2024高考数学第一轮复习：4.4 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象与性质（原卷版）

4.4   函数 y=Asin(ωx+φ)的图象与性质

思维导图

知识点总结

1.用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)一个周期内的简图时，要找五个关键点

2.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径

3.函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念

[常用结论]

1.函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”.

2.由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度.

典型例题分析

考向一 公式的逆用及变形

角度1　公式的活用

例1 (1)(2023·濮阳一模)cos 40°sin 70°－sin 40°·sin 160°＝(　　)

A.－  B. 

C.－  D.

(2)若α＋β＝－，则(1＋tan α)(1＋tan β)＝________.

角度2　辅助角公式的运用

例2 化简：(1)sin －cos ；(2)－.

感悟提升　三角函数公式活用技巧

(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式.

(2)tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一.应注重公式的逆用和变形使用.

考向二 三角函数式的化简

例3 (1)化简：＝________.

(2)化简：(－tan )·＝________.

感悟提升　1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征.

2.三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点.

考向三 三角函数求值问题

角度1　给角求值

例4 (1)sin 40°(tan 10°－)等于(　　)

A.2  B.－2 

C.1  D.－1

(2)cos 20°·cos 40°·cos 100°＝________.

角度2　给值求值

例5 (1)(2023·安徽名校联考)已知cos＝，则sin＝(　　)

A.－  B. 

C.－  D.

(2)(2023·铁岭质检)已知＋tan θ＝2，则tan 的值为(　　)

A.3  B.或－1 

C.  D.

角度3　给值求角

例6 已知α，β均为锐角，cos α＝，sin β＝，则cos 2α＝________

2α－β＝________.

感悟提升　1.给值(角)求值问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法.

2.给值(角)求值问题的一般步骤

(1)化简条件式子或待求式子；

(2)观察条件与所求之间的联系，从函数名称及角入手；

(3)将已知条件代入所求式子，化简求值.

考向四  三角恒等变换的应用

例7 设函数f(x)＝sin x＋cos x(x∈R).

(1)求函数y＝的最小正周期；

(2)求函数y＝f(x)f在上的最大值.

感悟提升　三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式再研究其性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题.

考向五  函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换

例8已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－<φ<)的最小正周期是π，且当x＝时，f(x)取得最大值2.

(1)求f(x)的解析式；

(2)作出f(x)在[0，π]上的图象(要列表)；

(3)函数y＝f(x)的图象可由函数y＝sin x的图象经过怎样的变换得到？

迁移 本例已知条件不变，第(3)问改为：函数y＝f(x)的图象可由函数y＝cos x的图象经过怎样的变换得到？

感悟提升　作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象常用如下两种方法：

(1)五点法作图，用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象；

(2)图象的变换法，由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.

基础题型训练

一、单选题

1．要得到函数的图象，只需将函数的图象上的所有点沿轴

A．向右平移1个单位长度 B．向左平移3个单位长度

C．向左平移1个单位长度 D．向右平移3个单位长度

2．把函数的图象向右平移个单位，得到的函数解析式为

A． B．

C． D．

3．已知函数的图象向右平移个单位长度，则平移后图象的对称中心为（    ）

A． B．

C． D．

4．函数 在一个周期内的图像如图所示，则此函数的解析式为(　　)

A． B．

C． D．

5．将函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是（    ）

A． B．

C． D．

6．已知函数，若在上有且只有3个零点，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

7．要得到函数的图象，只需将函数图象上所有点的坐标（    ）

A．向右平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）

B．向左平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）

C．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度

D．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度

8．已知函数的部分图像如图所示，将的图像向右平移个单位后，得到函数的图像，若对于任意的，则值可以为（    ）

A． B． C． D．

三、填空题

9．在平面直角坐标系中，将曲线上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的倍，所得新的曲线方程为__________.

10．若将函数的图象沿轴向右平移个单位后所得的图象与的图象关于轴对称，则的最小值为________________.

11．已知 ，若对任意 ，都有，则的最大值为________.

12．下列四个命题：

①函数的值域是，则函数的值域为；

②把函数图像上的每一个点的横坐标伸长到原来的4倍，然后再向右平移个单位得到的函数解析式为；

③已知，则与共线的单位向量为；

④一条曲线和直线的公共点个数是m，则m的值不可能是1.

其中正确的有___________（写出所有正确命题的序号）.

四、解答题

13．函数的图像可以通过函数的图像经过怎样的平移得到？解释你的结论.

14．已知函数（，，）的一段图像如下图所示，

（1）求函数的解析式；

（2）求函数的单调增区间；

15．已知函数（，，）的部分图像如图所示．

(1)求函数的解析式；

(2)求不等式的解集．

16．设函数，其中，已知

（1）求；

（2）将函数的图像上的各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像上，求在上的最小值.

提升题型训练

一、单选题

1．要得到函数，的图像，只需把函数，的图像（    ）

A．向右平移个单位 B．向右平移个单位

C．向左平移个单位 D．向左平移个单位

2．将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若函数在上单调递增，则的最大值为（    ）

A．2 B． C． D．4

3．要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ）.

A．向右平移个单位 B．向左平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位

4．已知函数（其中），若对任意，存在，使得，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

5．已知函数的最小正周期为，将其图象向右平移个单位后得函数的图象，则函数的图象

A．关于直线对称 B．关于直线对称

C．关于点对称 D．关于点对称

6．函数（其中，）的图象如图所示，为了得到的图象，则需将的图象（    ）

A．横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位

B．横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位

C．横坐标伸长到原来的倍，再向右平移个单位

D．横坐标伸长到原来的倍，再向右平移个单位

二、多选题

7．下列说法错误的是（    ）

A．函数的最小正周期是

B．函数是周期为的奇函数

C．函数最小正周期为

D．若对，满足，，则函数周期为

8．已知函数相邻的最高点的距离为，则下列结论正确的是（    ）

A．函数的图象关于点中心对称

B．函数在区间上的值域为

C．将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，然后向左平移个单位得的图象

D．若，则

三、填空题

9．函数的初相是_________

10．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则的值是_____．

11．将函数的图象向右平移个单位长度得到图像，则下列说法中正确的是______________（填序号）.

①函数的最小正周期是；          ②图像关于直线对称；

③函数在区间上单调递减；    ④图像关于点对称；

12．已知函数，，则下列结论中正确的是______，

①若，则将图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称

②若，且的最小值为，则

③若在上单调递增，则的取值范围为

④当时，在有且只有3个零点

四、解答题

13．函数的图像可以通过函数的图像经过怎样的平移得到？解释你的结论.

14．已知函数的最小正周期为，且.

（1）求和的值.

（2）将函数的图象向右平移个单位长度(纵坐标不变)，得到函数的图象，

①求函数的单调递增区间；

②求函数在上的最大值.

15．已知函数.

（1）求函数的最大值和最小值,并求取得最大值和最小值时对应的的值；

（2）设方程在区间内有两个相异的实数根，求的值.

16．函数在一个周期内的图象如图所示，为图象的最高点，，为图象与轴的交点，为等边三角形.将函数的图象上各点的横坐标变为原来的倍后，再向右平移个单位，得到函数的图象.

（Ⅰ）求函数的解析式；

（Ⅱ）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.