2024高考数学第一轮复习：专题2.3 函数的奇偶性与周期性（原卷版）

这是一份2024高考数学第一轮复习：专题2.3 函数的奇偶性与周期性（原卷版），共11页。试卷主要包含了偶函数，奇函数，已知非空集合A，B满足，若函数同时满足等内容，欢迎下载使用。
专题2.3 函数的奇偶性与周期性思维导图  知识点总结知识点一　函数奇偶性的几何特征一般地，图象关于y轴对称的函数称为偶函数，图象关于原点对称的函数称为奇函数．知识点二　函数奇偶性的定义1．偶函数：函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．2．奇函数：函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．知识点三　奇(偶)函数的定义域特征奇(偶)函数的定义域关于原点对称．知识点四　用奇偶性求解析式如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，想求关于原点的对称区间[－b，－a]上的解析式，其解决思路为：(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设．(2)要利用已知区间的解析式进行代入．(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)．知识点五　奇偶性与单调性若函数f(x)为奇函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性；若函数f(x)为偶函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性．   典型例题分析考向一 函数奇偶性的判断例1　判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝；(2)f(x)＝x2(x2＋2)；(3)f(x)＝；(4)f(x)＝＋.           反思感悟　判断函数奇偶性的方法(1)定义法：①定义域关于原点对称；②确定f(－x)与f(x)的关系．(2)图象法．考向二  利用函数的奇偶性求解析式例2　函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x＋1，求当x<0时，f(x)的解析式．             反思感悟　求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量为x，然后把x转化为－x，此时－x成为了已知区间上的解析式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，适当推导，即可得所求区间上的解析式．考向三 构造方程组求函数的解析式例3　设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝，求函数f(x)，g(x)的解析式．                反思感悟　f(x)＋g(x)＝对定义域内任意x都成立，所以可以对x任意赋值，如x＝－x.利用f(x)，g(x)一奇一偶，把－x的负号或提或消，最终得到关于f(x)，g(x)的二元方程组，从中解出f(x)和g(x)． 考向四 利用函数的奇偶性与单调性比较大小例4　设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是(　　)A．f(π)>f(－3)>f(－2)B．f(π)>f(－2)>f(－3)C．f(π)<f(－3)<f(－2)D．f(π)<f(－2)<f(－3)        反思感悟　利用函数的奇偶性与单调性比较大小(1)自变量在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；(2)自变量不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小． 基础题型训练 一、单选题1．已知函数是定义在R上的偶函数，时，，那么的值是多少（   ）.A． B． C． D．2．已知定义在上的奇函数满足，则（    ）A． B．0 C．1 D．2．3．已知函数与函数分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，则A．1 B．2 C．0 D．-14．已知非空集合A，B满足：，，函数，对于下列两个命题：①存在唯一的非空集合对，使得为偶函数；②存在无穷多非空集合对，使得方程无解.下面判断正确的是（    ）A．①正确，②错误 B．①错误，②正确C．①､②都正确 D．①､②都错误5．已知定义在上的函数是偶函数，且在上单调递增，则满足的的取值范围为（    ）A． B．C． D．6．若函数同时满足:①对于定义域上的任意,恒有；②对于定义域上的任意,当时,恒有；则称函数为“理想函数”.给出下列三个函数：（1）（2）（3），其中能被称为“理想函数”的有（    ）个.A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题7．已知，设函数，，，若的最大值为，最小值为，那么和的值可能为（    ）A．4与1 B．5与2 C．5与3 D．6与48．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列结论正确的是（    ）A．B．当时，C．是图象的一条对称轴D．在上单调递增 三、填空题9．函数为偶函数，当时，，则时，________．10．已知函数，若，则实数的取值范围是______．11．已知定义在的偶函数在是增函数，且，则不等式的解集是______．12．已知是R上的偶函数，且，当时，，则__________. 四、解答题13．函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x>0时，f（x）＝－x＋1，求f（x）的解析式；14．已知偶函数定义域为，当时，.（1）求函数的表达式； （2）用函数单调性的定义证明：函数在区间单调递减，并解不等式.15．已知函数是定义在上的奇函数.(1)求函数的解析式；(2)判断函数的单调性并证明；(3)解不等式.16．已知函数为奇函数，且(1)求a，b的值；(2)判断函数在区间上的单调性，并用定义加以证明；(3)求在区间上的值域.    提升题型训练  一、单选题1．已知一个奇函数的定义域为，则（    ）A． B．3 C． D．12．已知偶函数在区间上单调递减，那么下列式子成立的是（    ）A． B．C． D．3．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是             A． B．C． D．4．已知函数，若，则实数＝(　　)A．－2 B．－1C．1 D．35．已知定义在上的函数满足．若函数与的图像的交点为，，…，，则（    ）A．5 B．10 C．15 D．206．狄利克雷函数为F(x).有下列四个命题：①此函数为偶函数，且有无数条对称轴；②此函数的值域是；③此函数为周期函数，但没有最小正周期；④存在三点，使得△ABC是等腰直角三角形，以上命题正确的是（　　）A．①② B．①③ C．③④ D．②④ 二、多选题7．某数学兴趣小组对函数进行研究，得出如下结论，其中正确的结论是（    ）A．是偶函数 B．的值域为C．有且只有1个零点 D．8．已知函数，，若存在实数m，使得对于任意的，都有，则称函数，有下界，m为其一个下界；类似的，若存在实数M，使得对于任意的，都有，则称函数，有上界，M为其一个上界.若函数，既有上界，又有下界，则称该函数为有界函数.下列说法正确的是（    ）A．若函数在定义域上有下界，则函数有最小值B．若定义在上的奇函数有上界，则该函数一定有下界C．若函数为有界函数，则函数是有界函数D．若函数的定义域为闭区间，则该函数是有界函数 三、填空题9．函数为偶函数，则实数a的值______.10．已知是定义域为的奇函数，且函数为偶函数，当时，，则______．11．已知函数，若对任意的，不等式恒成立，则实数m的取值范围是______.12．定义函数如下:对于实数,如果存在整数,使得,则.则下列结论:①是实数上的递增函数;②是周期为1的函数;③是奇函数;④函数的图像与直线有且仅有一个交点.则正确结论的序号是______. 四、解答题13．判断下列函数的奇偶性：(1)；(2)；(3)；(4)．14．已知函数，（1）求函数的定义域；（2）判断函数的奇偶性，并给予证明；（3）求不等式的解集.15．设设函数.(1)若，判断函数在区间上的单调性，并用定义法证明；(2)若函数为奇函数，，且对恒成立，求的取值范围.16．是定义在上的函数，对一切都有且（1）求；（2）判断函数的奇偶性