备战2024届高中数学一轮题型归纳与解题策略(新高考地区专用)考点04 一元二次不等式与其他常见不等式解法6种常见考法归类（含答案）

这是一份备战2024届高中数学一轮题型归纳与解题策略(新高考地区专用)考点04 一元二次不等式与其他常见不等式解法6种常见考法归类（含答案），共56页。试卷主要包含了解一元二次不等式，解其他不等式，由一元二次不等式的解确定参数，一元二次不等式的恒成立问题，一元二次方程根的分布问题，一元二次不等式的实际应用等内容，欢迎下载使用。
考点04 一元二次不等式与其他常见不等式解法6种常见考法归类


考点一 解一元二次不等式
（一）解不含参数的一元二次不等式
（二）解含参数的一元二次不等式
考点二 解其他不等式
（一）指数不等式
（二）对数不等式
（三）分式不等式
（四）根式不等式
（五）绝对值不等式
（六）高次不等式
考点三 由一元二次不等式的解确定参数
考点四 一元二次不等式的恒成立（有解）问题
（一）一元二次不等式在R上的恒成立问题
（二）一元二次不等式在某区间上的恒成立问题
（三）给定参数范围求范围的恒成立问题
（四）一元二次不等式在某区间有解问题
考点五 一元二次方程根的分布问题
考点六 一元二次不等式的实际应用


1.一元二次不等式的解法
①二次不等式（）的解法：最好的方法是图像法，充分体现了数形结合的思想.也可以利用口诀（大于取两边，小于取中间）解答.
②当二次不等式时，可以画图，解不等式，也可以把二次项的系数变成正数，再利用上面的方法解答.
注意：①不要把不等式看成了一元二次不等式，一定邀注意观察分析的系数.
②对于含有参数的不等式注意考虑是否要分类讨论.
③如果运用口诀解一元二次不等式，一定要注意使用口诀必须满足的前提条件.
④不等式的解集必须用集合或区间，不能用不等式，注意结果的规范性.
2.解一元二次不等式的方法和步骤

3.解含参数的一元二次不等式的步骤

4.指对数不等式
解指数不等式和对数不等式一般有以下两种方法
(1)同底法：如果两边能化为同底的指数或对数，先化为同底，再根据指数、对数的单调性转化为代数不等式，底数是参数时要注意观察分析是否要对其进行讨论，并注意到对数真数大于零的限制条件.
①当时,
;　
②当时,
;　
(2)对指互化法：
如果两边不能化成同底的指数或对数时，一般用对指互化法.
对数不等式两边取指数，转化成整式不等式来解；指数不等式两边取对数，转化成整式不等式来解.




5．简单分式不等式
（1）；（2）
（3）；（4）
求解分式不等式，等价于要求分子分母同号，即或，这样就可以将分式不等式化为不等式组来求解.另一方面，分子分母同号也等价于（ax+b）(cx+d)>0，这就也能将分式不等式化为整式不等式求解.

注：(1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意等价变形，保证分母不为零．
(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．
6.绝对值不等式
绝对值不等式的概念：一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式．
(1)含绝对值的不等式|x|a的解集
不等式
a>0
a＝0
a0)和|ax＋b|≥c (c>0)型不等式的解法
①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；
②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.
(3)
(4)；
；
(5)|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法
①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；解含有两个绝对值形如的不等式，常用零点讨论法和数形结合法.注意小分类求交大综合求并.
③平方法:如果绝对值的不等式的两边都是非负数，如：，可以使用平方法.
④通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想.
7.高次不等式
高次不等式：不等式最高次项的次数高于2，这样的不等式称为高次不等式.
解法：穿根法
穿根法又称“数轴标根法”，在求解分式不等式、一元整式及高次不等式中有着鬼斧神工的效果。将不等式进行移项，将其化为不等式右侧为0的形式，即是的形式，并将的最高次幂项的系数化为正数的标准形式，具体步骤如下：
（1）整理变形：将不等式化为标准形式后，对其进行因式分解，化为如下最简形式：，其中：
（2）标根∶将的n个不同根，在数轴上由小到大从左至右标出来。标根时，只需标出相对位置即可，这样即将数轴分为了 n+1个区间。
（3）画穿根线∶由最大根的右上方向左下方画线，使其穿过数轴，再向左上方穿根划线，由右向左依次画连续曲线。画线时若遇偶数根，即为偶数时，曲线弹回，不穿过该根。若为奇数时，则穿过该根。记住口诀"奇穿偶不穿"即可。
（4）写出解集∶如下图所示，数轴下方曲线与数轴构成的区间即为的解集，数轴上方曲线与数轴构成的区间即为 的解集。

8.无理不等式的解法
无理不等式一般利用平方法和分类讨论解答.
无理不等式转化为有理不等式，要注意平方的条件和根式有意义的条件，一般情况下，可转化为或，而等价于：或．
9.由一元二次不等式的解确定参数
（1）已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式．
由的解集为，得:的解集为，即关于的不等式的解集为．
（2）已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式．
由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为．
（3）已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式．
由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为．
（4）已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式．
由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为，以此类推．
10.一元二次不等式在R上恒成立的条件
(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足；
(2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足；
(3)ax2＋bx＋c0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)；
(2)转化为函数值域问题，即已知函数f(x)的值域为[m，n]，则f(x)≥a恒成立⇒f(x)min≥a，即m≥a；f(x)≤a恒成立⇒f(x)max≤a，即n≤a.
具体如下：
设
（1）当时，上恒成立，
上恒成立
（2）当时，上恒成立
上恒成立
注：①。
②
12.给定参数范围求x范围的恒成立问题的解法
解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解．
13.一元二次方程的根的分布问题
解决一元二次方程的根的分布时，常常需考虑：判别式，对称轴，特殊点的函数值的正负，所对应的二次函数图象的开口方向.


考点一 解一元二次不等式
（一）解不含参数的一元二次不等式
1．（2023·全国·模拟预测）设集合，，若，则实数a的取值范围是（    ）
A． B．（3,4） C． D．
【答案】B
【分析】根据集合的包含关系列出关于a的不等式组即可.
【详解】由已知可得，集合，，
因为，所以，（注意端点值是否能取到），
解得，
故选：B．
2．（2023·安徽合肥·二模）若集合，则（    ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用一元二次不等式求解集合，再利用集合的并集运算知识即可求出的值.
【详解】，.
故选：C.
3．（2023·内蒙古包头·二模）设集合，且，则（    ）
A． B． C．8 D．6
【答案】C
【分析】化简集合A、B，根据交集的结果求参数即可.
【详解】由，可得或，
即或，而，
∵，
∴，可得.
故选：C
（二）解含参数的一元二次不等式
4．（2023·全国·高三专题练习）解下列关于的不等式
【答案】答案见解析
【分析】讨论大小关系求一元二次不等式的解集.
【详解】由，可得或，则：
当时，原不等式解集为；
当时，原不等式解集为；
当时，原不等式解集为；
5．（2023·全国·高三专题练习）解下列关于的不等式：．
【答案】答案见解析.
【分析】对分三种情况讨论得解.
【详解】由得或.
当，即时，不等式解集为；
当，即时，解集为；
当，即时，解集为．
综上：时，不等式解集为；时，解集为；时，解集为．
6．（2023·全国·高三专题练习）解下列关于的不等式．
【答案】
【分析】根据原不等式中参数的范围判断其对应一元二次方程根的大小，进而确定不等式的解集即可.
【详解】依题意，且，
所以，且，解得，
所以原不等式的解集为．
7．（2023·全国·高三专题练习）解下列关于的不等式．
【答案】答案见解析
【分析】讨论参数a，结合一元二次不等式的解法求解集即可.
【详解】当时，原不等式为，解集为；
当时，原不等式为，解集为；
当时，原不等式为，
若，即时，解集为或；
若，即时，解集为；
若，即时，解集为或；
综上，解集为；
解集为；
解集为或；
解集为；
解集为或.
8．（2023·全国·高三专题练习）解下列关于的不等式．
【答案】答案见解析
【分析】根据一元二次不等式对应二次函数的开口方向，并讨论符号求解集即可.
【详解】由对应函数开口向上，且，
当，即时，恒成立，原不等式解集为；
当，即或时，由，可得，
所以原不等式解集为；
综上，解集为；
或解集为.
9．（2023·全国·高三专题练习）解下列关于的不等式．
【答案】见解析
【分析】一元二次不等式，讨论开口方向即可.
【详解】方程： 且

解得方程两根：；
当时，原不等式的解集为：

当时，原不等式的解集为：

综上所述, 当时，原不等式的解集为：

当时，原不等式的解集为：

10．（2023·全国·高三专题练习）解下列关于x的不等式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）ax2-2（a+1）x+4>0.
【答案】答案见解析
【分析】（1）对分五种情况讨论得解；
（2）对分五种情况讨论得解；
（3）对分五种情况讨论得解；
（4）对分三种情况讨论得解；
（5）对分六种情况讨论得解；
（6）对分五种情况讨论得解；
（7）对分四种情况讨论得解.
【详解】（1）
当时，不等式为，解集为；
时，不等式分解因式可得
当时，故，此时解集为；
当时，，故此时解集为；
当时，可化为，又
解集为；
当时，可化为，又
解集为.
综上有，时，解集为；
时，解集为；
时，解集为；
时，解集为；
时，解集为
（2）把化简得，
①当时，不等式的解为
②当，即，得，此时，不等式的解为或
③当，即，得或，
当时，不等式的解为或，
当时，不等式的解为，
④当，得，此时，，解得且，
综上所述，当时，不等式的解为，
当时，不等式的解为，
当时，不等式的解为或，
当时，不等式的解为且，
当时，不等式的解为或，
（3），
，
①时，，可得；
②时，可得
若，解可得，或；
若，则可得，
当即时，解集为，；
当即时，解集为，；
当即时，解集为.
（4）不等式可化为.
①当时，，解集为，或；
②当时，，解集为；
③当时，，解集为，或.
综上所述，
当时，原不等式的解集为，或；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为，或.
（5）当时，不等式即，解得.
当时，对于方程，
令，解得或；
令，解得或；
令，解得或，方程的两根为.
综上可得，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集或；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
（6）原不等式可变形为.
①当时，则有，即，解得；
②当时，，解原不等式得或；
③当时，.
（i）当时，即当时，原不等式即为，该不等式无解；
（ii）当时，即当时，解原不等式得；
（iii）当时，即当时，解原不等式可得.
综上所述：①当时，原不等式的解集为；
②当时，原不等式的解集为；
③当时，原不等式的解集为；
④当时，原不等式的解集为；
⑤当时，原不等式的解集为.
（7）（1）当a=0时，原不等式可化为-2x+4>0，解得x