3(a−1)2．
首先提取公因式3，进而利用完全平方公式分解因式得出答案．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键．

11.【答案】x=4 
【解析】解：去分母得3(x−1)=2x+1，
去括号得：3x−3=2x+1，
解得：x=4，
检验：当x=4时，(x+1)(x−1)≠0，
则原方程的解为x=4．
故答案为：x=4．
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．

12.【答案】0 
【解析】解：∵直线y=mx与双曲线y=nx交于A，B两点，
∴点A，点B关于原点对称，
∴y1+y2=0，
故答案为：0．
直线y=mx与双曲线y=nx交于A，B两点，则点A，B关于原点对称，计算y1+y2的值即可．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握函数图象上点的坐标满足图象的解析式是本题的关键．

13.【答案】1 
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AD//BC，
∵AB=3，AC=5，
∴BC= AC2−AB2= 52−32=4，
∵AD//BC，AFFC=14，
∴AEBC=AFFC=14，
∴AE4=14，
∴AE=1，
故答案为：1．
由矩形的性质得出∠ABC=90°，AD//BC，利用勾股定理求出BC=4，利用相似三角形的性质，即可求出AE的长．
本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．

14.【答案】白色 
【解析】解：在六种底色的T恤衫中，白色出现的频数最多，
所以为了满足大多数人的需求，此次定做的T恤衫的底色为白色．
故答案为：白色．
根据题意找出频数增大的T恤衫的底色即可．
本题考查了频数分布表，掌握频数的意义是解答本题的关键．

15.【答案】36 
【解析】解：如图，连接OA、OB，
∵AB是⊙O内接正五边形的一条边，
∴∠AOB=360°5=72°，
∴∠APB=12∠AOB=36°，
故答案为：36．
根据正多边形和圆的性质可求出圆内接正五边形的中心角∠AOB的度数，再根据圆周角定理进行计算即可．
本题考查正多边形和圆，圆周角定理，掌握圆内接正五边形的性质以及圆周角定理是正确解答的前提．

16.【答案】3个  2，1，2 
【解析】解：(1)设制作A型工艺品x个，B型工艺品和C型工艺品共y个，
根据题意得：x+y=57x+5y=31，
解得：x=3y=2，
∴制作A型工艺品的个数为3个．
故答案为：3个；
(2)设制作C型工艺品c个，则制作A型工艺品和B型工艺品共(5−c)个，
根据题意得：3(5−c)+2c≤13，
解得：c≥2，
∵每种型号至少制作1个，
∴c可以为2，3．
若c=2，当制作A型工艺品2个，B型工艺品1个时，使用乙种原料4×2+2×1+3×2=16(kg)；
当制作A型工艺品1个，B型工艺品2个时，使用乙种原料4×1+2×2+3×2=14(kg)；
若c=3，当制作A型工艺品1个，B型工艺品1个时，使用乙种原料4×1+2×1+3×3=15(kg)．
∵16>15>14，
∴制作方案中A，B，C三种型号工艺品的个数依次为2，1，2．
故答案为：2，1，2．
(1)设制作A型工艺品x个，B型工艺品和C型工艺品共y个，根据“用甲、乙两种原料共31kg，制作5个工艺品”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设制作C型工艺品c个，则制作A型工艺品和B型工艺品共(5−c)个，根据使用甲种原料不超过13kg，可得出关于c的一元一次不等式，解之可得出c的取值范围，结合每种型号至少制作1个，可得出c可以为2，3，分c为2和c为3两种情况，找出各制作方案使用乙种原料的重量，比较后即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．

17.【答案】解：4cos30°+ 27−|−2|+(13)−1
=4× 32+3 3−2+3
=2 3+3 3−2+3
=5 3+1． 
【解析】先计算负整数零次幂、绝对值、三角函数及二次根式，再进行加减运算．
本题考查了实数的运算，掌握负整数零次幂、绝对值、三角函数及二次根式是解题的关键．

18.【答案】解：由x+1>4x+7得：x<−2，
由5x−43≤x得：x≤2，
则不等式组的解集为x<−2． 
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

19.【答案】解：(2x+1)2−(x+1)(x−1)
=4x2+4x+1−(x2−1)
=4x2+4x+1−x2+1
=3x2+4x+2，
∵3x2+4x−1=0，
∴3x2+4x=1，
当3x2+4x=1时，原式=1+2=3，
∴(2x+1)2−(x+1)(x−1)的值为3． 
【解析】利用完全平方公式，平方差公式进行计算，然后把a2+2ab=5代入化简后的式子进行计算，即可解答．
本题考查了整式的混合运算−化简求值，平方差公式，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．

20.【答案】解：方法一：延长BO至D，使OD=OB，
连接AD，CD，
∵点O是AC边的中点，
∴AO=CO，
∵BO=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，
∴BO=12BD=12AC；
方法二：过点O作OD⊥BC于点，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABC=∠ODC=90°，
∴OD//AB，
∵点O是AC边的中点，
∴AO=CO，
∴BD=CD，
∴BO=OC=12AC． 
【解析】方法一：延长BO至D，使OD=OB，连接AD，CD，根据线段中点的定义得到AO=CO，根据平行四边形的判定定理得到四边形ABCD是平行四边形，根据矩形的性质得到AC=BD，于是得到BO=12BD=12AC；方法二：过点O作OD⊥BC于点，根据平行线的性质得到OD//AB，根据线段中点的定义得到AO=CO，根据线段垂直平分线的性质得到BD=CD，于是得到BO=OC=12AC．
本题考查了直角三角形斜边上的中线，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键．

21.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∵BE=DF，
∴AF=EC，
∴四边形AECF是平行四边形；
(2)∵四边形AECF是平行四边形，
∴AF//CE，
∴∠FAC=∠ACE，
∵AC平分∠ECF，
∴∠EAC=∠FAC，
∴∠EAC=∠ACE，
∴AE=CE，
∴四边形AECF是菱形． 
【解析】(1)首先根据平行四边形的性质可得AD//BC，AD=BC，再证明AF=EC，可证明四边形AECF是平行四边形；
(2)根据平行四边形的性质得到AF//CE，根据平行线的性质得到∠FAC=∠ACE，根据角平分线的定义得到∠EAC=∠FAC，根据等腰三角形的判定定理得到AE=CE，根据菱形的判定定理得到四边形AECF是菱形．
本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定，角平分线的定义，熟练掌握平行四边形的判定和性质多了是解题的关键．

22.【答案】解：(1)∵一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由直线y=x平移得到，
∴k=1，
将点(1,2)代入y=x+b，
得1+b=2，解得b=1，
∴一次函数的解析式为y=x+1；
(2)把点(1,2)代入y=mx，求得m=2，
∵当x<1时，对于x的每一个值，函数y=mx(m≠0)的值小于一次函数y=x+1的值，
∴m≤2． 
【解析】(1)先根据直线平移时k的值不变得出k=1，再将点A(1,2)代入y=x+b，求出b的值，即可得到一次函数的解析式；
(2)根据点(1,2)结合图象即可求得．
本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键．

23.【答案】(1)证明：∵AB是直径．
∴∠ACB=90°．
∴∠CAB+∠ABC=90°．
∵AP，PC是⊙O的切线，
∴PA=PC．
∴∠PAC=∠PCA．
∴∠PCA=∠ABC．
(2)解：∵AP，PC是⊙O的切线，
∴PA=PC.∠APO=∠CPO，
∴OD⊥AC.AD=CD，
∴∠ADO=90°．
∴∠ADO=∠ACB．
∴OD//BC，
∵D是AC中点，O是AB的中点．
∴OD=12BC，
∵BC=3．
∴OD=32．
根据(1)可证∠APO=∠DAO．
∵tan∠APO=34．
∴tan∠DAO=34，即：ODAD=34．
∴AD=2．
∴AO= AD2+DO2=52．
∵∠APO=∠DAO.∠PAO=∠ADO．
∴△PAO∽△ADO．
∴PAAD=AODO，即：PA2=5232．
∴PA=103． 
【解析】(1)利用PA是切线，AB是直径，可推导∠PAC=∠PCA，再利用垂径定理，可得PA=PC.即可求证∠PCA=∠ABC．
(2)先证明OD是△ABC的中位线以及∠APO=∠DAO.根据BC=43，tan∠APO=34，即可计算出AD、OD、AO的长度，利用△PAO∽△ADO即可求出PA．
本题考查了垂径定理，三角形相似判定和性质、切线的性质，中位线的判定和性质、平行线的判定和性质等知识，比较综合．关键在于利用垂径定理得到OP是AC的垂直平分线、利用等角的三角函数值相等求出AD的长度．属于中考常考题型．

24.【答案】91  乙  甲  50 
【解析】解：(1)中位数是第10个和第11个数的平均数，m=91+912=91；
故答案为：91；
(2)∵甲校区的中位数小于平均数，乙校区的中位数大于平均数，
∴高于本校区平均分的人数更多的是乙校区，
∵甲校区的方差小于乙校区的方差，
∴成绩更整齐的是甲校区；
故答案为：乙，甲；
(3)∵两个校区竞赛成绩不低于95分共有400×30%=120(人)，乙校区成绩不低于95分的学生有200×720=70(人)，
∴甲校区成绩不低于95分的学生有120−70=50(人)，
故答案为：50．
(1)根据中位数的定义求即可；
(2)根据平均数、中位数和方差的意义分析即可；
(3)用两个校区竞赛成绩不低于95分用总人数减去乙校区成绩不低于95分的学生是人数即可．
本题考查频数(率)分布直方图、平均数、中位数、方差、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

25.【答案】2.25  < 
【解析】解：(1)①当x=0时，y=2.25，
∴水管的长度是2.25m；
故答案为：2.25；
②把x=0，y=2.25；x=1，y=3；x=3，y=0，分别代入y=a(x−h)2+k，得：
 ah2+k=2.25a(1−h)2+k=3a(3−h)2+k=0，
解得：a=−0.75h=1k=3，
∴y=−0.75(x−1)2+3；
(2)①∵不改变喷水头的角度，将水管长度增加1m，
∴y=−0.75(x−1)2+3向上平移1个单位，
∴平移后的解析式为y=−0.75(x−1)2+3+1，即y=−0.75(x−1)2+4，
当y=0时，−0.75(x−1)2+4=0，
解得x1=43 3+1，x2=−43 3+1(不合题意，舍去)，
∴d1=43 3+1≈3.31；
对于y=−0.6(x−1.5)2+3.6，
当y=0时，−0.6(x−1.5)2+3.6=0，
解得：x1= 6+1.5，x2=− 6+1.5(不合题意，舍去)，
∴d2= 6+1.5≈3.95，
∴d1 故答案为：<．
(1)①根据当x=0时，y=2.25即可求解；
②根据待定系数法求解即可；
(2)先求出调试①的抛物线解析式，然后令y=0可求出求出d1，d2，然后比较大小即可．
本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数关系式，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．

26.【答案】解：(1)∵抛物线y=ax2−2a2x，
∴抛物线的对称轴为直线x=−−2a22a=a，
∵x0=2，m=n，
∴点(2,m)，(a+1,n)关于抛物线的对称轴对称，
∴抛物线的对称轴为直线x=2+a+12=a，
∴a=3．
(2)∵抛物线y=ax2−2a2x，
∴抛物线的对称轴为直线x=−−2a22a=a，
当x=0时，y=0，
∴抛物线经过原点，
∴抛物线过点(2a,0)，
当抛物线开口向下时，则a<0，
∵3 ∴m<0，n>0，
∴a+1<0，
解得a<−1；
当抛物线开口向上时，则a>0，
∵3 ∴m>0，n<0，
∴a+1<2a2a<3，
解得1 故a的取值范围是1 【解析】(1)由解析式求得对称轴，由m=n可得点(2,m)，(a+1,n)关于抛物线的对称轴对称，即可得到2+a+12=a，解得a=3；
(2)根据抛物线的解析式可得对称轴为直线x=a，抛物线经过原点，再利用抛物线的对称性和二次函数的性质，分两种情况讨论得到关于a的不等式(组)，解得即可．
本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，掌握关于抛物线对称轴对称的两个点的坐标关系是解题关键．

27.【答案】(1)解：∵Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
由旋转可知：AD=AE，∠DAE=90°，
∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴∠ACE=∠ABD=45°；
(2)解：①补全图形如图；

②AG=AH．
理由如下：
∵∠ABC=∠ACB=45°，∠ACE=45°，
∴∠BCE=90°，
又∵DG⊥BC，
∴△BDF是等腰直角三角形，
∴BD=DF，
∴DF=CE，且DF//CE，
∴四边形CDFE是平行四边形，
又∵∠BCE=90°，
∴▱CDFE是矩形，
∴HF//CD，
∴∠GHF=∠ACB=45°，∠GFH=∠GDC=90°，
∴△GFH是等腰直角三角形，
又∵∠BAC=90°，
∴AG=AH． 
【解析】(1)根据等腰直角三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=45°，再根据旋转的性质得到AD=AE，∠DAE=90°，推出判定△BAD≌△CAE的条件，最后根据全等三角形的对应角相等即可求出结果；
(2)①根据题意补全图形即可；
②判定四边形CDFE是矩形，推出△GFH是等腰直角三角形后根据直角三角形的性质即可求解．
本题是几何变换综合题，主要考查旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质等知识点，深入理解题意是解决问题的关键．

28.【答案】 2 
【解析】解：(1)①连接MP，过点M作MP′⊥MP，使MP′=MP，
则P′(−1,−3)，
连接P′N并延长至点Q，使NQ=P′N，
则Q(1,−1)，
如图所示，点Q即为所求作的点；

OQ= 12+12= 2，
故答案为： 2；
②取点H(0,−4)，连接P′H、PH，

∵OP=OH=4，
∴△POH是等腰直角三角形，
∵∠MPO+∠OPP′=45°，∠P′PH+∠OPP′=45°，
∴∠MPO=∠P′PH，
∵PP′PM=PHPO= 2，
∴△MPO∽△P′PH，
∴P′HMO= 2，
∴P′H= 2，
∵NP′=NQ，NH=NO=2，∠P′NH=∠QNO，
∴△P′NH≌△QNO(SAS)，
∴OQ=P′H= 2，
设点Q(x,y)，则  x2+y2= 2，即x2+y2=2，
要使直线y=x+b上存在点P关于点M，N的“中旋点”Q，需方程组x2+y2=2y=x+b有解，
∴x2+(x+b)2=2，
∴2x2+2bx+b2−2=0，
∴Δ=(2b)2−4×2×(b2−2)≥0，
∴−2≤b≤2；
(2)取点H(0,−t)，作H关于N的对称点O′，

∵N(0,−2)，
∴O′(0,−4+t)，
由(1)②类似可得到OQ′=P′H= 2，
点Q在以O′为圆心，以 2为半径的圆上运动，若⊙O上存在点P关于点M，N的“中旋点”Q，⊙O与，⊙O′应有交点，则 2−1≤OO′≤ 2+1，即 2−1≤|t−4|≤ 2+1，
∴ 2−1≤t−4≤ 2+1或 2−1≤4−t|≤ 2+1，
∴3+ 2≤t≤5+ 2或3− 2≤t≤5− 2．
(1)①在图中依次画出点P′、Q，OQ的长度为 2；
②确定点Q在以O为圆心，以 2为半径的圆上运动，根据圆与直线y=x+b有交点求b的范围；
(2)确定点Q在以O′(0,−4+t)为圆心，以 2为半径的圆上运动，根据圆与⊙O有交点求t的取值范围．
本题在新定义下考查了三角形全等，直线与圆及圆与圆的位置关系，中点坐标公式等知识点，关键是确定点Q在圆上运动．