2024高考数学第一轮复习：6.3 等比数列（原卷版）

6.3  等比数列

思维导图

知识点总结

1．等比数列的有关概念

2.等比数列的前n项和公式

Sn＝

典型例题分析

考向一 　等比数列基本量的运算

1．(2022·全国乙卷)已知等比数列{an}的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6＝(　 )

A．14       B．12        C．6  D．3

解析：选D　设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，由题意可得即

解得所以a6＝a1q5＝3，故选D.

2．(2023·岳阳模拟)河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，每上层的数量是下层的2倍，总共有1 016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列{an}，则log2a4的值为(　 )

A．4        B．5        C．6  D．7

解析：选C　根据题意，“浮雕像”从下到上构成公比为2的等比数列，设首项为a1，前n项和为Sn.于是S7＝＝1 016⇒a1＝8，则a4＝8×23＝26⇒log2a4＝log226＝6.故选C.

3．(2023·泸州模拟)记Sn为递增的等比数列{an}的前n项和，若a1＝1，S3＝a2，则S4＝______.

解析：设等比数列{an}的公比为q，由S3＝a2得，a1＋a2＋a3＝a2，即1＋q2＝q，解得q＝2或q＝，∵{an}是递增数列，∴q＝2，∴S4＝＝24－1＝15.

答案：15

方法总结

等比数列基本量运算的解题策略

(1)等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解．

(2)等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝＝.　　

考向二   等比数列的判定或证明

[典例]　已知数列{an}满足a1＝，a2＝1，an＋2＋4an＝5an＋1(n∈N*)．

(1)证明：数列{an＋1－an}是等比数列；

(2)求数列{an}的通项公式．

[解]　(1)证明：∵an＋2＋4an＝5an＋1，n∈N*， 

∴an＋2－an＋1＝4(an＋1－an)，n∈N*，

∵a1＝，a2＝1，∴a2－a1＝，

∴数列{an＋1－an}是以为首项，4为公比的等比数列．

(2)由(1)知，an＋1－an＝×4n－1＝22n－3，

当n≥2时，

an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1

＝22n－5＋22n－7＋22n－9＋…＋2－1＋2－1

＝＋＝(22n－3＋1)

当n＝1时，a1＝(2－1＋1)＝满足上式．

所以，an＝(22n－3＋1)(n∈N*)．

[方法技巧]　等比数列的判定方法

考向三   等比数列的性质

[典例]　(1)(2023·沈阳模拟)在等比数列{an}中，a2，a8为方程x2－4x＋π＝0的两根，则a3a5a7的值为(　 )

A．π        B．－π       C．±π          D．π3

(2)(2023·辽宁抚顺市第二中学模拟)若等比数列{an}的各项均为正数，且a1a10＝9，则log9a1＋log9a2＋…＋log9a10＝(　 )

A．6  B．5

C．4  D.

[解析]　(1)在等比数列{an}中，因为a2，a8为方程x2－4x＋π＝0的两根，所以a2a8＝π＝a，所以a5＝±，所以a3a5a7＝a＝±π.故选C.

(2)log9a1＋log9a2＋…＋log9a10＝log9[(a1a10)·(a2a9)·(a3a8)·(a4a7)·(a5a6)]＝log995＝5.

[答案]　(1)C　(2)B

[方法技巧]

(1)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．

(2)巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要．　　

基础题型训练

一、单选题

1．数列{an}的前n项和为Sn，若，且{an}是等比数列，则m＝（    ）

A．0 B．3 C．4 D．6

2．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走了里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了天后到达目的地.”则此人第天走了（    ）

A．里 B．里 C．里 D．里

3．设是首项为正数的等比数列,公比为则“”是“对任意的正整数”的

A．充要条件 B．充分而不必要条件

C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件

4．已知数列的前项和，则确定的最大正整数的值为（    ）

A． B． C． D．

5．在各项都为正数的等比数列中，，，则公比的值为（    ）

A． B． C． D．

6．已知数列的前项和为，其中，，，成等差数列，且，则（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

7．已知等比数列是单调数列，设是其前项和，若，，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

8．已知函数，则(  )

A．，，成等差数列 B．，，成等差数列

C．，，成等比数列 D．，，成等比数列

三、填空题

9．等比数列中，，，则__________

10．等比数列为非常数数列，其前项和是，当时，则公比的值为_____．

11．在递增的等比数列中，，，则________．

12．已知数列的前n项和为（其中t为常数），若为等比数列，则t=___________

四、解答题

13．已知等比数列的首项，公比，在中每相邻两项之间都插入3个正数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等比数列.

(1)求数列的通项公式；

(2)记数列前n项的乘积为，试问：是否有最大值？如果是，请求出此时n以及最大值；若不是，请说明理由.

14．已知数列满足，．

(1)证明：存在等比数列，使；

(2)若，求满足条件的最大整数．

15．已知等差数列的公差，且，的前项和为.

（1）若、、成等比数列，求的值.

（2）令，求数列的前项和．

16．已知是递增的等差数列，，，，分别为等比数列的前三项.

(1)求数列和的通项公式；

(2)删去数列中的第项（其中 ），将剩余的项按从小到大的顺序排成新数列，求数列的前n项和.

提升题型训练

一、单选题

1．已知等比数列的前项和为，，且，则（    ）

A．40 B．120 C．121 D．363

2．记等比数列的前项和为，已知，，则（    ）

A．180 B．160 C．210 D．250

3．等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q，若a1+a2+a3＝2，S6＝9S3，则S9＝（　　）

A．50 B．100 C．146 D．128

4．已知数列是等比数列，为其前n项和，若，，则（    ）

A．40 B．60 C．32 D．50

5．已知等比数列中，，则由此数列的奇数项所组成的新数列的前项和为（    ）

A． B． C． D．

6．已知为等比数列，若，且与的等差中项为，则的值为（    ）．

A．5 B．512

C．1024 D．64

二、多选题

7．记为数列的前n项和，若，且，，成等比数列，则（    ）

A．为等差数列 B．

C．，，成等比数列 D．有最大值，无最小值

8．以下关于数列的结论正确的是（    ）

A．若数列的前n项和，则数列为等差数列

B．若数列的前n项和，则数列为等比数列

C．若数列满足，则数列为等差数列

D．若数列满足．则数列为等比数列

三、填空题

9．若等比数列的前n项的和为，且满足，，则=__________.

10．已知为等比数列的前项和，，，则的值为______．

11．正项等比数列的前项和为，若，则________.

12．已知数列满足，，则满足不等式的的值为___________.

四、解答题

13．设为等差数列的前项和，已知，，既成等差数列，又成等比数列．

(1)求的通项公式；

(2)若，求数列的前项和．

14．设等比数列的前项和为，公比，.

(1)求数列的通项公式；

(2)求数列的前项和为.

15．在数列和等比数列中，，，.

（1）求数列及的通项公式；

（2）若，求数列的前n项和.

16．已知等差数列的前n项和为，，．数列满足．

（1）求数列与的通项公式；

（2）求数列的前n项和．