2024高考数学第一轮复习：8.7 向量法求距离、探索性及折叠问题（原卷版）

8.7  向量法求距离、探索性及折叠问题

知识点总结

1.点到平面的距离

若P是平面α外一点，PO⊥α，垂足为O，A为平面α内任意一点，设n为平面α的法向量，则点P到平面α的距离d＝     .

2.点到直线的距离

如图(1)，点P为直线l外一点，A是l上任意一点，在点P和直线l所确定的平面内，取一个与直线l垂直的向量n，则点P到直线l的距离为d＝   .

如图(2)，设e是直线l的方向向量，则点P到直线l的距离为d＝      .

3.线面距离、面面距离都可以转化为点到平面的距离.

典型例题分析

考向一 　　点到直线的距离

例1 如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD.若已知AB＝3，AD＝4，PA＝1，则点P到直线BD的距离为________.

考向二  点到平面的距离

例2 在棱长均为a的正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是侧棱CC1的中点，则点C1到平面AB1D的距离为(　　)

A.a  B.a

C.a  D.a

感悟提升　1.点线距的求解步骤：

直线的单位方向向量a→所求点到直线上一点的向量及其在直线的方向向量a上的投影向量→代入公式.

2.点面距的求解步骤：

(1)求出该平面的一个法向量；

(2)找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；

(3)求出法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值，再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离.

考向三 探索性问题

例3 (2023·厦门质检)在三棱柱ABC－A1B1C1中，四边形AA1B1B是菱形，AB⊥AC，平面AA1B1B⊥平面ABC，平面A1B1C1与平面AB1C的交线为l.

(1)证明：A1B⊥B1C.

(2)已知∠ABB1＝60°，AB＝AC＝2，l上是否存在点P，使A1B与平面ABP所成角为30°？若存在，求B1P的长度；若不存在，请说明理由.

感悟提升　1.对于存在判断型问题的求解，应先假设存在，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等.

2.对于位置探究型问题，通常借助向量，引进参数，综合已知和结论列出等式，解出参数.

训练2 如图，四棱锥S－ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点.

(1)求证：AC⊥SD；

(2)若SD⊥平面PAC，求平面PAC与平面DAC夹角的大小；

(3)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由.

考向四  折叠问题

例4(1)  (2023·济南调研)如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，将△ACD沿AC折起，使得

点D到达点P的位置，连接PB，PB＝.

(1)证明：平面PAB⊥平面ABC；

(2)求直线PC与平面ABC所成角的正弦值.

(2)(2023·苏北四市质检)已知一圆形纸片的圆心为O，直径AB＝2，圆周上有C，D两点.如图，OC⊥AB，∠AOD＝，点P是上的动点.沿AB将纸片折为直二面角，并连接PO，PD，PC，CD.

(1)当AB∥平面PCD时，求PD的长；

(2)当三棱锥P－COD的体积最大时，求二面角O-PD-C的余弦值.

感悟提升　翻折问题中的解题关键是要结合图形弄清翻折前后变与不变的关系，尤其是隐含的垂直关系.一般地翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一平面上的性质发生变化.

基础题型训练

一、单选题

1．在空间直角坐标系中，已知，且平面的法向量为，则到平面的距离等于（    ）

A． B．4 C． D．

2．空间中有三点，，，则点P到直线MN的距离为（    ）

A． B． C．3 D．

3．已知空间三点，则到直线的距离为（    ）

A． B． C． D．

4．已知空间三点，，，则到直线的距离为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．

5．在空间直角坐标系中，平面的法向量为， 已知，则P到平面的距离等于 （　　）

A． B． C． D．

6．已知正方体的棱长为2，、分别为上底面和侧面的中心，则点到平面的距离为（      ）

A． B． C． D．

二、多选题

7．如图，在正四棱柱中，，为四边形对角线的交点，下列结论正确的是（    ）

A．点到侧棱的距离相等 B．正四棱柱外接球的体积为

C．若，则平面 D．点到平面的距离为

8．[多选题]下列命题中正确的是（    ）．

A．可以用求空间两点A，B的距离

B．设是平面的法向量，AB是平面的一条斜线，点A在平面内，则点B到的距离为

C．若直线l与平面平行，直线l上任意一点与平面内任意一点的距离就是直线l与平面的距离

D．若平面与平面平行，则平面内任意一点到平面的距离就是平面与平面之间的距离

三、填空题

9．已知点在平面内，为平面的一个法向量，则点到平面的距离为___________.

10．如图，在棱长为2的正方体中，分别是的中点，则直线到平面的距离为_______．

11．一个正方体的平面展开图如图所示，AB=1，则在原来的正方体中，线段CF的中点到直线AM的距离为________.

12．为矩形所在平面外一点，平面，若已知，，，则点到的距离为__．

四、解答题

13．如图，是圆柱的一条母线，是底面的一条直径，是圆

上一点，且，.

(1)求直线与平面所成角的大小；

(2)求点到平面的距离.

14．如图在棱长为2的正方体中，点E是AD的中点，求：

(1)异面直线和所成的角的余弦值

(2)点到平面的距离

15．在平行四边形中，，，，，且平面ABCD，求点P到直线BC的距离．

16．如图，在三棱柱中，平面，的中点为．

(1)求证：；

(2)求直线与平面所成角的正弦值；

(3)求点到平面的距离．

提升题型训练

一、单选题

1．已知直线l的方向向量为，平面的法向量为，若直线l与平面垂直，则实数x的值为（    ）

A． B． C． D．10

2．棱长为的正四面体中，则等于（    ）

A． B． C． D．

3．在空间中，已知动点P（x，y，z）满足z＝0，则动点P的轨迹是

A．平面

B．直线

C．不是平面，也不是直线

D．以上都不对

4．四棱锥中，，则这个四棱锥的高为（    ）

A． B． C． D．

5．如图在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，棱AB，BC，BB1两两垂直且长度相等，点P在线段A1C1上运动，异面直线BP与B1C所成的角为θ，则θ的取值范围是

A． B． C． D．

6．已知正四棱锥侧面和底面的棱长都为2，P为棱BC上的一个动点，则点P到平面SAD的距离是（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

7．有下列四个命题，其中正确的命题有（    ）

A．已知A，B，C，D是空间任意四点，则

B．若两个非零向量与满足＋＝，则.

C．分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量可以是共面向量.

D．对于空间的任意一点O和不共线的三点A，B，C，若 (x，y，z)，则P，A，B，C四点共面.

8．已知正方体，则下列结论中正确的有（    ）

A．

B．平面

C．线段被平面分成两段，其长线段与短线段长度比为

D．正方体被平面分割为大小两个几何体的体积比为

三、填空题

9．在空间直角坐标系中，点和点间的距离是__________．

10．已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，且，则________．

11．已知矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，将矩形ABCD沿对角线AC折起，使平面ABC与平面ACD垂直，则B与D之间的距离为__________．

12．如图，锐二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于.已知，，，则锐二面角的平面角的余弦值是___________.

四、解答题

13．在空间四边形中，连接，设M，G分别是的中点，化简下列各向量表达式：

(1)；

(2).

14．如图，正方形的边长为2，的中点分别为C，，正方形沿着折起形成三棱柱，三棱柱中，.

（1）证明:当时，求证：平面；

（2）当时，求二面角的余弦值.

15．如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，是中点．

（1）求直线与平面的夹角余弦值；

（2）求平面和平面的夹角的余弦值.

16．如图，正四棱锥的底面面积为4，一条侧棱长为.

(1)求PA和DC的所成角的余弦值；

(2)求侧棱PA和侧面PBC所成角的正弦值.