2024高考数学第一轮复习：4.3 三角函数的图象与性质（原卷版）

4.3  三角函数的图象与性质

思维导图

知识点总结

1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式

(1)公式C(α－β)：

cos(α－β)＝        ；

(2)公式C(α＋β)：

cos(α＋β)＝        ；

(3)公式S(α－β)：

sin(α－β)＝         ；

(4)公式S(α＋β)：

sin(α＋β)＝         ；

(5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝         ；

(6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝         .

2.辅助角公式

asin α＋bcos α＝               ，其中sin φ＝，cos φ＝.

[常用结论]

两角和与差的公式的常用变形：

(1)sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β；

(2)cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β；

(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)，

tan αtan β＝1－＝－1.

3.二倍角的正弦、余弦、正切公式

(1)公式S2α：sin 2α＝            .

(2)公式C2α：cos 2α＝            ＝               ＝            .

(3)公式T2α：tan 2α＝         .

[常用结论]

1.降幂公式：cos2α＝，sin2α＝，tan2α＝.

2.升幂公式：1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，

1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，

1±sin 2α＝(sin α±cos α)2.

4.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图

(1)正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，，(π，0)，       ，(2π，0).

(2)余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，，       ，，(2π，1).

5.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)

[常用结论]

1.对称性与周期性

(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期.

(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.

2.若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则

(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z).

(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z).

3.对于y＝tan x不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间(k∈Z)内为增函数.

典型例题分析

考向一  公式的基本应用

例1 (1)若cos α＝－，α是第三象限的角，则sin＝(　　)

A.  B.－ 

C.－  D.

答案　B

解析　∵α是第三象限角，∴sin α＜0，

且sin α＝－＝－＝－，

因此，sin＝sin αcos ＋cos αsin ＝×＋×＝－.

(2)已知sin α＝，α∈，tan(π－β)＝，则tan(α－β)的值为(　　)

A.－  B. 

C.  D.－

答案　A

解析　∵α∈，

∴cos α＝－，tan α＝－，

又tan(π－β)＝，∴tan β＝－，

∴tan(α－β)＝＝＝－.

感悟提升　1.使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征.

2.使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值.

考向二 给值求值

例2 (1)(2023·淄博模拟)已知α∈，且cos 2α＝sin，则sin 2α＝(　　)

A.－  B. 

C.－1  D.1

答案　C

解析　∵cos 2α＝sin＝(sin α＋cos α)，

∴cos2α－sin2α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝(cos α＋sin α)，

∴(cos α＋sin α)＝0，

∴cos α＋sin α＝0或cos α－sin α＝，

由cos α＋sin α＝0平方可得1＋sin 2α＝0，

即sin 2α＝－1，

由cos α－sin α＝平方可得1－sin 2α＝，

即sin 2α＝，

因为α∈，

所以2α∈(－π，0)，sin 2α＜0，

综上，sin 2α＝－1.

(2)(2021·全国甲卷)若α∈，tan 2α＝，则tan α＝(　　)

A.  B. 

C.  D.

答案　A

解析　因为tan 2α＝＝，

且tan 2α＝，

所以＝，解得sin α＝.

因为α∈，

所以cos α＝，tan α＝＝.

感悟提升　给值求值问题，要注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向：

(1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；

(2)寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系.

基础题型训练

一、单选题

1．已知x∈[0，2π]，如果y = cosx是增函数，且y = sinx是减函数，那么（    ）

A． B．

C． D．

2．下列四个函数中，在其定义域上既是奇函数又是增函数的是 （    ）

A． B．y=tan x

C．y=lnx D．y=x|x|

3．已知函数y＝f（x）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式最可能是（   ）

A．y＝xcosx B．y＝sinx－x2 C． D．y＝sinx＋x

4．如果函数的相邻两个零点之间的距离为，则的值为（   ）

A．3 B．6 C．12 D．24

5．在下面给出的函数中,哪一个函数既是区间上的增函数又是以为周期的偶函数(   )

A． B．

C． D．

6．已知函数，下列结论错误的是（    ）

A．函数是偶函数

B．函数的最小正周期为

C．函数在区间上单调递增

D．函数的图象关于直线对称

二、多选题

7．若函数的最小正周期为，则的值可能是（    ）

A．2 B． C． D．-2

8．关于函数，下列结论正确的是（    ）

A．该函数的其中一个周期为

B．该函数的图象关于直线对称

C．将该函数的图象向左平移个单位长度得到的图象

D．该函数在区间上单调递减

三、填空题

9．函数的最小正周期为，则______.

10．函数的最小正周期是，则______.

11．若函数的图象关于直线对称，则常数的一个取值为______.

12．函数的局部图象如图所示，则该函数的解析式为________.

四、解答题

13．求下列函数的最小正周期．

（1）f(x)＝cos；

（2）y＝4sin (a≠0)．

14．利用“五点法”作出函数，的简图．

15．函数的一个零点为，其图象距离该零点最近的一条对称轴为．

（1）求函数的解析式及函数的对称中心；

（2）若关于x的方程在区间上总有两个不同的实数解，求实数k的取值范围．

16．已知函数.

（1）求的最小正周期；

（2）当时，求的最值.

提升题型训练

一、单选题

1．下列函数不是偶函数的是（    ）

A． B．

C． D．

2．函数的图象大致是（    ）

A． B．

C． D．

3．如图是函数的部分图像，则（    ）．

A． B．

C． D．

4．设函数在区间上恰好有条对称轴，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

5．已知函数f(x)＝sin(2x＋α)在x＝时有极大值，且f(x－β)为奇函数，则α，β的一组可能值依次为(　　)

A． B．

C． D．

6．函数的部分图象大致是（    ）

A． B．

C． D．

二、多选题

7．已知函数的最小正周期为π，则（    ）

A．

B．函数为奇函数

C．函数在上单调递减

D．直线是图象的一条对称轴

8．设，函数在区间上有零点，则的值可以是（    ）

A． B． C． D．

三、填空题

9．为偶函数，则___________.（写出一个值即可）

10．设点是的图像的一个对称中心，若到图像的对称轴的距离的最小值是，则的最小正周期是_________.

11．给出下列四个结论：①；②；③；④.其中正确结论的序号是________.

12．已知函数，设方程的根从小到大依次为，且，则___________.

四、解答题

13．已知是以为周期的偶函数，且时，，当时，求的解析式．

14．已知函数（其中，，,）的部分图象如图所示．

(1)求，，的值；

(2)求的单调增区间.

15．已知向量，，函数.

（1）求图象的对称中心；

（2）若动直线与函数和函数的图象分别交于、两点，求线段的长度的取值范围.

16．已知函数的最小值为.最大值为4，求a和b的值．