2024高考数学第一轮复习：8.4 空间直线、平面的垂直（原卷版）

8.4  空间直线、平面的垂直

思维导图

知识点总结

1.直线与平面垂直

(1)直线和平面垂直的定义

如果直线a与平面α内的任意一条直线都垂直，那么就称直线a与平面α垂直.

(2)直线与平面垂直的判定定理与性质定理

2.直线和平面所成的角

(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的   所成的锐角叫作这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是    ；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°.

(2)范围：.

3.二面角

(1)定义：一条直线和由这条直线出发的    所组成的图形叫作二面角.

(2)二面角的平面角：一般地，以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角.

(3)二面角的范围：[0，π].

4.两个平面垂直

(1)两个平面垂直的定义

一般地，如果两个平面所成的二面角是   ，那么就说这两个平面互相垂直.

(2)两个平面垂直的判定定理与性质定理

[常用结论]

1.三个重要结论

(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.

(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法).

(3)垂直于同一条直线的两个平面平行.

2.三种垂直关系的转化

线线垂直线面垂直面面垂直

典型例题分析

考向一 　直线与平面垂直的判定与性质

1 (2023·镇江八校联考)如图，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，点E为垂足.

(1)求证：PA⊥平面ABC；

(2)当点E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形.

感悟提升　证明线面垂直的常用方法及关键

(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质.

(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.

考向二  平面与平面垂直的判定与性质

2 如图，四棱锥P－ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，M为BC的中点，且PB⊥AM.

(1)证明：平面PAM⊥平面PBD；

(2)若PD＝DC＝1，求四棱锥P－ABCD的体积.

感悟提升　1.面面垂直判定的两种方法与一个转化

(1)两种方法：

面面垂直的定义；

面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β).

(2)一个转化：

在已知两个平面垂直时，一般要用性质定理进行转化.在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.

2.面面垂直性质定理的应用

(1)两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”.

(2)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线垂直于第三个平面.

3. (2022·全国甲卷)小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒.包装盒如图所示，底面ABCD是边长为8(单位：cm)的正方形，△EAB，△FBC，△GCD，△HDA均为正三角形，且它们所在的平面都与平面ABCD垂直.

(1)证明：EF∥平面ABCD；

(2)求该包装盒的容积(不计包装盒材料的厚度).

考向三   平行、垂直关系的综合应用

4. 如图，在四棱锥S－ABCD中，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，△SAD为正三角形.侧面SAD⊥底面ABCD，E，F分别为棱AD，SB的中点.

(1)求证：AF∥平面SEC；

(2)求证：平面ASB⊥平面CSB；

(3)在棱SB上是否存在一点M，使得BD⊥平面MAC？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

感悟提升　1.垂直与平行的结合问题，求解时应注意平行，垂直性质及判定的综合应用.

2.三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化.

3.对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证.

5.(多选)如图，AC＝2R为圆O的直径，∠PCA＝45°，PA垂直于圆O所在的平面，B为圆周上不与点A、C重合的点，AS⊥PC于S，AN⊥PB于N，则下列结论正确的是(　　)

A.平面ANS⊥平面PBC B.平面ANS⊥平面PAB

C.平面PAB⊥平面PBC D.平面ABC⊥平面PAC

6.(2023·长沙调研)如图所示，已知四边形ABCD是由一个等腰直角△ABC和一个有一内角为30°的直角三角形ACD拼接而成，将△ACD绕AC边旋转的过程中，下列结论中不可能成立的是(　　)

A.CD⊥AB   B.BC⊥AD

C.BD⊥AB   D.BC⊥CD

7.(多选)(2023·青岛质检)四棱台ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，AA1⊥平面ABCD，则(　　)

A.直线AD与直线B1D1所成角为45°

B.直线AA1与直线CC1异面

C.平面ABB1A1⊥平面ADD1A1

D.CA1⊥AD

基础题型训练

一、单选题

1．已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，下列四个命题中，正确的为（    ）

A．若，，，则

B．若，，且，，则

C．若，，则

D．若，，，则

2．下列命题

①两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内；

②有三个角是直角的四边形是矩形；

③如果共点的三条直线两两垂直，那么它们中每两条直线确定的平面也两两垂直

④如果两条直线和一个平面所成的角相等，则这两条直线一定平行

⑤圆锥的顶点与底面上任意一点的连线是圆锥的母线；

其中正确命题的是(　　)

A．①②③ B．①②⑤ C．①③ D．②③⑤

3．已知a，b是两条直线，是一个平面，则下列判断正确的是（    ）

A．，，则  B．，，则

C．，，则 D．，，，则

4．已知底面是正方形的直四棱柱的外接球的表面积为，且，则与底面所成角的正切值为

A． B． C． D．

5．在三棱锥中，平面，，，.三棱锥的所有顶点都在球的表面上，则球的半径为（    ）

A． B．

C． D．

6．三棱锥底面是边长为的正三角形，，，两两成角相等，，，.则三棱锥外接球的体积为（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

7．已知两个平面垂直，下列命题错误的有（    ）

A．一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线

B．一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面的无数条直线

C．一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面

D．过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面

8．已知l，m，n为空间中三条不同的直线，，，为空间中三个不同的平面，则下列说法中正确的有（    ）

A．若，，，则

B．若，l，m分别与，所成的角相等，则

C．若，，，若，则

D．若，，，则

三、填空题

9．已知点，，，在同一个球的球表面上，平面，，，，则该球的表面积为________．

10．把边长为4的正方形ABCD沿对角线BD折成空间四边形ABCD，使得平面平面CBD.则空间四边形ABCD的对角线AC的长为__________.

11．如图为三棱锥的平面展开图，其中，，垂足为，则该三棱锥的体积为______．

12．在梯形中，，，，将沿对角线AC翻折到，连结MD．当三棱锥的体积最大时，该三棱锥的外接球的表面积为__________．

四、解答题

13．已知正方体ABCD-的棱长为2.

(1)求三棱锥的体积；

(2)证明：.

14．在三棱锥中，平面ABC，平面平面PBC.求证：.

15．如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，，，分别为，的中点．

（1）证明：平面；

（2）证明：平面．

16．如图所示，四棱锥，底面为四边形，，，，平面平面，，，

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）若四边形中，，，为上一点，且，求三棱锥体积.

提升题型训练

一、单选题

1．若直线平面，直线平面，则直线a与直线b的位置关系为（    ）

A．异面 B．相交 C．平行 D．平行或异面

2．设、、表示不同的直线，、、表示不同的平面，给出下列四个命题：

①若，且，则；

②若，，，则；

③若，且，则；

④若，，，则．

则正确的命题个数为　　

A．4 B．3 C．2 D．1

3．下列结论正确的是（    ）

A．如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合

B．若一条直线与一个平面内的两条直线都垂直，则该直线与此平面垂直

C．过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线

D．若两条直线和一个平面所成的角相等，则这两条直线一定平行

4．设为两条直线，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是

A．若与所成的角相等，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

5．等于90°的二面角内有一点，过有于点，于，如果，则到的距离为（    ）

A． B． C． D．

6．如图，正四棱锥（底面为正方形，顶点在底面的射影为底面正方形的中心）P-ABCD中，，点E为PB中点，若CE与PD所成的角余弦值为，则四棱锥P-ABCD的体积为（    ）

A． B．

C． D．

二、多选题

7．如图，以等腰直角三角形斜边上的高为折痕，把和折成互相垂直的两个平面后，某学生得出如下四个结论，其中正确的是（    ）

A． B．与平面的法向量平行

C． D．平面的法向量和平面的法向量互相垂直

8．已知直线a，b，c两两异面，且，，下列说法正确的是（    ）

A．存在平面α，β，使，，且，

B．存在平面α，β，使，，且，

C．存在平面γ，使，，且

D．存在唯一的平面γ，使，且a，b与γ所成角相等

三、填空题

9．已知正方体的棱长为1，则点B到直线的距离为_________．

10．如图，已知三棱锥的各棱长均为2，则平面和平面所成角的余弦值为：________．

11．已知六棱锥的底面是正六边形，平面，.则下列命题中正确的有_____．(填序号)

①PB⊥AD；

②平面PAB⊥平面PAE；

③BC∥平面PAE；

④直线PD与平面ABC所成的角为45°.

12．与不共面的四点等距离的平面有___________个.

四、解答题

13．如图所示，三棱锥的顶点为P，PA，PB，PC为三条侧棱，且PA，PB，PC两两互相垂直，又PA＝2，PB＝3，PC＝4，求三棱锥P－ABC的体积V.

14．如图，在四棱锥中，，平面，，点为线段的中点.

（1）求证：平面平面；

（2）求三棱锥的体积.

15．如图，在五面体中，四边形是矩形，平面，且，分别为的中点.

求证：（1）平面；

（2）平面.

16．如图，在直四棱柱中，四边形是菱形，分别是棱，的中点．

(1)证明：平面平面．

(2)若，，求点到平面的距离．