贵州省六盘水市2022-2023学年高一数学下学期期末教学质量监测试题（Word版附解析）

六盘水市2022-2023学年度第二学期期末教学质量监测

高一年级数学试题卷

（考试时间：120分钟  试卷满分：150分）

注意事项：

1.答题前，务必在答题卷上填写姓名和考号等相关信息并贴好条形码.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卷上，写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将答题卷交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由集合的补集和交集的运算法则求解.

【详解】集合，，，

则，得

故选：D

2. 设复数（其中为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（    ）

A. 第一象限 B. 第二象限

C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】A

【解析】

【分析】由复数的乘法化简，再由复数的几何意义求对应的点所在象限。

【详解】，则复数在复平面内对应的点是，位于第一象限.

故选：A

3. 已知函数，则“”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】由充分条件和必要条件的定义，结合正切函数的性质求解.

【详解】时，解得，不能得到；

时，则有.

所以“”是“”的必要不充分条件.

故选：B

4. 已知向量，且，则（    ）

A. -2 B.  C.  D. 2

【答案】B

【解析】

【分析】由向量共线的坐标表示求解即可.

【详解】因为，且，

所以，解得；

故选：B.

5. 已知，，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由同角三角函数的关系和诱导公式求值.

【详解】由，，则有，

所以.

故选：A

6. 乌蒙铁塔位于贵州省六盘水市人民广场中央，由铁塔主体、铁塔基座、八角形平台、十二生肖书法雕塑铭文说明、十二生肖书法雕塑说明等五部分组成，塔体上以四种书体、384个文字集中概述凉都的变迁，被誉为凉都六盘水的标志性建筑之一.某学生想要测量塔的高度，选取与塔底在同一个水平面内的两个测量基点与B，现测得，，米，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高为（    ）米.

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】中，由正弦定理求出，中，由求出结果.

【详解】中，，，则，

由正弦定理，，则米，

中，米.

故选：C

7. 设，，，则，，的大小关系（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据指数函数与幂函数的性质，得到，由对数函数的性质得到，即可求解.

【详解】由对数函数的性质，可得，

又由指数函数的性质，可得，

由幂函数在为单调递增函数，可得，所以，

所以，即.

故选：D.

8. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到20～79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1mg/mL.如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶?（    ）（参考数据：，，）

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

【答案】C

【解析】

【分析】设经过个小时才能驾驶，则，再根据指数函数的性质及对数的运算计算可得.

【详解】设经过个小时才能驾驶，则，

即，

由于在定义域上单调递减，

∴，

∴他至少经过小时才能驾驶.

故选：C

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 下列命题为真命题的是（    ）

A. ，

B. ，

C. 若函数为奇函数，则

D. 若，则

【答案】AB

【解析】

【分析】根据正弦函数的性质，可判定A正确；根据指数函数的性质，可判定B正确；根据奇函数和，可得，可判定C、D错误.

【详解】对于A中，由正弦函数的性质，可得，，所以为真命题；

对于B中，当时，可得，所以命题，为真命题；

对于C中，函数为定义域上的奇函数，但无意义，所以C为假命题；

对于D中，当，可得，所以，则是假命题.

故选：AB.

10. 某市为响应教育部《切实保证中小学每天一小时校园体育活动的规定》号召，提出“保证中小学生每天一小时校园体育活动”的倡议.在某次调研中，甲、乙两个学校学生一周的运动时间统计如下表：

记这两个学校学生一周运动的总平均时间为，方差为，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】BC

【解析】

【分析】根据平均数和方差的计算公式求解.

【详解】依题意，总平均时间为，

方差为.

故选：BC

11. 把函数的图像向左平移个单位长度，再把横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到函数的图像，下列关于函数的说法正确的是（    ）

A. 最小正周期为

B. 在区间上的最大值为

C. 图像的一个对称中心为

D. 图像的一条对称轴为直线

【答案】ACD

【解析】

【分析】先根据平移变换和周期变换的原则求出函数的解析式，再根据余弦函数的性质逐一分析判断即可．

【详解】函数的图像向左平移个单位长度，得函数的图像，再把横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到函数的图像，

则函数的最小正周期，故A选项正确；

区间时， ，所以，故B选项错误；

由，解得，则函数图像的对称中心为，

当时，是函数图像的一个对称中心，故C选项正确；

由，解得，所以函数图像的对称轴为直线，

当时， 函数图像的一条对称轴为直线，故D选项正确．
故选：ACD．

12. 如图，在正方体中，，分别是棱，上的动点，且，则下列结论中正确的是（    ）

A. ，，，四点共面

B.

C. 三棱锥的体积与点的位置有关

D. 直线与直线所成角正切值最大值为

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用平行线确定唯一平面验证A选项；通过三垂线定理验证选项B；对通过转化锥体顶点来证明锥体体积不变验证选项C；将异面直线转化成相交直线，再用函数思想可判断D选项．

【详解】对于A，过N作于E点，连接，如图所示，

则，又，四边形为平行四边形，∴，

又，且，∴四边形为平行四边形，∴，

∴，则有，，，四点共面，A选项正确；

对于B，连接，正方体中，平面，平面，则，

正方形中，，

平面，，则有平面，

平面，所以，B选项正确；

对于C，连接，连接与相交于点，则为和的中点，

连接，如图所示，

，所以有，

由，平面，所以平面，

设四边形的面积为，则，

由，则梯形的面积为，

，

则，为定值，C选项正确；

对于D，过点N作交于点H，连接，如图所示，

则为直线与直线所成的角，有，其中为定值，若直线与直线所成角的正切值最大，只需最大，

设正方体边长为，则，

显然当与点重合，与点重合，与点重合，最大，最大值为，此时 ，即直线与直线所成角正切值的最大值为，D选项正确.

故选：ABD

点睛】方法点睛：

空间图形中的位置关系和角度、距离、面积、体积等问题，关键是能够对给出的空间图形进行恰当的分析，从图形中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，如有正方体等特殊图形，更要充分利用好图形的结构特征．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. ________.

【答案】

【解析】

【分析】根据对数的运算法则及指数对数恒等式计算可得.

【详解】.

故答案为：

14. 我国古代数学名著《九章算术》有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡三百人，南乡两百人，凡三乡，发役六十人，而北乡需遗十，问北乡人数几何?”其意思为：今有某地北面若干人，西面有300人，南面有200人，这三面要征调60人，而北面共征调10人（用分层抽样的方法），则北面共有________人.

【答案】100

【解析】

【分析】根据分层抽样的定义结合题意列方程求解即可．

【详解】设北面共有x人，则由题意可得，解得，
所以北面共有100人.

故答案为：100．

15. 已知，，则在方向上的投影向量坐标为________.

【答案】

【解析】

【分析】首先求出的坐标，再根据在方向上的投影向量为计算可得.

【详解】因为，，

所以，

所以，，

所以在方向上的投影向量为.

故答案为：

16. 如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则___________；平面图形以所在直线为轴旋转一周所得立体图形的体积为_________.

【答案】    ①.     ②.

【解析】

【分析】由斜二测画法原理可得平面图形是直角梯形，进而可求；直角梯形以所在直线为轴旋转一周所得立体图形为圆台，可求其体积.

【详解】由平面图形的直观图的斜二测画法原理可知，平面图形是直角梯形，如图：

其中，，，，

过作交于，则为的中点，

在中，，，

所以；

将直角梯形以所在直线为轴旋转一周所得立体图形为圆台，

其上底面圆的半径为，下底面圆的半径为，高为，

故此圆台体积为.

故答案为：；

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知函数的最小正周期为.

（1）求的值；

（2）求函数的单调递增区间.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由周期求出，即可求出函数解析式，再代入计算可得；

（2）根据正弦函数的性质计算可得.

【小问1详解】

由题可知，，又，所以，

所以，

所以.

【小问2详解】

令，

解得，

所以函数的单调递增区间为.

18. 我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出.某市政府为了减少水资源的浪费，计划对居民用水费用实施阶梯式水价制度，即确定月均用水量标准，月均用水量不超过的部分按平价收费，超过的部分按议价收费.为了确定一个较为合理的用水标准，某政府部门通过简单随机抽样，获得了100户居民用户的月均用水量数据（单位：），并绘制如图所示的频率分布直方图.

（1）求的值及估计该市居民用户月均用水量的众数；

（2）为使该市75%的居民用户不受议价收费的影响，请确定的值（小数点后保留一位有效数字）.

【答案】（1），众数为7.5   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用频率分布直方图中所有矩形的面积之和为1求的值，利用频率分布直方图中的最高矩形求众数；

（2）分别求出前2组，前3组的频率和，估计出x的范围，再根据分位数建立方程求解．

【小问1详解】

由图可知：

解得：

又最高小矩形下边中点的横坐标为7.5，所以估计该市居民用户月均用水量的众数为7.5.

【小问2详解】

由图可知：居民用户月均用水量在区间的频率分别为：0.2，0.3，0.26，

又，，所以，

由，解得.

19. 在中，角所对的边分别为，且面积为，若.

（1）求；

（2）若，，且，求.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据题意，利用三角形的面积公式和余弦定理，得到，即可求解；

（2）由，得到，进而得到，结合题意，利用向量的数量积的运算公式，即可求解.

【小问1详解】

在中，因为，可得，

两边同除得，所以，即，

又因为，所以.

【小问2详解】

因为，所以

又因为

则

又由，，，

所以，，

所以.

20. 在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为“鳖臑”.如图，在三棱锥中，为直角，底面.

（1）求证：三棱锥为“鳖臑”；

（2）若，是的中点，求与平面所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据线面垂直得到，，，再由，即可得到平面，从而得证；

（2）过点作的垂线，交于点，连接，即可证明平面，则为直线与平面所成角，利用锐角三角函数计算可得.

【小问1详解】

由平面，平面，

所以，

即、为直角三角形，

又为直角三角形，则，即为直角三角形，

又，平面，则平面，

平面，所以，所以为直角三角形，

所以三棱锥为“鳖臑”.

【小问2详解】

设，则，

，，

过点作的垂线，交于点，连接，

由（1）知平面，平面，则，

又在等腰三角形中，，，平面，

所以平面，即为直线与平面所成角，

又，，

所以，

所以直线与平面所成角的正弦值为.

21. 已知函数.

（1）当时，在平面直角坐标系中画出函数的图象，并求出函数在上的值域；

（2）讨论函数的定义域、奇偶性、单调性.（单调性只写结论，无需说明理由）

【答案】（1）作图见解析，   

（2）答案见解析

【解析】

【分析】（1）当时，得到，作出函数的图象，结合图象求得函数的最值，即可求得函数的值域；

（2）根据函数的解析式，得到函数的定义域，再由奇偶性的判定方法，得到函数为奇函数，结合函数的性质，得出函数的单调性区间.

【小问1详解】

解：当时，函数，函数的图象，如图所示，

由图象可知：当时，取最小值为

当时，取最大值为

所以函数在区间上的值域为.

  【小问2详解】

解：由，可得，所以函数的定义域，

又由，所以为奇函数，

当时，在和上为单调递增函数

在和上为单调递减函数

当时，在和上为单调递增函数

22. 在正方体中，为上的一个动点，如图所示：

（1）求证：平面；

（2）若为正方体表面上一动点，且，若，求点运动轨迹的长度.

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）由题意可证平面，平面，所以平面平面，从而可得结论；

（2）由题可知，点只能在正方形，，面上运动，若点在正方形面上，点在以为圆心，为半径的圆弧上，圆弧，同理可得圆弧，圆弧，可得点的轨迹长度.

【小问1详解】

在正方体中，连接，

又，，所以，

所以四边形为平行四边形，所以，

又平面，平面，所以平面，

同理可得：平面，

又平面，，

所以平面平面，

又平面，所以∥平面，

【小问2详解】

由题可知，，点只能在正方形，，面上运动，

若点正方形面上，

∵面，面，∴,

又，，∴,

所以点在以为圆心，为半径的圆弧上，圆弧，

同理可得圆弧，圆弧，

所以点的轨迹长度为.