2024高考数学第一轮复习：8.3 空间直线、平面的平行(原卷版)

8.3  空间直线、平面的平行

思维导图

知识点总结

1.直线与平面平行

(1)直线与平面平行的定义

如果一条直线a与一个平面α没有公共点，那么称直线a与平面α平行.

(2)直线与平面平行的判定定理与性质定理

2.平面与平面平行

(1)平面与平面平行的定义

如果两个平面没有公共点，那么称这两个平面互相平行.

(2)平面与平面平行的判定定理与性质定理

[常用结论]

1.平行关系中的三个重要结论

(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.

(2)平行于同一平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.

(3)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.

2.三种平行关系的转化

典型例题分析

考向一 　直线与平面平行的判定与性质

角度1　直线与平面平行的判定

例1 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E，F分别是BC，PD的中点，求证：

(1)PB∥平面ACF；

(2)EF∥平面PAB.

角度2　直线与平面平行的性质

例2 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和PA作平面交BD于点H.求证：PA∥GH.

感悟提升　1.判断或证明线面平行的常用方法

(1)利用线面平行的定义(无公共点).

(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α).

(3)利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β).

(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β).

2.应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面确定交线.

考向二  平面与平面平行的判定与性质

例3(1)如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形.

(1)求证：AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH；

(2)若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围.

 (2)如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，过BC的平面与上底面A1B1C1交于GH(GH与B1C1不重合).

(1)求证：BC∥HG；

(2)若E，F，G分别是AB，AC，A1B1的中点，求证：平面EFA1∥平面BCHG.

迁移 在本例中，若将条件“E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点”变为“点D，D1分别是AC，A1C1上的点，且平面BC1D∥平面AB1D1”，试求的值.

感悟提升　证明面面平行的常用方法

(1)利用面面平行的判定定理.

(2)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(l⊥α，l⊥β⇒α∥β).

(3)利用面面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(α∥β，β∥γ⇒α∥γ).

考向三   平行关系的综合应用

例4 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q分别为对角线BD，CD1上的点，且＝＝.

(1)求证：PQ∥平面A1D1DA；

(2)若R是AB上的点，的值为多少时，能使平面PQR∥平面A1D1DA？请给出证明.

感悟提升　证明平行关系的常用方法

熟练掌握线线、线面、面面平行关系间的相互转化是解决线线、线面、面面平行的综合问题的关键；面面平行判定定理的推论也是证明面面平行的一种常用方法.

基础题型训练

一、单选题

1．下列命题一定正确的是

A．三点确定一个平面 B．依次首尾相接的四条线段必共面

C．直线与直线外一点确定一个平面 D．两条直线确定一个平面

2．“直线与平面没有公共点”是“直线与平面平行”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

3．已知是不重合直线，是不重合平面，则下列命题

①若，则∥

②若∥∥，则∥

③若∥、∥，则∥

④若，则∥

⑤若，则∥

为假命题的是

A．①②③ B．①②⑤ C．③④⑤ D．①②④

4．如图在正四面体中，E，F分别为AB和AC的中点，则两条异面直线CE与DF所成角的余弦值（    ）

A． B． C． D．

5．已知两个平面，在下列条件下，可以判定平面与平面平行的是（    ）

A．都垂直于一个平面

B．平面内有无数条直线与平面平行

C．是内两条直线，且都与平面平行

D．是两条异面直线，且分别与平面都平行

6．设，为两个不同平面，，是两条不同的直线，则下列结论正确的是（    ）

A．若，，则

B．若，，则与是异面直线

C．若，，，则

D．若，则且

二、多选题

7．已知α、β为平面，A、B、M为点，a为直线，下列推理正确的是（    ）

A．，，，

B．，，

C．，

D．A、B、，A、B、，且A、B、M不共线、β重合

8．已知m，n是空间中两条不同的直线，，为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题不正确的是（    ）

A．若，则 B．若，，则

C．若，，则 D．若，，则

三、填空题

9．若两条直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是___________(从“平行，相交，异面”中选)

10．如图，正方体的所有棱中，其所在的直线与直线成异面直线的共有______条.

11．正方体中，棱长为2，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值是____________

12．已知是所在平面外的一点，分别是的中点，若，则异面直线与所成角的大小是___________.

四、解答题

13．如图，在长方体的六个表面中，指出在哪些平面内，与哪些平面相交，与哪些平面平行．

14．如图，正方体中，E为AB中点，F为正方形BCC1B1的中心．

（1）求直线EF与平面ABCD所成角的正切值；

（2）求异面直线A1C与EF所成角的余弦值．

15．如图，已知点分别为正方体的棱的中点，求证：三线共点．

16．在空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别边AB，BC上的点，且．求证：

(1)点E，F，G，H四点共面；

(2)直线EH，BD，FG相交于一点．

提升题型训练

一、单选题

1．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列正确的是（    ）

A．若，，则 B．若，，则

C．若，，则 D．若，，，则

2．设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题为真命题的是（    ）

A．若，，则

B．若，，则

C．若，，则，

D．若，，，则

3．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是

A．若 B．若

C．若 D．若

4．如图，在正四面体中，为中点，是棱上的动点，则当异面直线与所成角的正弦值最小时，（    ）

A． B． C． D．

5．已知正三棱柱中，，，点为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

6．在直三棱柱中，.，分别是、的中点，，则与所成角的余弦值为（  ）

A． B．

C． D．

二、多选题

7．已知直线与异面，则（    ）

A．存在无数个平面与都平行

B．存在唯一的平面，使与所成角相等

C．存在唯一的平面，使，且

D．存在平面，，使，且

8．如图所示是一个正方体的表面展开图，则在原正方体中，下列说法正确的是（    ）

A．与所在直线垂直 B．与所在直线平行

C．与所在直线异面 D．与所在直线成角

三、填空题

9．在长方体中，直线与直线的位置关系是_______________；

10．将正方体的表面的对角线称为面对角线.若a，b是任意两条面对角线，则a，b所成角的大小为______（写出所有可能的值）

11．下列四个命题：

①过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直；

②过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行；

③如果两个平行平面和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行；

④如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内点且垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内.

其中所有真命题的序号是_______.

12．在棱长为2的正方体中，已知点P为棱的中点，点Q为棱CD上一动点，底面正方形ABCD内的点M始终在平面上，则由所有满足条件的点M构成的区域的面积为______．

四、解答题

13．根据下列条件画出图形：平面平面直线，直线，直线，，.

14．如图，是正三角形所在平面外一点，分别是和的中点，且

（1）求证：是和的公垂线

（2）求异面直线和之间的距离

15．已知正方形ABCD的边长为2,AC∩BD=O.将正方形ABCD沿对角线BD折起,使AC=a,得到三棱锥A-BCD,如图所示.

(1)当a=2时,求证:AO⊥平面BCD.

(2)当二面角A-BD-C的大小为120°时,求二面角A-BC-D的正切值.

16．三棱柱的侧面为正方形，且为圆柱的轴截面，是弧的中点．求异面直线与所成角的余弦值．