2024高考数学第一轮复习：4.5 简单的三角恒等变换（解析版）

这是一份2024高考数学第一轮复习：4.5 简单的三角恒等变换（解析版），共24页。
4.5  简单的三角恒等变换思维导图 知识点总结  半角公式 (由降幂公式可得)证明  由降幂公式得，则；由降幂公式得，则；.解释半角公式，利用表示了、、.  万能公式(由倍角公式可得)证明 ，则；，则；，则.解释万能公式，利用表示了、和.  和化积公式(由和差公式可得)证明 .其他类似证明. 4 积化和公式(由和差公式可得)证明由和化积公式可得 令，，则，，则公式变成.其他类似证明.解释积化和公式相当于和化积公式的逆运算. 典型例题分析考向一  公式直接应用例1  利用公式证明：（1）；        （2）.证明：（1）.（2）. 考向二 结合同角三角函数应用例2  已知，，，是第三象限角，求的值.解：由，，得.又由，是第三象限角，得.所以.考向三  三角恒等变换的综合应用例3  利用和（差）角公式计算下列各式的值：（1）；（2）；（3）.分析：和、差角公式把的三角函数式转化成了，的三角函数式.如果反过来，从右到左使用公式，就可以将上述三角函数式化简.解：（1）由公式，得.（2）由公式，得.（3）由公式及，得. 考向四  二倍角公式与和差角公式例4  已知，，求，，的值.分析：已知条件给出了的正弦函数值.由于是的二倍角，因此可以考虑用倍角公式.解：由，得.又，所以于是；；. 考向五  三角函数的证明问题例5  求证：（1）；（2）.证明：（1）因为，将以上两式的左右两边分别相加，得，即.（2）由（1）可得.    ①设，，那么，.把，的值代入①，即得.考向六  三角函数的应用问题例6  求下列函数的周期，最大值和最小值：（1）；    （2）.分析：便于求周期和最大值、最小值的三角函数式是，利用和角公式将其展开，可化为的形式.反之，利用和（差）角公式，可将转化为的形式，进而就可以求得其周期和最值了.解：（1）.因此，所求周期为，最大值为2，最小值为-2.（2）设，则.于是，，于是，所以.取，则，.基础题型训练 一、单选题1．（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用两角差的余弦公式即可求解.【详解】．故选：A.2．在中，若，，则的值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】先利用平方关系求出，再利用两角和的余弦公式将展开计算.【详解】在中，由，得，由，得，∴.故选：C.【点睛】本题主要考查两角和的余弦公式的应用，属于基础题.3．下列各数，，，中，最大的是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由两角和正弦公式，二倍角公式一、诱导公式等化简函数值，然后由三角函数性质判断．【详解】观察发现，而，，，故选：D．4．下列化简结果正确的个数为（    ）①        ②③                    ④A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】直接由诱导公式及和差角的正弦、余弦、正切公式以及倍角公式依次判断即可.【详解】，①正确；，②正确；，③正确；，④错误；正确的有3个.故选：C.5．已知为第三象限角，且，则的值为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据余弦的二倍角公式，结合同角的三角函数关系式、正弦和余弦的二倍角公式、正弦的两角差公式进行求解即可.【详解】由为第三象限角， 所以，，所以，，所以．故选：D【点睛】本题考查了同角的三角函数关系式的应用，考查了正弦、余弦二倍角公式，考查了两角差的正弦公式的应用，考查了数学运算能力.6．已知函数，则函数的最小正周期和最大值分别为（    ）A．和 B．和C．和 D．和【答案】C【解析】利用二倍角的正、余弦公式化简函数f（x），通过周期公式及三角函数的性质求解即可.【详解】因为 ∴T，函数的最大值为：．故选：C.【点睛】本题考查二倍角的余弦函数正弦函数的应用，三角函数的周期与最值的求法，属于基础题． 二、多选题7．将函数的图象向左平移个单位后，所得图象关于轴对称，则实数的值可能为（    ）A． B． C． D．【答案】BD【分析】利用辅助角公式可得，根据图象平移有，确定平移后的解析式，根据对称性得到的表达式，即可知可能值.【详解】由题意，得：，图象向左平移个单位，∴关于轴对称，∴，即，故当时，；当时，；故选：BD8．若函数，则（    ）A．的最大值是4B．的最小正周期是C．的图象关于直线对称D．在区间上单调递减【答案】BC【分析】由三角恒等变换可得，根据余弦函数的性质即可求其最值、最小正周期，以及对称轴、单调减区间，进而判断各选项的正误.【详解】，∴最大值为，最小正周期为，A错误，B正确；由关于对称，令，则，当时，C正确；由在递减，令，有，易知，D错误.故选：BC 三、填空题9．____．【答案】【分析】利用两角差的正弦公式即可得到化简结果【详解】又故答案为：或10．已知，则______【答案】【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换和角的变换的应用求出结果．【详解】由于，则，所以，．故答案为：【点睛】本题考查三角函数关系式的恒等变换，角的关系式的变换，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．11．在平面直角坐标系中,已知角的顶点和点重合,始边与轴的非负半轴重合,终边上一点的坐标为，则__________．【答案】【分析】由三角函数的定义与两角和的正切公式求解，【详解】由题可得，所以，故答案为：12．已知，则______.（用含的式子表示）【答案】【分析】已知式通分后逆用两角和的正弦公式，再由商数关系求得【详解】 ，.故答案为：． 四、解答题13．已知函数.（1）求函数的最小正周期和最大值；（2）求函数的单调减区间.【答案】（1）；（2）..【分析】（1）应用二倍角公式，将函数化为正弦型三角函数，即可求解；（2）根据正弦函数的单调递减区间结合整体代换，即可求出结论.【详解】（1），最小正周期为，最大值为；（2）由，，单调递减区间是.【点睛】本题考查二倍角公式化简函数，考查三角函数的性质，属于中档题.14．已知，且.则______.【答案】/【分析】利用同角三角函数的基本关系可求得的值，再利用二倍角的正切公式可求得结果.【详解】因为，且，所以，所以，所以.故答案为：.15．设函数（1）求函数的对称中心；    （2）求函数在上的单调递减区间．【答案】（1）对称中心为，；（2）递减区间.【分析】（1）利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式化简，利用三角函数的图象与性质求得对称中心．（2）根据三角函数的图象与性质求得函数的单调减区间．【详解】解：（1）因为所以，令，，求得．所以对称中心为， （2）令，求得，即函数的减区间为，又，所以函数的单调递减区间为【点睛】本题主要考查了三角函数图象与性质，三角函数恒等变换的应用．考查了学生对三角函数基础公式的应用，属于基础题．16．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，锐角α、β的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的正半轴重合，它们的终边与单位圆分别交于A、B两点，已知A、B两点的横坐标分别为和．(1)求，的值．(2)求，的值．【答案】(1)，；(2)，. 【分析】（1）根据给定条件，利用三角函数定义求出，再利用平方关系求解作答.（2）利用（1）的结论，利用二倍角的正余弦公式、和角的正余弦公式求解作答.【详解】（1）依题意，，而为锐角，所以，.（2）由（1）知，，，，于是，，所以，.   提升题型训练 一、单选题1．已知，为锐角，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知求出，再利用差的正切公式可求.【详解】因为，为锐角，所以.所以，，又，则.故选：C.2．已知，，则=（　　）.A． B． C． D．【答案】B【分析】利用两角差的正弦公式和余弦的倍角公式对已知等式化简，列方程组求解.【详解】，，，，由，解得.故选：B3．设，若，则（    ）．A． B． C． D．【答案】D【解析】结合余弦二倍角公式化简即可求解【详解】结合题干，由可得，即，所以或，故选：D．【点睛】本题考查二倍角余弦公式的使用，属于基础题4． （    ）A．4 B． C． D．【答案】D【分析】利用同角三角函数基本关系式，诱导公式和辅助角公式直接求解.【详解】.故选：D.5．已知，，则等于（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】把已知两等式平方后作和，结合同角三角函数平方关系和两角和差余弦公式可化简求得结果.【详解】由得：，由得：，两式相加得：，即，.故选：.【点睛】本题考查利用三角恒等变换公式化简求值的问题，涉及到同角三角函数平方关系的应用；关键是能够通过平方运算配凑出符合两角和差余弦公式的形式.6．已知，则A． B． C． D．【答案】B【解析】根据诱导公式以及两角差的正弦和正切公式求解即可.【详解】由已知, ,得,所以,显然,所以,所以.故选：B【点睛】本题考查三角函数的诱导公式和两角和公式,考查推理论证能力以及数形结合思想. 二、多选题7．计算下列各式，结果为的是（    ）A． B．C． D．【答案】AD【分析】运用诱导公式、辅助角公式、二倍角公式、和差角公式及切化弦化简计算即可.【详解】对于A项，，故A项成立；对于B项，，故B项不成立；对于C项，，故C项不成立；对于D项，，故D项成立.故选：AD.8．函数的部分图象如图所示，则下列正确的是（    ）A．θ的值可为B．若，则k为奇数C．若，则D．若，则的最大值要大于【答案】BCD【分析】由图象确定函数的周期求得，再由零点求得，从而得函数解析式，然后由结合正弦函数性质、辅助角公式，判断各选项．【详解】选项A，，，是的零点，由图象得，得，（以下只要取即可），A错；选项B，，则，，，故k为奇数，B对；选项C，由，可得，即对称轴为，，为其对称轴，C对；选项D，当，时，，设，易知的最大值是，所以的最大值为，大于，D对．故选：BCD． 三、填空题9．已知，，则______.【答案】【分析】利用二倍角展开，化简，再与联立即可解出．【详解】【点睛】本题考查解三角函数，注意隐含条件的使用．属于基础题10．已知，则的值为________．【答案】【分析】利用二倍角公式,和同角三角函数的关系，运用弦化切，代入可求得值.【详解】原式,又∵，∴原式，故答案为：.【点睛】本题考查同角三角函数的关系，和运用二倍角公式化简求值问题，关键在于将齐次式转化为正切的式子，属于基础题.11．化简(tan10°－)·＝________.【答案】-2【详解】(tan10°－)·＝(tan10°－tan60°)·＝·＝·＝·＝·＝－2.12．函数的单调递增区间为__________．【答案】【分析】先化简，然后根据正弦函数的单调性和题意的范围即可求得答案【详解】，由解得，又∵，∴，即的单调递增区间为，故答案为： 四、解答题13．证明下列各式.（1）；（2）.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】将等式右边用两角和与差的余弦公式展开计算可得左边.【详解】证明：（1）.（2）.【点睛】本题考查两角和与差的余弦公式，是基础题.14．已知函数的最大值是1.（1）求常数a的值；（2）求使成立的x的取值集合.【答案】（1）  （2）【分析】（1）对进行整理化简，然后根据最大值得到的值；（2）根据（1）将不等式转化为，从而解得解集.【详解】解：（1）根据三角函数的两角和与差公式可得：由于函数的最大值是1，所以即（2）由（1）知，由得：，即因此，即，故x的取值集合是.【点睛】本题考查三角恒等变形，根据函数的最值求参数的值，解正弦不等式，属于简单题.15．已知函数，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知．求：(1)的最小正周期；(2)在区间的取值范围．【答案】(1)选①；选②；选③(2)选①；选②；选③ 【分析】无论选择哪个条件，首先利用二倍角公式及辅助角公式将函数进行化简变形，（1）根据函数关系式直接写出周期；（2）利用整体思想结合三角函数的性质，用x的范围，求出或的范围，即可得到函数的值域．【详解】（1）解：若选①，，最小正周期为；若选②，，最小正周期为；若选③，，最小正周期为；（2）选①，因为，所以 ，所以取值范围为选②，因为，所以 所以取值范围为选③，因为，所以所以取值范围为16．在锐角中，．（1）求角A的大小；（2）求的最大值．【答案】（1）（2）【解析】（1）利用诱导公式、降幂公式和二倍角公式化简可得,进而求解即可；（2）,进而利用和角公式展开,整理可得,由的范围,进而求得最值.【详解】解:（1）因为,即,所以,即,所以,所以（2）由（1）,,因为锐角,所以,即,所以,当,即时,取得最大值为【点睛】本题考查利用诱导公式、降幂公式和二倍角公式化简求值,考查和角公式的应用,考查三角函数的最值问题.