2022-2023学年江西省南昌市铁路一中高二（下）第一次月考数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份2022-2023学年江西省南昌市铁路一中高二（下）第一次月考数学试卷（3月份）（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江西省南昌市铁路一中高二（下）第一次月考数学试卷（3月份）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  数列中，，且，则这个数列的前项的和为(    )A.  B.  C.  D. 2.  已知件产品中有件次品，件正品，检验员从中随机抽取件进行检测，记取到的正品数，则数学期望为(    )A.  B.  C.  D. 3.  若，数列，，，和，，，，各自都成等差数列，则等于(    )A.  B.  C.  D. 4.  一试验田某种作物一株的生长果实个数服从正态分布，且从试验田中随机抽取株，果实个数在的株数记作随机变量，且服从二项分布，则的方差为(    )A.  B.  C.  D. 5.  已知，的线性回归直线方程为，且，之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错误的为(    ) A. 变量，之间呈现正相关关系
B. 可以预测当时，
C.
D. 由表格数据可知，该回归直线必过点6.  已知，且，，则下列说法不正确的有(    )A. ， B. ，
C.  D. 7.  某一电子集成块有三个元件，，并联构成，三个元件是否有故障相互独立已知至少个元件正常工作，该集成块就能正常运行若每个元件能正常工作的概率均为，则在该集成块能够正常工作的情况下，有且仅有一个元件出现故障的概率为(    )A.  B.  C.  D. 8.  已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则使得为正偶数时，的值可以是(    )A.  B.  C.  D. 或二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.  下列说法正确的是(    )A. ，越小，该正态分布对应的正态密度曲线越扁平
B. 运用最小二乘法得到的线性回归直线一定经过样本中心
C. 相关系数越接近，与相关的程度就越弱
D. 利用进行独立性检验时，的值越大，说明有更大的把握认为两事件有关系10.  下列说法中正确的有(    )A. 数列，，，是公差为的等差数列
B. 若为等差数列，为前项和，则，，，仍为等差数列 
C. 若为等差数列，，，则前项和有最大值
D. 等差数列的通项公式一定能写成的形式  为常数 11.  一次“智力测试”活动，在备选的道题中，甲能答对其中的题，乙能答对其中的题，测试时从备选的道题中随机抽出题由甲、乙分别作答，至少答对题者评为“智答能手”设甲评为“智答能手”为事件，乙评为“智答能手”为事件，若，则下列结论正确的是(    )A.
B.
C. 甲、乙至多有一人评为“智答能手”的概率为 
D. 甲、乙至少有一人评为“智答能手”的概率为 12.  设等差数列的前项和为，公差为已知，，，则(    )A.  B. 数列是递减数列
C. 时，的最大值为 D. 数列中最小项为第项三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.  某校名高三学生参加了一次数学考试，这次考试考生的分数服从正态分布，若分数在内的概率为，估计这次考试分数不超过分的人数为______人．14.  某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有如表的数据： 元件制造厂次品率提供元件的份额假设这三家元件制造厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志现在仓库中随机取一个元件，则它是次品的概率是______ ．15.  对任意都有数列满足：，则______．16.  已知数列的通项公式为，若满足，且，对任意恒成立，则实数的取值范围是______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.  本小题分
记为等差数列的前项和，已知，．
求的通项公式；
求，并求的最小值．18.  本小题分
某箱子中原来装有除颜色外完全相同的个小球，其中个红球，个白球从箱子中每次随机取出个球，如果取出的是红球，则不放回；如果取出的是白球，则放回，每一次操作，称为一次取球．
求取球两次后，箱子中小球的个数为的概率；
记取球两次后，箱子中小球的个数为，求的分布列和数学期望．19.  本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，，，为的中点，．
求证：四边形是直角梯形．
求直线与平面所成角的正弦值．
20.  本小题分
已知等差数列前项和为，且，．
若，求证：数列是等差数列．
求数列的前项和．21.  本小题分
在我国，大学生就业压力日益严峻，伴随着政府政策引导与社会观念的转变，大学生创业意识，就业方向也悄然发生转变．某大学生在国家提供的税收，担保贷款等很多方面的政策扶持下选择加盟某专营店自主创业，该专营店统计了近五年来创收利润数单位：万元与时间单位：年的数据，列表如下：依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合与的关系，请计算相关系数并加以说明计算结果精确到若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合
附：相关系数公式：
参考数据：，，．
该专营店为吸引顾客，特推出两种促销方案．
方案一：每满元可减元；
方案二：每满元可抽奖一次，每次中奖的概率都为，中奖就可以获得元现金奖励，假设顾客每次抽奖的结果相互独立．
某位顾客购买了元的产品、该顾客选择参加两次抽奖，求该顾客换得元现金奖励的概率．
某位顾客购买了元的产品，作为专营店老板，是希望该顾客直接选择返现元现金，还是选择参加四次抽奖？说明理由．22.  本小题分
焦点在轴上的椭圆：经过点，椭圆的离心率为，是椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意点．
求椭圆的标准方程；
若点为的中点为坐标原点，过且平行于的直线交椭圆于，两点，是否存在实数，使得；若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：因为在数列中，，且 ，即，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，
数列的前项和．
故选：．
首先判断数列为等差数列，再利用等差数列的前项和公式即可得到答案．
本题考查等差数列的定义、求和公式，考查转化思想和运算能力，属于基础题．
 2.【答案】 【解析】解：可能取，，，
其对应的概率为，
．
故选：．
服从超几何分布，求出的分布列，根据数学期望的计算方法计算即可．
本题考查了离散型随机变量的分布列与期望，属于基础题．
 3.【答案】 【解析】解：数列，，，和，，，，各自都成等差数列，
，，
，
．
故选B．
根据等差数列通项及性质即可得出．
本题考查了等差数列通项及性质，属于基础题．
 4.【答案】 【解析】【分析】本题主要考查正态分布的对称性，以及二项分布的概率公式，属于基础题．
根据已知条件，结合正态分布的对称性，以及二项分布的概率公式，即可求解．【解答】解：，且，
，
，
．
故选：．  5.【答案】 【解析】解：已知线性回归直线方程为，
，所以变量，之间呈正相关关系，A正确；
计算时，，即预测当时，B正确；
，，
代入回归直线方程得，解得，C错误；
由题意知时，，，所以回归直线方程过点，D正确．
故选：．
中，根据线性回归直线方程中回归系数，判断，之间呈正相关关系；
中，利用回归方程计算时的值即可预测结果；
中，计算、，代入回归直线方程求得的值；
中，由题意知时求出、，可得回归直线方程过点
本题考查了线性回归方程的概念与应用问题，是基础题．
 6.【答案】 【解析】解：因为，，
由时，，，所以，所以，
故选项A错误，选项B正确，
又，，，故选项C、D正确．
故选：．
根据二项分布期望和方差公式建立方程求解即可判断、，利用根据二项分布概率公式即可计算判断、．
本题主要考查二项分布的期望与方差公式，属于基础题．
 7.【答案】 【解析】解：记事件为该集成块能够正常工作，事件为仅有一个元件出现故障，则为该集成块不能正常工作，
所以，，
所以，
故选：．
记事件为该集成块能够正常工作，事件为仅有一个元件出现故障，则为该集成块不能正常工作，结合对立事件以及条件概率公式即可求解．
本题考查对立事件以及条件概率公式，属于基础题．
 8.【答案】 【解析】【分析】
本题主要考查等差数列的性质、等差中项的综合应用以及分离常数法，数的整除性是传统问题的进一步深化，对教学研究有很好的启示作用．
已知两个等差数列和的前项和分别为和，则有如下关系根据等差数列的性质、等差中项的综合应用，化简，要使得为正偶数，需为正偶数，需为正奇数，由此求得正整数的值．
【解答】
解：由等差数列的前项和公式可得


要使得为正偶数，需 为正偶数，需为正奇数，故，或，
故选D．  9.【答案】 【解析】解：对于，，越小，该正态分布对应的正态密度曲线越高瘦，故A错误；
对于，用最小二乘法得到的线性回归直线一定经过样本中心，故B正确；
对于，相关系数越接近，与相关的程度就越强，故C错误；
对于，用进行独立性检验时，的值越大，事件发生的可能性越小，则成立的可能性越大，说明有更大的把握认为两事件有关，故D正确．
故选：．
根据正态分布的性质，线性相关系数的性质以及独立性假设检验的原理，逐项判断．
本题考查了正态分布、独立性假设检验以及线性相关性系数的性质，属于基础题．
 10.【答案】 【解析】解：对于，数列，，，是公差为的等差数列，故A错误；
对于，由等差数列的前项和性质可知，为等差数列，为前项和，
则，，，仍为等差数列 ，故B正确；
对于，，
当时，前项和有最大值，故C正确；
对于，，
则等差数列的通项公式一定能写成的形式  为常数 ，故D正确．
故选：．
对于，结合等差数列的性质，即可求解；
对于，结合等差数列的前项和性质，即可求解；
对于，结合等差数列的前项和公式，即可求解；
对于，结合等差数列的通项公式，即可求解．
本题主要考查等差数列的性质，以及等差数列的公式，属于基础题．
 11.【答案】 【解析】解：，，，，，相互独立，，正确，
，，，，正确，
，甲、乙至多有一人评为“智答能手”的概率为，错误，
，甲、乙至少有一人评为“智答能手”的概率为 ，正确．
故选：．
利用相互独立事件的概率公式判断，利用对立事件的概率公式判断．
本题主要考查相互独立事件，对立事件的的概率公式，属于中档题．
 12.【答案】 【解析】【分析】本题考查等差数列前项和及函数特性，考查数学运算能力及推理能力，属于中档题．
，结合，可判断；
结合的分析可知当时，当时，可判断；
，结合可判断；
由前面分析可知，时，时，，
时，时，，由此分析变化情况，
以确定是否最小．【解答】解：，，又，对；
由的分析可知，当时，当时，可知等差数列为递减数列，当时，数列为递增数列，错；
，又，对；
时，时，，时，，
当时，、且递减、为正数且递减，最小．对．
故选：．  13.【答案】 【解析】解：由服从正态分布，且，
得．
估计这次考试分数不超过分的人数为．
故答案为：．
利用正态分布曲线的对称性结合已知求得，乘以得答案．
本题考查正态分布，关键是对正态分布曲线的理解与掌握，是基础题．
 14.【答案】 【解析】解：设“取到的是一个次品”，
“所取到的产品是由第家工厂提供”，
则 ，，，
，，，
由全概率公式得：


．
故答案为：．
根据全概率公式计算即可．
本题考查了条件概率，全概率公式，是基础题．
 15.【答案】 【解析】解：对任意都有．
，
则．
故答案为：．
对任意都有利用“倒序相加”法即可得出．
本题考查了数列“倒序相加”法求和、函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 16.【答案】 【解析】解：由题意可得：，解得：．
实数的取值范围是．
故答案为：．
由题意可得：，解出即可得出．
本题考查了不等式的性质与解法、函数的单调性、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 17.【答案】解：等差数列中，，，
，，
解得，，
；
，，，

，
当时，前项的和取得最小值，为． 【解析】本题主要考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前项和公式，属于基础题．
根据，，可得，，求出等差数列的公差，然后求出即可；
由，，，得，由此可求出的最小值．
 18.【答案】解：记“取球两次后，箱子中小球的个数为”为事件，
事件包含：“第一次取球为红色，第二次取球为白色”和“第一次取球为白色，第二次取球为红色”，
则，
取球两次后，箱子中小球的个数为的概率为；
依题意得的所有可能取值为，，，
则，
的分布列为： 的数学期望． 【解析】记“取球两次后，箱子中小球的个数为”为事件，然后列出事件包含的事件，根据概率公式进行求解即可；
依题意可得到的所有可能取值为，，，求出对应的概率，列出分布列并求出期望即可．
本题主要考查离散型随机变量分布列的求解，以及期望公式的应用，属于中档题．
 19.【答案】证明：平面，、平面，，．
，．
又，，得 ．
又，、平面 ，平面，
又平面，则．
又，又，四边形是直角梯形．
解：过作的垂线交于点．
平面，、平面，，．
以为原点，，，所在直线分别为，，轴，如图建立空间直角坐标系．
则 ，，，，．
为的中点，．
，
设平面 的法向量为，则，
令 ，得 ．

设直线 与平面 所成的角为，．
直线与平面所成角的正弦值为． 【解析】由线面垂直的判定和性质定理可证得，又因为，，即可证明四边形是直角梯形；
以为原点，，，所在直线分别为，，轴，如图建立空间直角坐标系，分别求出直线的方向向量和平面的法向量，由线面角的向量公式代入即可得出答案．
本题考查直线与平面垂直的判断，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．
 20.【答案】解：证明：设等差数列的公差为，
由题意可得，
解得，
数列的通项公式为，
，
，，
数列是以为首项，为公差的等差数列；
，当时，，数列的前项和，
当 时，，数列的前项和
，
． 【解析】由题意得关于，的方程，解出得到其通项，并计算出其前项的和，则得到的通项，利用定义计算的值即可．
分和，结合等差数列的求和公式讨论即可．
本题考查等差数列的通项公式、求和公式，考查方程思想和分类讨论思想、运算能力，属于中档题．
 21.【答案】解：由题知，，，
，，．
则．
故与的线性相关程度很高，可以用线性回归方程拟合；
顾客选择参加两次抽奖，设他获得元现金奖励为事件，；
设表示顾客在四次抽奖中中奖的次数，由于顾客每次抽奖的结果相互独立，则，
．
由于顾客每中一次可获得元现金奖励，因此顾客在四次抽奖中可获得的奖励金额的均值为．
由于顾客参加四次抽奖获得现金奖励的均值小于直接返现的元现金，故专营店老板希望该顾客选择参加四次抽奖． 【解析】由已知求得与，再由已知结合相关系数公式求得，与比较大小得结论；
直接由相互独立事件的概率公式求解；
设表示顾客在四次抽奖中中奖的次数，由于顾客每次抽奖的结果相互独立，则，由二项分布的期望公式求得期望，可得顾客在四次抽奖中可获得的奖励金额的均值为，与比较大小得结论．
本题考查线性相关系数的求法，考查独立重复试验与二项分布，考查计算能力，是中档题．
 22.【答案】解：由已知可得，，，解得，，
所以椭圆的标准方程为．
若直线的斜率不存在时，，，
所以；
当斜率存在时，设直线的方程为，，
联立直线与椭圆方程，消去，得，
所以．
因为，设直线的方程为，
联立直线与椭圆方程，消去，得，解得．
，，
同理，，
因为，，
故，存在满足条件，
综上可得，存在满足条件． 【解析】由点在椭圆上和离心率为，列出式子，解出，的值；
分直线的斜率存在与否讨论，当的斜率存在时，设直线的方程为用分别表示出，；解出；
本题考查椭圆方程的求法，线段的长度的求法，方程联立韦达定理的应用，属于中档题．