2024高考数学第一轮复习：8.2 空间点、直线、平面之间的位置关系（原卷版）

这是一份2024高考数学第一轮复习：8.2 空间点、直线、平面之间的位置关系（原卷版），共13页。试卷主要包含了与平面有关的基本事实及推论，基本事实4和等角定理，异面直线所成的角等内容，欢迎下载使用。
8.2   空间点、直线、平面之间的位置关系思维导图 知识点总结1.与平面有关的基本事实及推论(1)与平面有关的三个基本事实基本事实1：过      的三个点，有且只有一个平面.基本事实2：如果一条直线上的      在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有      过该点的公共直线.(2)“三个”推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.推论2：经过两条      直线，有且只有一个平面.推论3：经过两条      直线，有且只有一个平面.2.空间点、直线、平面之间的位置关系(1)空间中直线与直线的位置关系(2)空间中直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系有：直线在平面内、直线与平面      、直线与平面      三种情况.(3)空间中平面与平面的位置关系平面与平面的位置关系有      、      两种情况.3.基本事实4和等角定理(1)基本事实4：平行于同一条直线的两条直线      .(2)等角定理：如果空间中两个角的两边分别对应平行，那么这两个角      .4.异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任意一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫作异面直线a与b所成的角(或夹角).(2)范围：      .[常用结论]1.证明点共线与线共点都需用到基本事实3；2.两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角. 典型例题分析考向一 　基本事实的应用例1 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是AB，AA1的中点，连接D1F，CE.求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点.       感悟提升　共面、共线、共点问题的证明(1)证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内.(2)证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上.(3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点.考向二   空间两直线位置关系的判断例2 (1)(多选)已知A，B是不在平面α内的任意两点，则(　　)A.在平面α内存在直线与直线AB异面B.在平面α内存在直线与直线AB相交C.存在过直线AB的平面与平面α垂直D.在平面α内存在直线与直线AB平行    (2)如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示GH，MN是异面直线的图形的序号为________.       感悟提升　空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定.异面直线的判定可采用直接法或反证法；平行直线的判定可利用三角形(梯形)中位线的性质、基本事实4及线面平行与面面平行的性质定理；垂直关系的判定往往利用线面垂直或面面垂直的性质来解决.  考向三   求异面直线所成的角例3 (1)(2021·全国乙卷)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为(　　)A.  B.  C.  D.        (2) (1)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为(　　)A.  B.  C.  D.                 感悟提升　综合法求异面直线所成角的步骤：(1)作：通过作平行线得到相交直线；(2)证：证明所作角为异面直线所成的角(或其补角)；(3)求：解三角形，求出所作的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角. 基础题型训练 一、单选题1．已知，，，则与两边方向相同的等于（    ）A．60° B．60°或120° C．120° D．以上结论都不对2．在正方体中，异面直线与所成角的大小为A． B． C． D．3．异面直线上分别有4个点和5个点，由这9个点可以确定的平面个数是(    )A．20 B．9 C． D．4．已知、是不同的直线，、是不同的平面，下列命题中真命题为（    ）A．若∥，则∥ B．若∥，∥，则∥C．若∥，，则∥ D．若∥，∥，则∥5．平面的斜线l与平面交于点A，且斜线l与平面所成的角是，则与平面内所有不过点A的直线所成的角的范围是（    ）A． B． C． D．6．如图，在正四棱锥中，设直线与直线、平面所成的角分别为、，二面角的大小为，则（    ）A． B．C． D． 二、多选题7．下列命题中正确的是（    ）A．如果一个平面内有两条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行B．如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行C．分别在两个平行平面内的两条直线互相平行D．过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面平行8．已知m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ）A．若，，则；B．若，，，则；C．若，，则；D．若，，，则； 三、填空题9．正方体中，异面直线与所成角的大小为________．10．如图所示，正方形的边长为，已知， 将直角沿边折起，折起后点在平面上的射影为点，则翻折后的几何体中与所成角的正切值为_____．11．下列命题正确的有______①若直线与平面有两个公共点,则直线在平面内;②若直线上有无数个点不在平面α内,则∥α;③若直线与平面α相交,则与平面α内的任意直线都是异面直线;④如果两条异面直线中的一条与一个平面平行,则另一条直线一定与该平面相交;⑤若直线与平面α平行,则与平面α内的直线平行或异面;⑥若平面α∥平面β,直线aα,直线bβ,则直线a∥b.12．三棱锥P－ABC中，二面角P－AB－C为120°，和均为边长为2的正三角形，则三棱锥P－ABC外接球的半径为______． 四、解答题13．四条线段顺次首尾相接，所得的图形一定是平面图形吗？为什么？14．在四面体中，，分别是，的中点，，分别是边，上的点，且．求证：  (1)，，，四点共面；(2)直线，，相交于一点．15．空间四边形中，，点分别为对角线、的中点.（1）若直线与所成角为，求直线与所成角的大小；（2）若直线与所成角为，求直线与所成角的大小.16．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，∠BAC=90°，AC=AB=AA1，E是BC的中点．（1）求证：AE⊥B1C；（2）求异面直线AE与A1C所成的角的大小；（3）若G为C1C中点，求二面角C-AG-E的正切值．提升题型训练一、单选题1．给出下列三个命题：①若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都没有公共点；②若直线与平面所成角为，则经过有且只有一个平面与垂直；③平行于同一条直线的两个平面平行.其中正确命题的个数是（    ）A．0 B．1 C．2 D．32．设m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列说法正确的是（    ）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则3．给出以下结论：（1）直线∥平面，直线b⊂，则a∥b；   （2）若a⊂，b，则a、b无公共点；（3）若a，则a∥或a与相交；       （4）若a∩＝A，则a.正确的个数为（    ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．如图，在长方体中，，且为的中点，则直线与所成角的大小为（    ）  A． B． C． D．5．下列命题：①若mα，则m与α内的任何直线平行；②若α⊥β，bα，mβ，且b⊥m，则b⊥β；③若mα，nα，且mβ，nβ，则αβ；④若mα，nα，且a⊥m，a⊥n，则a⊥α；⑤若l1∩l2=P，l2∩l3=Q，l3∩l1=S(P、Q、S是不同的三点)，则l1，l2，l3共面；其中真命题的个数是（    ）A．0 B．1 C．2 D．36．如图，空间四边形ABCD中，AB＝CD，AB与CD所成角为，点E，F分别为BC，AD的中点，则直线AB与EF所成角为（    ）A．或 B． C． D．或 二、多选题7．给出以下说法,其中正确的是A．不共面的四点中,其中任意三点不共线B．若点共面,点共面,则点共面C．若直线共面,直线共面,则直线共面D．过直线外一点和直线上三点的三条直线共面8．如图，在长方体中，，M，N分别为棱的中点，则下列说法正确的是（    ）A．M，N，A，B四点共面 B．直线与平面相交C．直线和所成的角为 D．平面和平面的夹角的正切值为2 三、填空题9．设与的两边分别平行，若，则___________.10．若向量，，，且共面，则____.11．如图，在正方体中，，中点为P，则过P､A､C三点的截面面积为___________.12．已知a、b是异面直线，M为空间一点，M∉a，M∉b．给出下列命题：①存在一个平面α，使得b⊂α，a∥α；②存在一个平面α，使得b⊂α，a⊥α；③存在一条直线l，使得M∈l，l⊥a，l⊥b；④存在一条直线l，使得M∈l，l与a、b都相交．其中真命题的序号是_____．（请将真命题的序号全部写上） 四、解答题13．四条线段顺次首尾相接，所得的图形一定是平面图形吗？为什么？14．空间四边形中，分别在上，且满足，．  求证：三线共点．15．如图，在四面体中，，，．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求二面角的大小．16．已知S是矩形所在平面外一点，，，与所成角大小为，与所成角大小为，，分别求直线与的距离及与的距离．