2024高考数学第一轮复习：8.8 几何法求线面角、二面角及距离(解析版)

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8.8 几何法求线面角、二面角及距离

知识点总结
利用几何法求线面角、二面角、距离的难点在于找到所求的角或距离，相对于向量法，几何法运算简单、不易出错.知识点1：线与线的夹角
（1）位置关系的分类：
（2）异面直线所成的角
①定义：设是两条异面直线，经过空间任一点作直线，把与所成的锐角（或直角）叫做异面直线与所成的角（或夹角）．
②范围：
③求法：平移法：将异面直线平移到同一平面内，放在同一三角形内解三角形．
知识点2：线与面的夹角
①定义：平面上的一条斜线与它在平面的射影所成的锐角即为斜线与平面的线面角．
②范围：
③求法：
常规法：过平面外一点做平面，交平面于点；连接，则即为直线与平面的夹角．接下来在中解三角形．即（其中即点到面的距离，可以采用等体积法求，斜线长即为线段的长度）；
知识点3：二面角
（1）二面角定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，这两个平面称为二面角的面．（二面角或者是二面角）

（2）二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角；范围．
（3）二面角的求法
法一：定义法
在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角，如图在二面角的棱上任取一点，以为垂足，分别在半平面和内作垂直于棱的射线和，则射线和所成的角称为二面角的平面角（当然两条垂线的垂足点可以不相同，那求二面角就相当于求两条异面直线的夹角即可）．

法二：三垂线法
在面或面内找一合适的点，作于，过作于，则为斜线在面内的射影，为二面角的平面角．如图1，具体步骤：
①找点做面的垂线；即过点，作于；
②过点（与①中是同一个点）做交线的垂线；即过作于，连接；
③计算：为二面角的平面角，在中解三角形．

图1 图2 图3
法三：射影面积法
凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（，如图2）求出二面角的大小；
法四：补棱法
当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题．当二平面没有明确的交线时，也可直接用法三的摄影面积法解题．
法五：垂面法
由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．
例如：过二面角内一点作于，作于，面交棱于点，则就是二面角的平面角．如图3．此法实际应用中的比较少，此处就不一一举例分析了．
知识点4：空间中的距离
求点到面的距离转化为三棱锥等体积法求解．


典型例题分析
考向一 　几何法求线面角
例1 (2023·杭州质检)在三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱长都相等，侧棱垂直于底面，点D是BC1与B1C的交点，则AD与平面BB1C1C所成角的正弦值是(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　取BC的中点E，
连接DE，AE，如图.

依题意三棱柱ABC－A1B1C1为正三棱柱，
设棱长为2，则AE＝，DE＝1，
因为D，E分别是BC1和BC的中点，
所以DE∥CC1，所以DE⊥平面ABC，
所以DE⊥AE，
所以AD＝＝＝2.
因为AE⊥BC，AE⊥DE，BC∩DE＝E，
所以AE⊥平面BB1C1C，
所以∠ADE是AD与平面BB1C1C所成的角，
所以sin∠ADE＝＝，
所以AD与平面BB1C1C所成角的正弦值是.
感悟提升　求线面角的三个步骤：
一作(找)角，二证明，三计算，其中作(找)角是关键，先找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，然后把线面角转化到三角形中求解.
训练1 (2023·湖州模拟)如图，已知正四棱锥P－ABCD底面边长为2，侧棱长为4，M为侧棱PC的中点，则直线BM与底面ABCD所成角的正弦值为(　　)

A. B.
C. D.
答案　D
解析　作PO⊥底面ABCD于O，连接OC，

因为正四棱锥P－ABCD底面边长为2，故OC＝，
又侧棱长为4，故PO＝＝.
又M为侧棱PC中点，取OC的中点F，连接MF，BM，
则MF綉PO，且MF⊥平面ABCD，
故∠MBF是BM与平面ABC所成角，
且MF＝PO＝.
又cos∠BCM＝＝.
在△BCM中，由余弦定理有BM＝＝.
在△BFM中，sin∠MBF＝＝＝.
故直线BM与底面ABCD所成角的正弦值为.
考向二 几何法求二面角
例2 如图所示，在三棱锥S－ABC中，△SBC，△ABC都是等边三角形，且BC＝2，SA＝，则二面角S－BC－A的大小为(　　)

A.30° B.45°
C.60° D.75°
答案　C
解析　如图所示，取BC的中点D，连接AD，SD，

∵△ABC，△SBC都是等边三角形，
∴SB＝SC，AB＝AC，
因此有AD⊥BC，SD⊥BC.
∴∠ADS为侧面SBC与底面ABC所成的二面角的平面角.
因为BC＝2，AD⊥BC，SD⊥BC，△SBC，△ABC都是等边三角形，
所以SD＝＝＝，AD＝＝＝，
而SA＝，所以△SDA是正三角形，
∴∠ADS＝60°，
即二面角S－BC－A的大小为60°.
感悟提升　作二面角的平面角的方法：
作二面角的平面角可以用定义法，也可以用垂面法，即在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角.
训练2 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.在如图所示的“堑堵”中，AC＝CB＝CC1，则二面角C1－AB－C的正切值为(　　)

A.1 B.2
C. D.
答案　D
解析　由AC＝CB知，AC⊥CB，取AB的中点M，连接C1M，CM，

由条件，可知∠C1MC即为二面角C1－AB－C的平面角，
设AC＝CB＝CC1＝a，则CM＝a，
∴tan∠C1MC＝＝.


考向三 几何法求距离
角度1　点线距
例3 如图，在四棱锥P－ABCD中，PB⊥平面ABCD，PB＝AB＝2BC＝4，AB⊥BC，则点C到直线PA的距离为(　　)

A.2 B.2
C. D.4
答案　A
解析　如图，取PA的中点M，连接BM，CM，

因为PB⊥平面ABCD，
又BC⊂平面ABCD，
所以PB⊥BC，
又因为AB⊥BC，PB∩AB＝B，PB，AB⊂平面PAB，
所以BC⊥平面PAB，又PA⊂平面PAB，
所以BC⊥PA，BC⊥PB，
因为M是PA的中点，PB＝AB，
所以BM⊥PA，
又BC⊥PA，BM∩BC＝B，BM，BC⊂平面BCM，
所以PA⊥平面BCM，又CM⊂平面BCM，
所以CM⊥PA，
即CM为点C到直线PA的距离.
在等腰Rt△PAB中，BM＝PB＝2，
在Rt△BCM中，CM＝＝＝2，
故点C到直线PA的距离为2.
角度2　点面距
例4 如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝2，AB＝4，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为(　　)

A.1 B.
C. D.
答案　B
解析　设点E到平面ACD1的距离为h，
因为点E是棱AB的中点，
所以点E到平面ACD1的距离等于点B到平面ACD1的距离的一半，
又平面ACD1过BD的中点，
所以点B到平面ACD1的距离等于点D到平面ACD1的距离，
由等体积法VD－ACD1＝VD1－ACD，
所以S△ACD1·2h＝S△ACD·DD1，
S△ACD＝×2×4＝4，DD1＝2，
在△ACD1中，AD1＝2，AC＝CD1＝2，
所以S△ACD1＝×2×＝6，
则×6×2h＝×4×2，解得h＝，
即点E到平面ACD1的距离为.
感悟提升　1.求点线距一般要作出这个距离，然后利用直角三角形求解，或利用等面积法求解.
2.求点面距时，若能够确定过点与平面垂直的直线，即作出这个距离，可根据条件求解，若不易作出点面距，可借助于等体积法求解.

基础题型训练

一、单选题
1．在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截的部分），现有一个如图所示的曲池，它的高为2，，，，均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为90°，则图中异面直线与所成角的余弦值为（    ）
  
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据异面直线的夹角运算求解.
【详解】设，分别延长到E，E1，使得，
连接，
可得//，//，则异面直线与所成角（或其补角），
则，
在中，由余弦定理可得，
即异面直线与所成角的余弦值为.
故选：A.
  
2．一个正六棱锥，其侧面和底面的夹角大小为，则该正六棱锥的高和底面边长之比为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】如图正六棱锥中，取的中点，则为侧面和底面的夹角，根据的值可求得的值.
【详解】      
如图正六棱锥中，底面中心为，取的中点，连接，

则，所以为侧面和底面的夹角，即
因为底面， 底面，
所以，所以，
又，所以，
所以.
故选：A
3．在正方体中，是的中点，则异面直线与的夹角为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先利用线线平行推得是异面直线与的夹角，再利用勾股定理依次求得，从而得解.
【详解】连接，
  
因为正方体中，，
所以四边形是平行四边形，则，
所以是异面直线与的夹角，
不妨设正方体的棱长为，则，，，
故，即，则，
所以，则.
故选：A.
4．如图，在长方体中，.则直线与平面所成角的余弦值是（    ）
  
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据线面角的定义，可知即为直线与平面所成角，解三角形即可求得结果.
【详解】如图，连接直线，显然，在长方体中，平面，故即为直线与平面所成角，
在中，，，，
，
故选：C.
  
5．在正四面体中，点，，分别为棱，，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（    ）
  
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据异面直线夹角的定义结合余弦定理运算求解.
【详解】连接，设正四面体的棱长为2，
因为分别为的中点，则//，
所以异面直线，所成角为（或其补角），
在中，则，
由余弦定理可得，
所以异面直线，所成角的余弦值为.
故选：A.
  
6．如图，在三棱柱中，底面是正三角形，侧棱与底面垂直，且分别是的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（    ）
  
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据异面直线夹角的定义分析求解.
【详解】如图，取的中点D，连接，则，且，
所以为异面直线与所成的角（或其补角），
又因为F是的中点，则，
又因为三棱柱的侧棱与底面垂直，
则平面，且平面，所以，
在中，，所以.
故选：D．
  
7．在直三棱柱中，，，过点作直线与和所成的角均为，则的最小值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】计算异面直线和所成的角，则的最小值为异面直线和所成角的一半．
【详解】依题意，直三棱柱是正方体的一半，如图所示，
  
，为异面直线和所成角，
又，是等边三角形，，
过C作直线的平行线，则当与的角平分线重合时，取得最小值．
故选：C

二、填空题
8．已知正三棱柱，O为的外心，则异面直线与OB所成角的大小为________．
【答案】
【分析】根据异面直线夹角的定义结合线面垂直分析求解.
【详解】延长交于点，
因为为正三角形，则点为的中点，可得，
又因为平面，平面，可得，
且，平面，可得平面，
由于平面，所以，即，
所以异面直线与OB所成角的大小为.
故答案为：.
  
9．如图，在三棱锥中，底面，，且，是的中点，则与平面所成角的正弦值是________．
  
【答案】/
【分析】根据图形特征，取中点，连接，通过线面垂直的性质与判定得到面，因而是与平面所成角，再通过相关计算，在直角三角形中计算其正弦值即可.
【详解】如图，取中点，连接，
因为面，面，
所以，
又因为，
所以，
因为面，面，
所以，
又因为，所以，
因为面，，
所以面，
因为面，
所以，
因为面，
所以面，
所以是与平面所成角，
因为，，
所以,
由已证知，面，因为面，
所以，
所以，
因为面，面，
所以，
所以，
所以，
由已证知，面，
又因为面，所以
所以，
即与平面所成角的正弦值是.
  
故答案为：
10．长度为的线段两个端点到平面的距离分别为和，且这两个端点都在平面的同一侧，则这条线段所在直线与平面所成角的正弦值为______．
【答案】/
【分析】根据线面夹角的定义分析运算.
【详解】如图所示，设线段两个端点在平面的投影分别为，连接，
则，
在线段上取点，使得，连接，
因为//，，则为平行四边形，可得//，
则线段所在直线与平面所成角的即为线段所在直线与平面所成角，
所以这条线段所在直线与平面所成角的正弦值.
故答案为：.


三、解答题
11．如图，在三棱柱中，面为正方形，面为菱形，，侧面面.

(1)求证：面；
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）利用面面垂直的性质定理和线面垂直的判定定理即可得证.
（2）过作于，过作于，连接，利用线面垂直的性质定理得出为二面角的平面角，在中直接求解即可.
【详解】（1）由菱形可得，
面面，面面，
又正方形中，
面，又平面，，
，平面，面.
（2）过作于，则面.
过作于，连接，
因平面，则，
又平面，，故平面，
又平面，所以，
故为二面角的平面角，
在中，设，，，
，，，
.
即二面角的余弦值为.

12．如图，是圆的直径，点在圆所在平面上的射影恰是圆上的点，且，点是的中点，与交于点，点是上的一个动点.
  
(1)求证：；
(2)求二面角平面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）通过证明平面来证得；
（2）判断出二面角平面角，解直角三角形求得其余弦值；
【详解】（1）证明：点在圆所在平面上的射影恰是圆上的点，平面，
平面，，
又是圆的直径，有，且，平面，
所以平面，又平面，所以．
（2）平面，平面，所以，，
为二面角的平面角．
设，则，，有，为锐角，
在直角中可得，故，
故二面角平面角的余弦值为．
13．如图，正三棱柱中，分别是棱上的点，.
  
(1)证明：平面平面；
(2)若，求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）建立空间直角坐标系，求解两个平面的法向量，利用法向量证明面面垂直；
（2）求出两个平面的法向量，利用法向量的夹角求出二面角的余弦值.
【详解】（1）证明：取的中点,连接，
在正三棱柱中，不妨设;
以为原点，分别为轴和轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，
则,，
；
设平面的一个法向量为，则, ，
取，则，即；
设平面的一个法向量为，则,
即，取得.
因为，所以平面平面；
  
（2）因为，由（1）可得，即，
易知平面的一个法向量为,
；
二面角的余弦值为.
14．如图所示，平面平面，四边形为矩形，，，，．
  
(1)求多面体的体积；
(2)求二面角的余弦值．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）通过割补法，结合锥体体积计算公式求得正确答案.
（2）作出二面角的平面角，进而计算出其余弦值.
【详解】（1）如图，连接BD，
  
∵四边形AEFB为矩形，
∴，，
∵平面ABEF⊥平面ABCD，平面ABEF∩平面，
平面ABEF，平面ABEF，
∴AE⊥平面ABCD，BF⊥平面ABCD，
∵平面ABCD，
∴，
又，AB∩AE＝A，平面，
∴AD⊥平面AEFB，
∴，
∵，，
∴．
∴，
∴多面体ABCDEF的体积为
．
（2）如图，过B作交DC的延长线于点G，连接FG，
  
∵FB⊥平面ABCD，平面，
∴DG⊥FB，
又DG⊥BG，BG∩FB＝B，平面，
∴DG⊥平面FBG，
∵平面，
∴DG⊥FG，
∴∠FGB为二面角F-CD-A的平面角，由题意得，
∵，
∴，
在Rt△FBG中，，，
∴，
∴，
∴二面角F-CD-A的余弦值为．
15．如图，已知点P是正方形ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点．
  
(1)求证：平面PAD；
(2)若PB中点为Q，求证：平面平面PAD．
(3)若PA⊥平面ABCD，AB＝PA＝2，求直线PB与面PAD所成的角．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)45°

【分析】（1）利用三角形的中位线可得线线平行，进而由线面平行的判断即可求证，
（2）由线面平行即可求证，
（3）利用线面垂直得线线垂直，进而可由几何法求解线面角，即可由三角形的边角关系求角大小.
【详解】（1）取PD的中点E，连接AE，NE，
因为N是PC的中点，所以且，
又M是AB的中点，ABCD是正方形，所以且，
所以且 ，
所以四边形为平行四边形，所以，
又平面PAD，平面PAD，所以平面PAD．
（2）因为Q为PB的中点，M是AB的中点
所以，又平面PAD，平面PAD，所以平面PAD，
又平面PAD，，MQ，平面MNQ，
所以平面平面PAD．
（3）因为PA⊥平面ABCD，平面PAD，
所以平面PAD⊥平面ABCD，
又ABCD为正方形，所以AB⊥AD，平面ABCD，平面平面ABCD＝AD，
所以AB⊥平面PAD，
所以∠BPA即为直线PB与面PAD所成的角，又AB＝PA＝2，所以△BPA为等腰直角三角形，所以∠BPA＝45°，即直线PB与面PAD所成的角为45°．
  
16．如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，与交于点，面，且.
  
(1)求证平面.；
(2)求与平面所成角的大小．
【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）由，因为平面，得到，结合直线与平面垂直的判定定理，即可证得平面；
（2）连接，得到为与平面所成的角，在直角中，即可求得与平面所成的角.
【详解】（1）解：因为是正方形，所以，
又因为平面，平面，所以，
因为，平面，平面，
所以平面.
（2）解：连接，因为平面，所以为与平面所成的角，
因为，所以，
在直角中，，
所以，即与平面所成的角为.
  




提升题型训练
一、多选题
1．已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为45°，则（    ）．
A．该圆锥的体积为 B．该圆锥的侧面积为
C． D．的面积为
【答案】AC
【分析】根据圆锥的体积、侧面积判断A、B选项的正确性，利用二面角的知识判断C、D选项的正确性.
【详解】依题意，，，所以，
A选项，圆锥的体积为，A选项正确；
B选项，圆锥的侧面积为，B选项错误；
C选项，设是的中点，连接，
则，所以是二面角的平面角，
则，所以，
故，则，C选项正确；
D选项，，所以，D选项错误.
故选：AC.
  

2．已知点P是空间中的一个动点，正方体棱长为2，下列结论正确的是（    ）
  
A．若动点P在棱AB上，则直线与始终保持垂直
B．若动点P在棱AB上，则三棱锥的体积是定值
C．若动点P在对角线AC上，当点P为AC中点时，直线与平面ABCD所成的角最小
D．若动点P在四面体内部时，点P与该四面体四个面的距离之和为定值
【答案】ABD
【分析】根据立体几何相关定理逐项分析.
【详解】对于A，连接，如图：
  
则平面平面，平面，
平面，平面，，正确；
对于B，如图：
  
连接PC，，，则三棱锥的体积等于三棱锥的体积，
平面，点P到平面的距离为定值，即三棱锥的高为定值，底面三角形的面积为定值，
所以三棱锥的体积为定值，正确；
对于C，连接DP，如图：
  
设直线与平面ABCD的夹角为，在中，，当P为AC的中点时，DP最小，最大，即最大，错误；
对于D，因为，四面体是正四面体，
本问题等价于当P点在四面体内部时到各个面的距离之和为定值，如图：
  
显然，，其中是点P到四个面的距离，
，为定值，正确；
故选：ABD.
3．如图，在正四棱柱中，底面边长，侧棱长，为底面内的动点，且与所成角为，则下列命题正确的是（    ）
  
A．动点的轨迹长度为
B．当//平面时，与平面的距离为
C．直线与底面所成角的最大值为
D．二面角的范围是
【答案】AC
【分析】选项A根据与所成角为求出，从而确定动点的轨迹并求出长度；选项B利用等体积法即可求得；选项C根据直线与平面所成角的定义找到直线与底面所成角，再计算最大值即可；选项D通过点在特殊位置时求出二面角的平面角超出选项范围进行排除.
【详解】正四棱柱中，底面是正方形，侧棱垂直于底面.
对于A选项，因为且与所成角为，所以与所成角也为.又，.
又在底面内，的轨迹为以A为圆心，1为半径的圆周的四分之一，长度为.故选项A正确；
对于B选项，当//平面时，到平面的距离即为与平面的距离..
，
在中，，边上的高为2，
设到平面的距离为，则，
解得.故选项B错误；
对于C选项，连接，则线段为线段在底面的投影，故直线与底面所成角为，且,
由选项A可知，当为正方形中心时，最短为1，此时最大为,即.故选项C正确；
  
对于D选项，当在线段上时，，，
因为是等腰三角形，所以取中点，连接，则.
过作交于点，分别连接，则，故四边形是等腰梯形，取中点，则，所以是二面角的平面角.
在四边形中，，，故.又，故.
由选项B知，.
在中，由余弦定理得，
所以，故选项D错误.
故选：AC.
  
4．两个相交平面构成四个二面角，其中较小的二面角称为这两个相交平面所成角；在正方体中，不在同一表面上的两条平行的棱所确定的平面称为该正方体的对角面.则在某正方体中，两个不重合的对角面所成角的大小可能为（    ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【分析】结合图象，根据两个相交平面所成角的定义确定两个不重合的对角面所成角的可能大小即可.
【详解】如图：
  
平面与平面的交线为，
因为，
所以四边形为矩形，故，同理，
所以为二面角的平面角，
又，所以二面角的平面角为，
由相交平面所成角的定义可得平面与平面所成的角的大小为，
如图（2）
  
平面与平面的交线为，
因为，，平面，，
所以平面，设，
则平面，过点作，
则为二面角的平面角，
设正方体的边长为，则，
因为，
所以，所以，
所以，
所以，又，
所以，
所以平面与平面所成的角的大小为，
故选：CD.
5．如图，在正方体中，分别为的中点，则以下结论正确的是（    ）
  
A．
B．平面平面
C．平面
D．异面直线与所成角的余弦值是
【答案】BCD
【分析】由题意可得出，可判断A；因为四点共面，所以平面平面可判断B；由线面平行的判定定理可判断C；由异面直线所成角可判断D.
【详解】对于A，连接，易证，因为平面，
而平面，所以，
所以在中，与不垂直，所以不垂直，故A不正确；
  
对于B，连接，因为分别为的中点，
所以，所以四点共面，
所以平面平面，故B正确；
  
对于C，连接，易证，所以四边形是平行四边形，
所以，所以平面，平面，
所以平面，故C正确；
  
对于D，连接，易知，异面直线与所成角即直线与所成角，
即，设正方体的边长为，
所以，
所以，
所以异面直线与所成角的余弦值是，故D正确.
故选：BCD.
    

二、单选题
6．如图，在圆台OO1中，，点C是底面圆周上异于A、B的一点，，点D是BC的中点，l为平面与平面的交线，则交线l与平面所成角的大小为（    ）
  
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由线面平行的性质定理可证得，所以直线l与平面所成角即直线与平面所成角，由线面垂直的判定定理可证得平面，过点作交于点，易证得平面，所以为交线l与平面所成角，求解即可.
【详解】因为，因为，D分别是，BC的中点，所以，
所以平面，平面，所以平面，
平面，平面平面，
所以，，所以，
所以直线l与平面所成角即直线与平面所成角，
因为为直径，所以，因为，即，
又因为平面，
平面，所以，平面，
所以平面，过点作交于点，
因为平面，所以，，
，平面，所以平面，
所以为交线l与平面所成角，
因为，，
.
所以，结合图知.
故选：B.
  
7．已知正方形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，若PA=AB，则平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的平面角为（　　）
A．30° B．45°
C．60° D．90°
【答案】B
【分析】构造正方体将所求解的二面角转化为平面与平面所成二面角，利用二面角的平面角的定义，找到对应的角，求解即可.
【详解】构造正方体如图所示，
  
因为平面与平面所成二面角就是平面与平面所成二面角，
又平面,平面,
所以又所以
又所以
所以就是面与平面所成二面角的平面角，
因为构造几何体为正方体，故
故选：B.
8．坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．若，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面的夹角的正切值均为，则该五面体的所有棱长之和为（    ）
  
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先根据线面角的定义求得，从而依次求，，，，再把所有棱长相加即可得解.
【详解】如图，过做平面，垂足为，过分别做，，垂足分别为，，连接，
  
由题意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹角分别为和，
所以.
因为平面，平面，所以，
因为，平面，，
所以平面，因为平面，所以，.
同理：，又，故四边形是矩形，
所以由得，所以，所以，
所以在直角三角形中，
在直角三角形中，，，
又因为，
所有棱长之和为.
故选：C

9．如图，在正方体中，E，F，Q，H分别为所在棱的中点，则直线HC与平面EFQ所成角的正弦值为（    ）
  
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】延长FE交的延长线于M，取ME的中点N，证明，再利用几何法求出线面角的正弦作答.
【详解】在正方体中，延长FE交的延长线于M，取ME的中点N，连接，QN，，
    
因为E，F分别为棱的中点，则，有，因此，
又为的中点，则，而平面，于是平面，又平面，
因此，又，平面，则平面，
又H为的中点，而，，从而，
四边形是平行四边形，即有，则直线HC与平面EFQ所成的角等于直线与平面EFQ所成的角，
令，则，，因此，
所以直线HC与平面EFQ所成角的正弦值为．
故选：B
【点睛】思路点睛：求直线与平面所成的角的一般步骤：①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解．
10．在正四棱锥中，的中点为，给出以下三个结论：
①平面；
②侧棱与底面所成角的大小为时，则侧棱与底面边长之比为；
③若，该四棱锥相邻两侧面成角的余弦值为．
则关于这三个结论叙述正确的是（    ）
A．①②对，③错 B．①③对，②错
C．①对，②③错 D．①②③都对
【答案】D
【分析】连接交于，连接，即可得到，从而判断①，连接，则为侧棱与底面所成的角，根据锐角三角函数即可判断②，连接，，则为相邻两侧面所成的角，利用余弦定理即可判断D.
【详解】连接交于，连接，则为的中点，又的中点为，
在中，，而平面，平面，则平面，故①正确；
连接，由正四棱锥的性质可证平面，
所以为侧棱与底面所成的角，即，所以，
而，所以，故②正确；
若，则侧面全是正三角形，连接，，所以，，
根据二面角定义知，为相邻两侧面所成的角，
设，则，，由余弦定理得，故③正确.
故选：D．
  

三、解答题
11．如图，在四面体P-ABC中，△ABC是等腰三角形AB⊥BC，.
  
(1)证明：PB⊥AC；
(2)若AB=2，，PA⊥AB.
（ⅰ）求点A到平面PBC的距离；
（ⅱ）求二面角的正弦值.
【答案】(1)证明见详解
(2)（ⅰ）（ⅱ）

【分析】（1）根据线面垂直的判定定理和性质定理分析证明；
（2）根据题意将三棱锥转化为直三棱柱. （ⅰ）根据线面垂直的判定定理分析求解；（ⅱ）利用二面角的平面角的概念结合条件即得.
【详解】（1）由题意可得：，
所以≌，则，
取的中点，连接，则，
且，平面，所以平面，
由于平面，可得PB⊥AC.
（2）（ⅰ）由题意可得：，
因为平面，且平面，平面平面，
过作平面，垂足为，连接，
在中，由余弦定理可得，
即为钝角，则点在的延长线上，
可得，则，
即，且，则为正方形，
以为底面作直三棱柱，可得，
过作，垂足为，
因为平面，平面，则，
，平面，则平面，
利用等面积法，即，解得，
所以点A到平面PBC的距离；
（ⅱ）过作//，交于点，连接，
因为平面，平面，可得，
又因为平面，平面，可得，
且//，则，
，平面，所以平面，
平面，则，
所以二面角的平面角为，
则，
所以二面角的正弦值.
  
12．如图，直三棱柱中，，且平面平面．
  
(1)求BC的长；
(2)求直线AC与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）在平面内任取一点，分别作，利用面面垂直的性质，分别证得，，证得平面，得到，在直角中，即可求解；
（2）过点作，证得平面，得到为直线与平面所成的角，在直角中，结合，即可求解.
【详解】（1）证明：在平面内任取一点，分别作，如图所示，
因为直三棱柱，可得平面平面，
又因为平面，且平面平面，所以平面，
因为平面，所以，
又由平面平面，且平面，且平面平面，所以平面，
因为平面，所以，
又因为，且平面，所以平面，
因为平面，所以，
在直角中，因为，可得.
（2）解：过点作，垂足为，
由平面平面，且平面，平面，
所以平面，
所以为直线与平面所成的角，
在直角中，，可得，所以，
在直角中，可得，
所以直线与平面所成的角的正弦值为.
  
13．如图，四棱锥的底面是菱形，，，.

(1)求证：平面PBD；
(2)若E为的中点，求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析；
(2)

【分析】（1）连接，连接，推导出 ，由此能证明平面；
（2）连接，由（1）知平面，进而是二面角的平面角，先计算，再求得，由此能求出二面角的余弦值.
【详解】（1）
连接，连接，
因为底面为菱形，所以为的中点，
又，
又平面，，
平面.
（2）连结，由（1）知平面，
平面，
是二面角的平面角，
由题意知都是边长为2的等边三角形，所以，
又为的中点，，
因为，且为的中点，，
在Rt中，，
，
，即，
所以
二面角的余弦值为.
14．如图，在四棱锥中，为正三角形，底面为直角梯形，，，，为中点，为线段上的点，且.
  
(1)求证:平面平面；
(2)已知.求直线和平面所成角的正弦值.
【答案】(1)详见解析.
(2).

【分析】（1）由线线垂直可得平面再由面面垂直的判定可得证；
（2）转化法求出点C到平面PAD的距离，再由线面角的定义即可得解.
【详解】（1）由题又为中点,,
,又，
四边形为矩形，则
又为正三角形，为中点，,
又,平面则平面
又，平面又平面
平面平面.
（2）由（1）知平面平面，平面平面,
过点作,交于则平面
又中，,
过作,交于
  
可求得则,
即，
, 即点到平面的距离.
又平面,平面，平面,
则点到平面的距离即是点到平面的距离，
又
设直线和平面所成角为，则
故直线和平面所成角的正弦值为
15．如图所示，在直三棱柱中，，D，E分别为棱AB，的中点.
  
(1)证明：CD∥平面；
(2)求BE与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）利用三角形中位线的性质证得四边形DGEC是平行四边形，进而得，所以可证明CD∥平面；
（2）利用线线垂直证明面，根据线面角的概念得即为所求的线面角，然后在直角三角形中求解即可.
【详解】（1）连接，取中点为点，连接，
因为G，D分别为，AB的中点，所以且，
又E为的中点，所以且，
所以且，则四边形DGEC为平行四边形，
所以，又平面，平面，则平面.
（2）连接BG，BE，
  
因为，D为AB中点，则，
又直三棱柱，面，则，
又，又面，面，所以面，
由（1）知，，所以面，则与平面所成角为，
因为，所以，，
所以，则与平面所成角的正弦值为.
16．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，.
  
(1)为上一点，且，当平面时，求实数的值；
(2)设平面与平面的交线为，证明面；
(3)当平面与平面所成的锐二面角的大小为时，求与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)

【分析】（1）连接交于点，连接，利用线面平行的性质可得出，由可得出，再由可求得的值；
（2）证明出面，利用线面平行的性质可证得结论成立；
（3）取的中点，连接、，过点作，分析可知，为平面与平面所成的锐二面角，即有，证明出平面，则为与平面所成的角，计算出、的长，即可计算出的正切值.
【详解】（1）如图，连接交于点，连接，
∵平面，平面，平面平面，∴，
在梯形中，∵，∴，∴，
∵，∴，∴.
（2）∵，平面，平面，∴面，
又面，面面，∴，
又面，面，∴面.
（3）取的中点，连接、，
  
∵为的中点，且，，
∴且，∴四边形为平行四边形，∴，
∵，∴，∴，
又，∴为等边三角形，
又，∴为等边三角形，∴，
∵，平面，平面，∴平面，
∵平面，∴，
过点作，由，则，∴平面，平面，
即平面平面，∴，，
∴为平面与平面所成的锐二面角，∴.
又由，∴，∴，
∵，，
∵，平面，平面，∴平面，
∴为与平面所成的角，
，
∴，
因此，与平面所成角的正弦值为.
17．如图所示，在四棱锥中，底面是边长2的正方形，侧面为等腰三角形，，侧面底面．

(1)在线段上是否存在一点，使得，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由；
(2)求二面角的余弦值．
【答案】(1)存在，
(2)．

【分析】（1）由已知面面垂直可得平面，则，而要使，则必有平面，则，然后在等腰三角形中求解即可；
（2）作的中点，连接，取的中点，连接,则可证得是所求二面角的平面角，然后在中求解即可.
【详解】（1）存在点E满足条件，且
证明：因为底面为正方形，所以，
因为侧面底面，侧面底面，平面，
所以平面，
因为平面，
所以，
而，平面，平面，
要使，则必有平面，
因为平面，
所以
在等腰三角形PAD中，，，计算可得，，
所以，
所以．
（2）解：作的中点，连接．
因为，所以．
取的中点，连接,
因为，∥，
所以，
因为，，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
所以是所求二面角的平面角．
因为为等腰三角形，且，底面为边长为2的正方形，
所以，．
因为，侧面底面，侧面底面，平面，
所以底面，
因为底面，
所以，
在中，，
所以．
所以
故二面角的余弦值．
  
18．如图，在五面体中，四边形为等腰梯形，，且.
  
(1)证明：；
(2)若为等边三角形，且面面，求与面所成角.
【答案】(1)证明见解析
(2).

【分析】（1）根据线面平行的判定定理和性质定理，结合直线平行的传递性可证；
（2）利用面面垂直性质定理证明面，然后可知即为所求，根据三角函数定义可得.
【详解】（1）依题意面面，
所以平面，
又面，面面，
所以，所以.
（2）在等腰梯形中，不妨设，，
分别过作的垂线EG，FH，则，故
所以，
所以，所以，
又面面，面面面，
因此面，
从而与平面所成角即为，，
其中，
因而，故，从而与平面所成角为.