2024高考数学第一轮复习：7.1 不等式的性质（原卷版）

7.1  不等式的性质

思维导图

知识点总结

1.两个实数比较大小的方法

(1)作差法

(2)作商法

2.不等式的性质

性质1　若a>b，则b<a.

性质2　若a>b，b>c，则 .

性质3　若a>b，则a＋c    b＋c.

性质4　若a>b，c>0，则   ；

若a>b，c<0，则    .

性质5　若a>b，c>d，则a＋c    b＋d.

性质6　若a>b>0，c>d>0，则ac    bd.

性质7　若a>b>0，则an    bn(n∈N*).

[常用结论]

1.证明不等式的常用方法有：作差法、作商法、综合法、分析法、反证法、放缩法.

2.有关分式的性质

(1)若a>b>0，m>0，则<；>(b－m>0).

(2)若ab>0，则a>b⇔<.

(6)可开方性：a＞b＞0⇒      (n∈N，n≥2)．

典型例题分析

考向一 　比较数(式)的大小

例1 (1)若a＜0，b＜0，则p＝＋与q＝a＋b的大小关系为(　　)

A.p＜q  B.p≤q 

C.p＞q  D.p≥q

(2)eπ·πe与ee·ππ的大小关系为________.

感悟提升　比较大小的常用方法

(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论.

(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论.

考向二  构造法比较大小

例2 (1)若a，b∈[0，＋∞)，A＝＋，B＝，则A，B的大小关系是(　　)

A.A≤B  B.A≥B 

C.A＜B  D.A＞B

(2)若a＝，b＝，c＝，则(　　)

A.a<b<c  B.c<b<a

C.c<a<b  D.b<a<c

答案　B

考向三 不等式的基本性质

例3 (1)(多选)(2023·张家口一模)若a＞b，则下列不等式中正确的有(　　)

A.a－b＞0  B.2a＞2b

C.ac＞bc  D.a2＞b2

(2)(多选)(2023·泰州调研)若a＞b＞0＞c，则(　　)

A.＞  B.＞

C.ac＞bc  D.a－c＞2

感悟提升　解决此类题目常用的三种方法：

(1)直接利用不等式的性质逐个验证，要特别注意前提条件；

(2)利用特殊值排除法；

(3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数、对数、幂函数等函数的单调性进行判断.

考向四  不等式性质的综合应用

例4 (1)已知－1<x<4，2<y<3，则x－y的取值范围是________，3x＋2y的取值范围是________.

(2)已知a∈(－3，－2)，b∈(2，4)，则的取值范围是________.

感悟提升　利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围，解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围.

基础题型训练

一、单选题

1．若，则下列不等关系中一定成立的是（    ）

A． B．

C． D．

2．下列命题中成立的是（    ）

A．如果，，那么

B．如果，那么

C．如果，，那么

D．如果，，那么

3．已知，且，则下列不等式中一定成立的是（    ）

A． B．

C． D．

4．已知，下列不等式中正确的是（    ）.

A． B．

C． D．

5．若关于x的不等式组的解集为，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

6．设，，，为实数，满足，，，，则下列不等式正确的是(    )

A． B．

C． D．

二、多选题

7．若，则下列不等式不可能成立的是（    ）

A． B． C． D．

8．已知，，满足，且，则下列不等式中恒成立的有（    ）

A．， B． C． D．

三、填空题

9．不等式组的解集为________．

10．若、满足，则的取值范围是______．

11．已知实数x，y满足，，则的取值范围是___________．

12．若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是__．

四、解答题

13．（1）已知，求证：；

（2）已知，求的取值范围；

（3）已知，求的取值范围．

14．已知，，且满足，则的取值范围是？

15．证明下面的结论：

（1）如果，，且，那么；

（2）如果，，那么；

（3）如果，，那么；

（4）如果，，，那么.

16．已知，求证：；

提升题型训练

一、单选题

1．若非零实数a，b满足a>b，则下列不等式一定成立的是（    ）

A． B．-a>-b C． D．

2．若实数满足，则下列选项正确的是（    ）

A． B．

C． D．

3．已知，且，则下列结论中正确的是（    ）

A． B．

C． D．

4．已知，则下列不等式一定成立的是（    ）

A． B． C． D．

5．若，则下列各式一定成立的是（     ）

A． B． C． D．

6．下列命题中正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，，则 D．若，，则

二、多选题

7．下列说法正确的是（    ）

A．若a>b，c>d，则a-c>b-d B．若，则a>b

C．若，则 D．若，则

8．已知，则下列不等式恒成立的是（    ）

A． B．

C． D．

三、填空题

9．已知，，其中均为正数，则的大小关系为______.

10．已知，，则的取值范围是__________．

11．已知请比较下面两式大小:________

12．请根据“糖水加糖变得更甜了”提炼出一个不等式：______（设糖水为a克，含糖为b克，加入的糖为m克）．

四、解答题

13．已知，求证.

14．比较下列各组中的两个实数或代数式的大小:

（1）2x23与x2，x∈R；

（2）a2与，a∈R，且a≠1.

15．已知，．

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）证明：．

16．（1）比较和的大小；

（2）已知，，求的取值范围．