河南省漯河市第三中学2022-2023学年八年级下学期期末考试数学试卷（含答案）

这是一份河南省漯河市第三中学2022-2023学年八年级下学期期末考试数学试卷（含答案），共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
河南省漯河三中2022-2023学年八年级下学期期末数学试卷（解析版）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．关于x的方程（a﹣1）x2+4x﹣3＝0是一元二次方程，则（　　）
A．a＞1 B．a＝1 C．a≠1 D．a≥0
3．若x＝﹣1是方程x2+x+m＝0的一个根，则此方程的另一个根是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
4．使有意义的x的取值范围在数轴上表示为（　　）
A．
B．
C．
D．
5．某校图书管理员欲统计最受学生欢迎的图书种类，以下是排乱的统计步骤：①从扇形图中分析出最受学生欢迎的图书种类；②整理借阅图书记录并绘制频数分布表；③绘制扇形图来表示各个图书种类所占的百分比；④收集学生借阅图书的记录．正确统计步骤的顺序是（　　）
A．④→②→③→① B．①→④→②→③ C．②→④→③→① D．③→①→④→②
6．如下是小明对“平行四边形的对角线互相平分”的证明过程．
已知：如图四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O．
求证：AO＝OC，BO＝OD．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD＝BC，_____，
∴∠OAD＝∠OCB，∠ODA＝∠OBC，
∴△OAD≌△OCB
∴AO＝OC，BO＝OD．
则在“_____”处应该补充的证明过程是（　　）

A．AD∥BC B．AB∥CD C．∠ABO＝∠CDO D．AB＝CD
7．下列性质中，矩形、正方形都具有，但是菱形却不具有的性质是（　　）
A．对角线长度相等
B．对角线互相垂直
C．对角线互相平分
D．一组对角线平分一组对角
8．如图1是我国青海湖最深处的某一截面图，青海湖水面下任意一点A的压强P（单位：cmHg）与其离水面的深度h（单位：m）的函数解析式为P＝kh+P0，其图象如图2所示，其中P0为青海湖水面大气压强，k为常数且k≠0．根据图中信息分析（结果保留一位小数），下列结论正确的是（　　）

A．青海湖水深16.4m处的压强为188.6cmHg
B．青海湖水面大气压强为76.0cmHg
C．函数解析式P＝kh+P0中自变量h的取值范围是h≥0
D．P与h的函数解析式为P＝9.8×105h+76
9．将直线y＝2x+1向上平移2个单位，相当于（　　）
A．向左平移2个单位 B．向左平移1个单位
C．向右平移2个单位 D．向右平移1个单位
10．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+a2与y＝a2x+a的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．请填写一个常数，使得关于x的方程x2﹣2x+　 　＝0有两个不相等的实数根．
12．如图，直线y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点D为OB的中点，▱OCDE的顶点C在x轴上，顶点E在直线AB上，则▱OCDE的面积为 　 　．

13．如图，将▱ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，CE交AD于点F，若∠B＝80°，∠ACE＝2∠ECD，FC＝a，FD＝b，则▱ABCD的周长为 　 　．

14．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P为AB边上一动点（不与点A，B重合），PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，若AC＝20，BD＝10，则EF的最小值为 　 　．

15．如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，连接AC，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线MN分别交AD，BC于点E，F．下列结论：
①四边形AECF是菱形；
②∠AFB＝2∠ACB；
③AC•EF＝CF•CD；
④若AF平分∠BAC，则CF＝2BF．其中正确结论的有 　 　．（填写正确结论的序号）

三、解答题（本大题共8小题，满分75分）
16．（10分）小明与小亮两位同学解方程3（2x﹣5）＝（2x﹣5）2的过程如下框：
小明：
两边同除以（2x﹣5），得
3＝2x﹣5．
则x＝4．
小亮：
移项，得3（2x﹣5）﹣（2x﹣5）2＝0．提取公因式，得（2x﹣5）（3﹣2x﹣5）＝0．
则2x﹣5＝0或3﹣2x﹣5＝0
解得x1＝，x2＝﹣1．
任务一：你认为他们的解法是否正确？若正确请在括号内打“√“；若错误请在括号内打“×”；
小明 　 　，小亮 　 　；
任务二：写出你的解答过程．
17．（9分）公司生产A、B两种型号的扫地机器人，为了解它们的扫地质量，工作人员从某月生产的A、B型扫地机器人中各随机抽取10台，在完全相同条件下试验，记录下它们的除尘量的数据（单位：g），并进行整理、描述和分析（除尘量用x表示，共分为三个等级：合格80≤x＜85，良好85≤x＜95，优秀x≥95），下面给出了部分信息：
10台A型扫地机器人的除尘量：83，84，84，88，89，89，95，95，95，98．
10台B型扫地机器人中“良好”等级包含的所有数据为：85，90，90，90，94
抽取的A、B型扫地机器人除尘量统计表
型号
平均数
中位数
众数
方差
“优秀”等级所占百分比
A
90
89
a
26.6
40%
B
90
b
90
30
30%
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝　 　，b＝　 　，m＝　 　；
（2）这个月公司可生产B型扫地机器人共3000台，估计该月B型扫地机器人“优秀”等级的台数；
（3）根据以上数据，你认为该公司生产的哪种型号的扫地机器人扫地质量更好？请说明理由（写出一条理由即可）．

18．（9分）如图，是一个“函数求值机”的示意图，其中y是x的函数．下面表格中，是通过该“函数求值机”得到的几组x与y的对应值．
输入x
…
﹣6
﹣4
﹣2
0
2
…
输出y
…
﹣6
﹣2
2
6
16
…
根据以上信息，解答下列问题：
（1）当输入的x值为1时，输出的y值为 　 　；
（2）求k，b的值；
（3）当输出的y值为0时，求输入的x值．

19．（9分）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向AB由A行驶向B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A，B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．
（1）求∠ACB的度数；
（2）海港C受台风影响吗？为什么？
（3）若台风的速度为20千米/小时，当台风运动到点E处时，海港C刚好受到影响，当台风运动到点F时，海港C刚好不受影响，即CE＝CF＝250km，则台风影响该海港持续的时间有多长？

20．（9分）为响应习近平总书记的号召，鼓励学生多读书，某图书馆针对学生推出两种新的借阅优惠方案．
甲方案：凭学生证办理借阅卡，充值超过20元时，超过多少送多少；
乙方案：凭学生证办理会员卡，充值每满40元再送20元．
设借阅时间为x天，甲、乙两种方案每本书的借阅租金分别表示y1（元），y2（元），y1，y2关于x的函数图象如图所示．
（1）分别直接写出y1，y2与x之间的函数关系式；
（2）请求出图中线段AB的长并说明它的实际意义；
（3）八年级小兰准备用40元钱在该图书馆借阅一本书，选择哪种方案办卡更划算？说明理由．

21．（9分）如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，E为线段AD的中点，延长BE与CD的延长线交于点F，连接AF，∠BDF＝90°．
（1）求证：四边形ABDF是矩形；
（2）若AD＝5，DF＝3，求四边形ABCF的面积S．

22．（10分）开封刺绣历史悠久，早在北宋时期就已闻名，民间多把开封刺绣称为“汴绣”，2008年入选中国非物质文化遗产，某网店老板小杰在开封某汴绣专营店选中A，B两款高端汴绣，决定从该店进货并销售，已知两款汴绣的进货价和销售价如下表：
类别
价格
A款汴绣
B款汴绣
进货价（元/件）
800
1400
销售价（元/件）
980
1680
（1）第一次小杰用24400元购进了A，B两款汴绣共20件，求两款汴绣各购进多少件；
（2）第二次小杰进货时，计划购进A款汴绣数量不少于B款汴绣数量的，且小杰计划购进两款汴绣共30件，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？
（3）受疫情影响，社会消费需求收缩，小杰为快速实现资金回流，计划对A款汴绣打8折出售并赠送成本为26元的某景区门票一张，对B款汴绣打n折出售，若以（2）中可获得最大利润的进货方案为基础，请计算B款汴绣打几折出售时，A，B两款汴绣的销售总额恰好实现盈亏平衡？
23．（10分）如图，在正方形ABCD中，点M，N分别是CD，BC上的点．

（1）如图①，AM与DN交于点P，连接AN，点O为AN的中点，连接OP，OB，若DM＝CN，则OP与OB的数量关系为 　 　；
（2）如图②，点E，F分别为AB，AD上的点，若ME＝NF，试判断ME与NF的位置关系，并证明你的结论；
（3）如图③，点E为AB上的点，连接ME，将正方形ABCD沿ME折叠，使得点D落在边BC的中点Q处，点A的对应点为A′，若正方形ABCD的边长为6，请直接写出折痕ME的长．

参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】直接根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母，分母中不含根号；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式判断即可．
【解答】解：A.，不是最简二次根式；
B.，不是最简二次根式；
C.，不是最简二次根式；
D.，是最简二次根式．
故选：D．
【点评】此题考查的是最简二次根式，掌握其概念是解决此题关键．
2．关于x的方程（a﹣1）x2+4x﹣3＝0是一元二次方程，则（　　）
A．a＞1 B．a＝1 C．a≠1 D．a≥0
【分析】根据一元二次方程定义可得：a﹣1≠0，再解即可．
【解答】解：由题意得：a﹣1≠0，
解得：a≠1，
故选：C．
【点评】此题主要考查了一元二次方程定义，解题的关键是掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
3．若x＝﹣1是方程x2+x+m＝0的一个根，则此方程的另一个根是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．
【解答】解：设x2+x+m＝0另一个根是α，
∴﹣1+α＝﹣1，
∴α＝0，
故选：B．
【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练运用一元二次方程根与系数的关系，本题属于基础题型．
4．使有意义的x的取值范围在数轴上表示为（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据二次根式有意义的条件，要使有意义，则x﹣2≥0，据此求出x的取值范围，判断出使有意义的x的取值范围如何在数轴上表示即可．
【解答】解：∵有意义，
∴x﹣2≥0，
解得x≥2，
∴使有意义的x的取值范围在数轴上表示为．
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，解答此题的关键是要明确：二次根式中的被开方数是非负数．
5．某校图书管理员欲统计最受学生欢迎的图书种类，以下是排乱的统计步骤：①从扇形图中分析出最受学生欢迎的图书种类；②整理借阅图书记录并绘制频数分布表；③绘制扇形图来表示各个图书种类所占的百分比；④收集学生借阅图书的记录．正确统计步骤的顺序是（　　）
A．④→②→③→① B．①→④→②→③ C．②→④→③→① D．③→①→④→②
【分析】根据题意，可以写出正确的统计步骤，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
正确的统计步骤是：④收集学生借阅图书的记录；②整理借阅图书记录并绘制频数分布表；③绘制扇形图来表示各个图书种类所占的百分比；①从扇形图中分析出最受学生欢迎的图书种类．
故选：A．
【点评】本题考查扇形统计图、调查数据的过程与方法，解答本题的关键是明确题意，写出正确的统计步骤．
6．如下是小明对“平行四边形的对角线互相平分”的证明过程．
已知：如图四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O．
求证：AO＝OC，BO＝OD．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD＝BC，_____，
∴∠OAD＝∠OCB，∠ODA＝∠OBC，
∴△OAD≌△OCB
∴AO＝OC，BO＝OD．
则在“_____”处应该补充的证明过程是（　　）

A．AD∥BC B．AB∥CD C．∠ABO＝∠CDO D．AB＝CD
【分析】由平行四边形的性质得AD＝BC，AD∥BC，则∠OAD＝∠OCB，∠ODA＝∠OBC，再证△OAD≌△OCB（ASA），即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠OAD＝∠OCB，∠ODA＝∠OBC，
∴△OAD≌△OCB（ASA），
∴AO＝OC，BO＝OD．
故选：A．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
7．下列性质中，矩形、正方形都具有，但是菱形却不具有的性质是（　　）
A．对角线长度相等
B．对角线互相垂直
C．对角线互相平分
D．一组对角线平分一组对角
【分析】利用正方形的性质，矩形的性质，菱形的性质依次判断可求解．
【解答】解：∵菱形具有的性质是：两组对边分别平行，对角线互相平分，对角线互相垂直；
矩形具有的性质是：两组对边分别平行，对角线互相平分，对角线相等；
正方形具有菱形和矩形的性质，
∴菱形不具有的性质为：对角线长度相等，
故选：A．
【点评】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，矩形的性质，注意熟记各性质定理是解此题的关键．
8．如图1是我国青海湖最深处的某一截面图，青海湖水面下任意一点A的压强P（单位：cmHg）与其离水面的深度h（单位：m）的函数解析式为P＝kh+P0，其图象如图2所示，其中P0为青海湖水面大气压强，k为常数且k≠0．根据图中信息分析（结果保留一位小数），下列结论正确的是（　　）

A．青海湖水深16.4m处的压强为188.6cmHg
B．青海湖水面大气压强为76.0cmHg
C．函数解析式P＝kh+P0中自变量h的取值范围是h≥0
D．P与h的函数解析式为P＝9.8×105h+76
【分析】由图象可知，直线P＝kh+P0过点（0，68）和（32.8，309.2）．由此可得出k和P0的值，进而可判断B，D；根据实际情况可得出h的取值范围，进而可判断C；将h＝16.4代入解析式，可求出P的值，进而可判断A．
【解答】解：由图象可知，直线P＝kh+P0过点（0，68）和（32.8，309.2），
∴，
解得．
∴直线解析式为：P＝7.4h+68．故D错误，不符合题意；
∴青海湖水面大气压强为68.0cmHg，故B错误，不符合题意；
根据实际意义，0≤h≤32.8，故C错误，不符合题意；
将h＝16.4代入解析式，
∴P＝×16.4+68＝188.6，即青海湖水深16.4m处的压强为188.6cmHg，故A正确，符合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查一次函数的实际应用，涉及一次函数的图象和性质，待定系数法等知识．关键是计算过程中需要结合实际意义．
9．将直线y＝2x+1向上平移2个单位，相当于（　　）
A．向左平移2个单位 B．向左平移1个单位
C．向右平移2个单位 D．向右平移1个单位
【分析】根据直线y＝kx+b平移k值不变，只有b发生改变解答即可．
【解答】解：将直线y＝2x+1向上平移2个单位后得到新直线解析式为：y＝2x+1+2，即y＝2x+3．
由于y＝2x+3＝2（x+1）+1，
所以将直线y＝2x+1向左平移1个单位即可得到直线y＝2x+3．
所以将直线y＝2x+1向上平移2个单位，相当于将直线y＝2x+1向左平移1个单位．
故选：B．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减、左加右减”的原则是解答此题的关键．
10．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+a2与y＝a2x+a的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】利用一次函数的性质进行判断．
【解答】解：∵y＝ax+a2与y＝a2x+a，
∴x＝1时，两函数的值都是a2+a，
∴两直线的交点的横坐标为1，
若a＞0，则一次函数y＝ax+a2与y＝a2x+a都是增函数，且都交y轴的正半轴，图象都经过第一、二、三象限；
若a＜0，则一次函数y＝ax+a2经过第一、二、四象限，y＝a2x+a经过第一、三、四象限，且两直线的交点的横坐标为1；
故选：D．
【点评】此题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．
一次函数y＝kx+b的图象有四种情况：
①当k＞0，b＞0时，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限；
②当k＞0，b＜0时，函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限；
③当k＜0，b＞0时，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限；
④当k＜0，b＜0时，函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．请填写一个常数，使得关于x的方程x2﹣2x+　0（答案不唯一）　＝0有两个不相等的实数根．
【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，即可得出关于c的不等式，解之即可求出c的值．
【解答】解：a＝1，b＝﹣2．
∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×c＞0，
∴c＜1．
故答案为：0（答案不唯一）．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
12．如图，直线y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点D为OB的中点，▱OCDE的顶点C在x轴上，顶点E在直线AB上，则▱OCDE的面积为 　2　．

【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，结合点D为OB的中点可得出OD的长，由四边形OCDE为平行四边形，可得出DE∥x轴，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点E的坐标，进而可得出DE的长，结合平行四边形的对边相等可得出OC的长，再利用平行四边形的面积计算公式，即可求出▱OCDE的面积．
【解答】解：当x＝0时，y＝2×0+4＝4，
∴点B的坐标为（0，4），OB＝4．
∵点D为OB的中点，
∴OD＝OB＝×4＝2．
∵四边形OCDE为平行四边形，点C在x轴上，
∴DE∥x轴．
当y＝2时，2x+4＝2，
解得：x＝﹣1，
∴点E的坐标为（﹣1，2），
∴DE＝1，
∴OC＝1，
∴▱OCDE的面积＝OC•OD＝1×2＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质以及平行四边形的面积，利用一次函数图象上点的坐标特征，找出点B，E的坐标是解题的关键．
13．如图，将▱ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，CE交AD于点F，若∠B＝80°，∠ACE＝2∠ECD，FC＝a，FD＝b，则▱ABCD的周长为 　4a+2b　．

【分析】由∠B＝80°，四边形ABCD为平行四边形，折叠的性质可证明△AFC为等腰三角形．所以AF＝FC＝a．设∠ECD＝x，则∠ACE＝2x，在△ADC中，由三角形内角和定理可知，2x+2x+x+80°＝180°，解得x＝20°，由外角定理可证明△DFC为等腰三角形．所以DC＝FC＝a．故平行四边形ABCD的周长为2（DC+AD）＝2（a+a+b）＝2＝4a+2b．
【解答】解：∵∠B＝80°，四边形ABCD为平行四边形．
∴∠D＝80°．
由折叠可知∠ACB＝∠ACE，
又AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∴∠ACE＝∠DAC，
∴△AFC为等腰三角形．
∴AF＝FC＝a．
设∠ECD＝x，则∠ACE＝2x，
∴∠DAC＝2x，
在△ADC中，由三角形内角和定理可知，2x+2x+x+80°＝180°，
解得：x＝20°．
∴由三角形外角定理可得∠DFC＝4x＝80°，
故△DFC为等腰三角形．
∴DC＝FC＝a．
∴AD＝AF+FD＝a+b，
故平行四边形ABCD的周长为2（DC+AD）＝2（a+a+b）＝4a+2b．
故答案为：4a+2b．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、三角形内角和定理、外角定理、图形的翻折变换，证明△AFC和△DFC为等腰三角形是解题关键．
14．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P为AB边上一动点（不与点A，B重合），PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，若AC＝20，BD＝10，则EF的最小值为 　2　．

【分析】连接OP，根据菱形的性质得到AC⊥BD，AO＝AC＝10，BD＝BD＝5，根据勾股定理得到AB＝＝5，根据矩形的性质得到EF＝OP，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：连接OP，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝AC＝10，BO＝BD＝5，
∴AB＝＝5，
∵PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，
∴∠EOF＝∠OEP＝∠OFP＝90°，
∴四边形OEPF是矩形，
∴EF＝OP，
∵当OP取最小值时，EF的值最小，
∴当OP⊥AB时，OP最小，
∴S△ABO＝OA•OB＝AB•OP，
∴OP＝＝2，
∴EF的最小值为2，
故答案为：2．

【点评】本题考查了矩形的判定和性质，垂线段最短，菱形的性质，熟练掌握垂线段最短是解题的关键．
15．如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，连接AC，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线MN分别交AD，BC于点E，F．下列结论：
①四边形AECF是菱形；
②∠AFB＝2∠ACB；
③AC•EF＝CF•CD；
④若AF平分∠BAC，则CF＝2BF．其中正确结论的有 　①②④　．（填写正确结论的序号）

【分析】根据作图可得MN⊥AC，且平分AC，设AC与MN的交点为O，证明四边形AECF为菱形，即可判断①，进而根据等边对等角即可判断②，根据菱形的性质求面积即可求解．判断③，根据角平分线的性质和菱形的对角线平分每一组对角求出∠BAF＝30°，再根据含30度角的直角三角形的性质可得AF＝2BF，由即可AF＝CF求解．
【解答】解：如图，设AC与MN的交点为O，

根据作图可得MN⊥AC，且平分AC，
∴AO＝OC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO＝∠OCF，
又∵∠AOE＝∠COF，AO＝CO，
∴△AOE≌△COF，
∴EO＝FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵MN垂直平分AC，
∴EA＝EC，
∴四边形AECF是菱形，故①正确；
②∵FA＝FC，
∴∠ACB＝∠FAC，
∴∠AFB＝2∠ACB；故②正确；
③由菱形的面积可得，故③不正确，
④∵四边形AECF是菱形，
∴∠FAC＝∠EAC，AF＝CF
又∵∠BAF＝∠FAC，
∴∠BAF＝∠FAC
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠BAD＝90°，
∴∠BAF+∠FAC+∠EAC＝90°，
∴∠BAF＝30°，
∴AF＝2BF，
∴CF＝2BF．故④正确；
综上所述：正确的结论是①②④．
故答案为：①②④．
【点评】本题考查了菱形的性质与判定，矩形的性质，平行四边形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，角平分线的性质，综合运用以上知识是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，满分75分）
16．（10分）小明与小亮两位同学解方程3（2x﹣5）＝（2x﹣5）2的过程如下框：
小明：
两边同除以（2x﹣5），得
3＝2x﹣5．
则x＝4．
小亮：
移项，得3（2x﹣5）﹣（2x﹣5）2＝0．提取公因式，得（2x﹣5）（3﹣2x﹣5）＝0．
则2x﹣5＝0或3﹣2x﹣5＝0
解得x1＝，x2＝﹣1．
任务一：你认为他们的解法是否正确？若正确请在括号内打“√“；若错误请在括号内打“×”；
小明 　×　，小亮 　×　；
任务二：写出你的解答过程．
【分析】任务一：观察两人的解法，小明忽略2x﹣5＝0的情况，小亮提取公因式时没有添加括号出错；
任务二：按照小明的思路，写出解方程过程即可．
【解答】解：任务一：小明×，小亮×；
故答案为：×，×；
任务二：当2x﹣5＝0，即x＝时，方程成立；
当2x﹣5≠0，即x≠时，
两边同除以（2x﹣5），得3＝2x﹣5．
解得：x＝4，
则方程的解为x1＝，x2＝4．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握解一元二次方程的解法是解本题的关键．
17．（9分）公司生产A、B两种型号的扫地机器人，为了解它们的扫地质量，工作人员从某月生产的A、B型扫地机器人中各随机抽取10台，在完全相同条件下试验，记录下它们的除尘量的数据（单位：g），并进行整理、描述和分析（除尘量用x表示，共分为三个等级：合格80≤x＜85，良好85≤x＜95，优秀x≥95），下面给出了部分信息：
10台A型扫地机器人的除尘量：83，84，84，88，89，89，95，95，95，98．
10台B型扫地机器人中“良好”等级包含的所有数据为：85，90，90，90，94
抽取的A、B型扫地机器人除尘量统计表
型号
平均数
中位数
众数
方差
“优秀”等级所占百分比
A
90
89
a
26.6
40%
B
90
b
90
30
30%
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝　95　，b＝　90　，m＝　20　；
（2）这个月公司可生产B型扫地机器人共3000台，估计该月B型扫地机器人“优秀”等级的台数；
（3）根据以上数据，你认为该公司生产的哪种型号的扫地机器人扫地质量更好？请说明理由（写出一条理由即可）．

【分析】（1）根据众数、中位数概念可求出a、b的值，由B型扫地机器人中“良好”等级占50%，“优秀”等级所占百分比为30%，可求出m的值；
（2）用3000乘30%即可得答案；
（3）比较A型、B型扫地机器人的除尘量平均数、众数可得答案．
【解答】解：（1）在83，84，84，88，89，89，95，95，95，98中，出现次数最多的是95，
∴众数a＝95，
10台B型扫地机器人中“良好”等级有5台，占50%，“优秀”等级所占百分比为30%，
∴“合格”等级占1﹣50%﹣30%＝20%，即m＝20，
把B型扫地机器人的除尘量从小到大排列后，第5个和第6个数都是90，
∴b＝90，
故答案为：95，90，20；
（2）估计该月B型扫地机器人“优秀”等级的台数3000×30%＝900（台）；
（3）A型号的扫地机器人扫地质量更好，理由是在平均除尘量都是90的情况下，A型号的扫地机器人除尘量的众数＞B型号的扫地机器人除尘量的众数（理由不唯一）．
【点评】本题考查数据的整理，涉及众数、中位数、平均数、方差等，解题的关键是掌握数据收集与整理的相关概念．
18．（9分）如图，是一个“函数求值机”的示意图，其中y是x的函数．下面表格中，是通过该“函数求值机”得到的几组x与y的对应值．
输入x
…
﹣6
﹣4
﹣2
0
2
…
输出y
…
﹣6
﹣2
2
6
16
…
根据以上信息，解答下列问题：
（1）当输入的x值为1时，输出的y值为 　8　；
（2）求k，b的值；
（3）当输出的y值为0时，求输入的x值．

【分析】（1）把x＝1代入y＝8x，即可得到结论；
（2）将（﹣2，2）（0，6）代入y＝kx+b解方程即可得到结论；
（3）解方程即可得到结论．
【解答】解：（1）当输入的x值为1时，输出的y值为y＝8x＝8×1＝8，
故答案为：8；
（2）将（﹣2，2）（0，6）代入y＝kx+b得，
解得；
（3）令y＝0，
由y＝8x得0＝8x，
∴x＝0＜1（舍去），
由y＝2x+6，得0＝2x+6，
∴x＝﹣3＜1，
∴输出的y值为0时，输入的x值为﹣3．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，函数值，正确地求得函数的解析式是解题的关键．
19．（9分）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向AB由A行驶向B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A，B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．
（1）求∠ACB的度数；
（2）海港C受台风影响吗？为什么？
（3）若台风的速度为20千米/小时，当台风运动到点E处时，海港C刚好受到影响，当台风运动到点F时，海港C刚好不受影响，即CE＝CF＝250km，则台风影响该海港持续的时间有多长？

【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而得出∠ACB的度数；
（2）利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响；
（3）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．
【解答】解：（1）∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；

（2）海港C受台风影响，
理由：过点C作CD⊥AB，
∵△ABC是直角三角形，
∴AC×BC＝CD×AB，
∴300×400＝500×CD，
∴CD＝240（km），
∵以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域，
∴海港C受台风影响；

（3）当EC＝250km，FC＝250km时，正好影响C港口，
∵ED＝＝70（km），
∴EF＝140km，
∵台风的速度为20千米/小时，
∴140÷20＝7（小时）．
答：台风影响该海港持续的时间为7小时．

【点评】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．
20．（9分）为响应习近平总书记的号召，鼓励学生多读书，某图书馆针对学生推出两种新的借阅优惠方案．
甲方案：凭学生证办理借阅卡，充值超过20元时，超过多少送多少；
乙方案：凭学生证办理会员卡，充值每满40元再送20元．
设借阅时间为x天，甲、乙两种方案每本书的借阅租金分别表示y1（元），y2（元），y1，y2关于x的函数图象如图所示．
（1）分别直接写出y1，y2与x之间的函数关系式；
（2）请求出图中线段AB的长并说明它的实际意义；
（3）八年级小兰准备用40元钱在该图书馆借阅一本书，选择哪种方案办卡更划算？说明理由．

【分析】（1）根据待定系数法求解；
（2）分别求出当x＝50时，所对应的函数值，再求差；
（3）先求出当y＝40时的x的值，再比较求解．
【解答】解：（1）设y1＝kx+20，
则：100k+20＝50，
解得：k＝0.3，
∴y1＝0.3x+20，
y2＝0.5x；
（2）当x＝50时，y1＝0.3×50+20＝35（元），y2＝0.5×50＝25（元），
∴AB＝y1﹣y2＝10（元），
∴AB的实际意义是当借阅50天时，两种方案相差10元；
（3）选择方案乙更划算；
理由：若选择甲方案时：0.3x+20＝40，
解得：x＝，
若选择乙方案时：0.5x＝40，
解得：x＝80，
∵＜80，
∴选择方案乙更划算．
【点评】本题考查了一次函数的应用，掌握待定系数法是解题的关键．
21．（9分）如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，E为线段AD的中点，延长BE与CD的延长线交于点F，连接AF，∠BDF＝90°．
（1）求证：四边形ABDF是矩形；
（2）若AD＝5，DF＝3，求四边形ABCF的面积S．

【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，得∠BAE＝∠FDE，而点E是AD的中点，可得△BEA≌△FED（ASA），即知EF＝EB，从而四边形ABDF是平行四边形，又∠BDF＝90°，即得四边形ABDF是矩形；
（2）由∠AFD＝90°，AB＝DF＝3，AF＝BD，得AF＝＝＝4，S矩形ABDF＝DF•AF＝12，四边形ABCD是平行四边形，得CD＝AB＝3，从而S△BCD＝BD•CD＝6，即可得四边形ABCF的面积S为18．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BA∥CD，
∴∠BAE＝∠FDE，
∵点E是AD的中点，
∴AE＝DE，
在△BEA和△FED中，
，
∴△BEA≌△FED（ASA），
∴EF＝EB，
又∵AE＝DE，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∵∠BDF＝90°．
∴四边形ABDF是矩形；
（2）解：由（1）得四边形ABDF是矩形，
∴∠AFD＝90°，AB＝DF＝3，AF＝BD，
∴AF＝＝＝4，
∴S矩形ABDF＝DF•AF＝3×4＝12，BD＝AF＝4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝3，
∴S△BCD＝BD•CD＝×4×3＝6，
∴四边形ABCF的面积S＝S矩形ABDF+S△BCD＝12+6＝18，
答：四边形ABCF的面积S为18．
【点评】本题考查平行四边形性质及应用，涉及矩形的判定，全等三角形判定与性质，勾股定理及应用等，解题的关键是掌握全等三角形判定定理，证明△BEA≌△FED．
22．（10分）开封刺绣历史悠久，早在北宋时期就已闻名，民间多把开封刺绣称为“汴绣”，2008年入选中国非物质文化遗产，某网店老板小杰在开封某汴绣专营店选中A，B两款高端汴绣，决定从该店进货并销售，已知两款汴绣的进货价和销售价如下表：
类别
价格
A款汴绣
B款汴绣
进货价（元/件）
800
1400
销售价（元/件）
980
1680
（1）第一次小杰用24400元购进了A，B两款汴绣共20件，求两款汴绣各购进多少件；
（2）第二次小杰进货时，计划购进A款汴绣数量不少于B款汴绣数量的，且小杰计划购进两款汴绣共30件，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？
（3）受疫情影响，社会消费需求收缩，小杰为快速实现资金回流，计划对A款汴绣打8折出售并赠送成本为26元的某景区门票一张，对B款汴绣打n折出售，若以（2）中可获得最大利润的进货方案为基础，请计算B款汴绣打几折出售时，A，B两款汴绣的销售总额恰好实现盈亏平衡？
【分析】（1）设A款汴绣购进x件，可得：800x+1400（20﹣x）＝24400，即可解得答案；
（2）设B款汴绣购进m件，由购进A款汴绣数量不少于B款汴绣数量的，得30﹣m≥m，m≤18，设利润为w元，有w＝（980﹣800）（30﹣m）+（1680﹣1400）m＝100m+5400，根据一次函数性质可得答案；
（3）设B款汴绣打n折出售，根据实现盈亏平衡列方程可解得答案．
【解答】解：（1）设A款汴绣购进x件，则B款汴绣购进（20﹣x）件，
根据题意得：800x+1400（20﹣x）＝24400，
解得x＝6，
∴20﹣x＝20﹣6＝14，
∴A款汴绣购进6件，B款汴绣购进14件；
（2）设B款汴绣购进m件，
∵购进A款汴绣数量不少于B款汴绣数量的，
∴30﹣m≥m，
解得m≤18，
设利润为w元，
根据题意得：w＝（980﹣800）（30﹣m）+（1680﹣1400）m＝100m+5400，
∵100＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝18时，w取最大值100×18+5400＝7200（元），
此时30﹣m＝30﹣18＝12，
∴A款汴绣购进12件，B款汴绣购进18件，才能获得最大利润，最大利润是7200元；
（3）设B款汴绣打n折出售，
根据题意得：12×800+18×1400＝（980×0.8﹣26）×12+1680××18，
解得n＝8.5，
∴B款汴绣打8.5折出售时，A，B两款汴绣的销售总额恰好实现盈亏平衡．
【点评】本题考查一次函数，一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式和方程解决问题．
23．（10分）如图，在正方形ABCD中，点M，N分别是CD，BC上的点．

（1）如图①，AM与DN交于点P，连接AN，点O为AN的中点，连接OP，OB，若DM＝CN，则OP与OB的数量关系为 　OB＝OP　；
（2）如图②，点E，F分别为AB，AD上的点，若ME＝NF，试判断ME与NF的位置关系，并证明你的结论；
（3）如图③，点E为AB上的点，连接ME，将正方形ABCD沿ME折叠，使得点D落在边BC的中点Q处，点A的对应点为A′，若正方形ABCD的边长为6，请直接写出折痕ME的长．
【分析】（1）由“SAS”可证△ADM≌△DCN，可得∠DAM＝∠CDN，可证∠APD＝90°，由直角三角形的性质可求OB＝OP；
（2）由“HL”可证Rt△ADG≌Rt△DCH，可得∠DAG＝∠CDH，可证AG⊥DH，可得结论；
（3）由“ASA”可证△ADH≌△DCQ，可得DH＝CQ，由勾股定理可求AH的长，即可求解．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠ADM＝∠DCN＝90°，
在△ADM和△DCN，
，
∴△ADM≌△DCN（SAS），
∴∠DAM＝∠CDN，
∵∠CDN+∠ADP＝90°，
∴∠ADP+∠DAM＝90°，
∴∠APD＝90°，
∴AM⊥DN，
∵点O为AN的中点，∠ABC＝90°，AM⊥DN，
∴OB＝OP＝AN，
故答案为：OB＝OP；
（2）ME⊥NF，理由如下：
如图②，过点A作AG∥EM，交CD于点G，过点D作DH∥FN，交BC于点H，

又∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形AGME是平行四边形，四边形DFNH是平行四边形，
∴FN＝DH，AG＝EM，
∵ME＝NF，
∴DH＝AG，
又∵AD＝DC，
∴Rt△ADG≌Rt△DCH（HL），
∴∠DAG＝∠CDH，
∵∠DAG+∠AGD＝90°，
∴∠CDH+∠AGD＝90°，
∴AG⊥DH，
∵FN∥DH，AG∥EM，
∴ME⊥NF；
（3）如图3，连接DQ，过点A作AH∥EM，交CD于H，

∵将正方形ABCD沿ME折叠，
∴DQ⊥ME，
∵AB∥CD，AH∥EM，
∴四边形AEMH是平行四边形，DQ⊥AH，
∴AH＝ME，∠CDQ+∠AHD＝90°，
又∵∠DAH+∠AHD＝90°，
∴∠DAH＝∠CDQ，
又∵∠ADC＝∠DCQ＝90°，AD＝CD，
∴△ADH≌△DCQ（ASA），
∴DH＝CQ，
∵正方形ABCD的边长为6，点Q是BC的中点，
∴AD＝6，CQ＝3＝DH，
∴AH＝＝＝3，
∴ME＝3．
【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，折叠的性质，直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造平行四边形是解题的关键．