2024高考数学第一轮复习：专题2.6 幂函数（解析版）

这是一份2024高考数学第一轮复习：专题2.6 幂函数（解析版），共27页。试卷主要包含了五个幂函数的性质，其中幂函数的个数为，“”是“函数在上单调递增”的，已知函数的图象经过点，则等内容，欢迎下载使用。

2.6 幂函数
思维导图



知识点总结
知识点一　幂函数的概念
一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
知识点二　五个幂函数的图象与性质
1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y＝x；(2)y＝；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的图象如图．

2．五个幂函数的性质

y＝x
y＝x2
y＝x3

y＝x－1
定义域
R
R
R
[0，＋∞)
{x|x≠0}
值域
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
{y|y≠0}
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
增
在[0，＋∞) 上增，
在(－∞，0] 上减
增
增
在(0，＋∞)上减，
在(－∞，0)上减

知识点三　一般幂函数的图象特征
1．所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)．
2．当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸．
3．当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．
4．幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称．
5．在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．



典型例题分析
考向一 幂函数的概念
例1　(1)下列函数：
①y＝x3；②y＝x；③y＝4x2；④y＝x5＋1；⑤y＝(x－1)2；⑥y＝x；⑦y＝ax(a>1)．其中幂函数的个数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
答案　B
解析　幂函数有①⑥两个．
(2)已知是幂函数，求m，n的值．
考点　幂函数的概念
题点　由幂函数定义求参数值
解　由题意得
解得或
所以m＝－3或1，n＝.
反思感悟　判断函数为幂函数的方法
(1)自变量x前的系数为1.
(2)底数为自变量x.
(3)指数为常数．

考向二 幂函数的图象及应用
例2　(1)已知幂函数f(x)＝xα的图象过点P，试画出f(x)的图象并指出该函数的定义域与单调区间．
解　因为f(x)＝xα的图象过点P，
所以f(2)＝，即2α＝，
得α＝－2，即f(x)＝x－2，
f(x)的图象如图所示，

定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，单调减区间为(0，＋∞)，单调增区间为(－∞，0)．
(2)下列关于函数y＝xα与y＝αx的图象正确的是(　　)

答案　C
反思感悟　(1)幂函数图象的画法
①确定幂函数在第一象限内的图象：先根据α的取值，确定幂函数y＝xα在第一象限内的图象．
②确定幂函数在其他象限内的图象：根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函数f(x)在其他象限内的图象．
(2)解决与幂函数有关的综合性问题的方法
首先要考虑幂函数的概念，对于幂函数y＝xα(α∈R)，由于α的取值不同，所以相应幂函数的单调性和奇偶性也不同．同时，注意分类讨论思想的应用．

考向三 比较幂值的大小
例3　比较下列各组数的大小．
(1)0.5与0.5；
(2)－1与－1；
(3)与.
解　(1)因为幂函数y＝x0.5在(0，＋∞)上是单调递增的，
又>，所以0.5>0.5.
(2)因为幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是单调递减的，
又－<－，所以－1>－1.
(3)因为在(0，＋∞)上是单调递增的，
所以＝1，
又在(0，＋∞)上是单调递增的，
所以＝1，所以.
反思感悟　此类题在构建函数模型时要注意幂函数的特点：指数不变．比较大小的问题主要是利用函数的单调性，特别是要善于应用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的中间量．
考向四 幂函数性质的应用
例4　已知幂函数y＝x3m－9 (m∈N*)的图象关于y轴对称且在(0，＋∞)上单调递减，求满足
的a的取值范围．
考点　幂函数的性质
题点　利用幂函数的性质解不等式
解　因为函数在(0，＋∞)上单调递减，所以3m－9<0，
解得m<3.又因为m∈N*，所以m＝1,2.
因为函数的图象关于y轴对称，
所以3m－9为偶数，故m＝1.
则原不等式可化为
因为在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，
所以a＋1>3－2a>0或3－2a 解得 故a的取值范围是.

通过具体事例抽象出幂函数的概念和性质，并应用单调性求解，所以，本典例体现了数学中数学抽象与直观想象的核心素养．





基础题型训练

一、单选题
1．已知函数是幂函数，则函数(，且)的图象所过定点的坐标是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】先由函数是幂函数，求出，再由对数函数的特征，即可判断定点坐标.
【详解】因为函数是幂函数，
所以，因此，
所以，
由可得，，
所以函数(，且)的图象所过定点的坐标是.
故选：A.
2．函数的单调减区间是（    ）
A． B． C． D．和
【答案】D
【分析】利用f（x）与y的图像间的关系及幂函数性质即可得答案．
【详解】根据题意，函数f（x）的图像是由y的图像向下平移一个单位得到的，∴定义域为{x|x≠0}，单调性与y的单调性相同，
而函数y的单调减区间是（﹣∞，0）和（0，+∞），
∴函数f（x）的单调减区间是（﹣∞，0）和（0，+∞）；
故选D．
【点睛】本题考查函数的单调区间的求法及图像变换，考查了基本初等函数的性质，属于基础题．
3．已知幂函数y＝ (m∈Z)的图象与x轴和y轴没有交点，且关于y轴对称，则m等于（    ）
A．1 B．0，2 C．－1，1，3 D．0，1，2
【答案】C
【分析】由幂函数的图象的性质得到指数小于零，且为偶数，解不等式得m的可能值，然后再进行检验.
【详解】∵幂函数y＝(m∈Z)的图象与x轴、y轴没有交点，且关于y轴对称，
∴m2－2m－3≤0，且m2－2m－3(m∈Z)为偶数，
由m2－2m－3≤0，得－1≤m≤3，又m∈Z，
∴m＝－1，0，1，2，3.
当m＝－1时，m2－2m－3＝1＋2－3＝0，为偶数，符合题意；
当m＝0时，m2－2m－3＝－3，为奇数，不符合题意；
当m＝1时，m2－2m－3＝1－2－3＝－4，为偶数，符合题意；
当m＝2时，m2－2m－3＝4－4－3＝－3，为奇数，不符合题意；
当m＝3时，m2－2m－3＝9－6－3＝0，为偶数，符合题意．
综上所述，m＝－1，1，3.
故选：C.
4．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若，，则实数a的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据函数的解析式，分、和三种情况分类讨论，得出函数的解析式，结合函数的图象，即可求解.
【详解】由题意，当时，，
所以当时，；
当时，；
当时，.
综上，函数，
在时的解析式等价于.
根据奇函数的图像关于原点对称作出函数在上的大致图像如图所示，
观察图像可知，要使，，则需满足，
解得.
故选：B.

5．下列比较大小中正确的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用函数的单调性进行判断即可.
【详解】解：对于A选项，因为在上单调递增，所以，故A错误，
对于B选项，因为在上单调递减，所以，故B错误，
对于C选项，为奇函数，且在上单调递增，所以在上单调递增，
因为，又，
所以，故C正确，
对于D选项，在上是递增函数，
又，所以，所以，故D错误.
故选：C.
6．“”是“函数在上单调递增”的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据幂函数的性质可得：，然后根据充分、必要条件的判断即可求解.
【详解】由函数的性质可得：，
因为由一定能推出，但由不一定能推出，
所以“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件，
故选：.

二、多选题
7．关于幂函数是常数），结论正确的是（    ）
A．幂函数的图象都经过原点
B．幂函数图象都经过点
C．幂函数图象有可能关于轴对称
D．幂函数图象不可能经过第四象限
【答案】BCD
【分析】根据幂函数的性质逐一判断.
【详解】对于A：幂函数不经过原点，A错误
对于B：对于幂函数是常数），当时，，经过点，B正确；
对于C：幂函数的图像关于轴对称，C正确；
对于D：幂函数图象不可能经过第四象限，D正确.
故选：BCD.
8．已知函数的图象经过点，则（    ）
A．的图象经过点（2，4） B．的图象关于原点对称
C．在上单调递减 D．在内的值域为
【答案】BCD
【分析】由题意得，结合幂函数与反比例函数的图象与性质即可求解
【详解】将点代入，可得，则，
f（x）的图象不经过点（2，4），A错误；
根据反比例函数的图象与性质可得B，C，D正确.
故选：BCD

三、填空题
9．已知幂函数在上单调递增，则m＝______．
【答案】4
【分析】根据幂函数的定义与性质列式求解.
【详解】由题意可得，解得
故答案为：4.
10．已知是奇函数，且当时，.若，则__________.
【答案】-3
【分析】当时，代入条件即可得解.
【详解】因为是奇函数，且当时，．
又因为，，
所以，两边取以为底的对数得，所以，即．
【点睛】本题主要考查函数奇偶性，对数的计算．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．
11．若函数为奇函数，则的取值范围为__________．
【答案】
【详解】分析：中，，由在定义域内是一个偶函数，，知为奇函数，由此能求出的取值范围.
详解：中，，
，
在定义域内是一个偶函数，，
要使函数为奇函数，则为奇函数，
①当时，；
②当时，；
③当时，.
只有定义域为的子区间，且定义域关于0对称，才是奇函数，
，即，
.
故答案为.
点睛：本题考查函数的奇偶性的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意分类讨论思想的灵活应用.
12．已知幂函数为偶函数，且在区间上是单调增函数，则的值为_________．
【答案】
【详解】试题分析：因为幂函数在区间上是单调增函数，所以，解得：，因为，所以或或．因为幂函数为偶函数，所以是偶数，当时，，不符合，舍去；当时，；当时，，不符合，舍去．所以，故．
考点：1、幂函数的性质；2、函数值．

四、解答题
13．在同一坐标系内画出下列函数的图象，并加以比较：
（1），；    
（2），.
【答案】（1）答案解详解；（2）答案见详解.
【分析】（1）利用幂函数的图象与性质即可求解.
（2）利用幂函数的图象与性质即可求解.
【详解】（1）图象如图（1），
仅在上存在图象，
在上存在图象，且在第一象限内，两图象交于点，
当时，的图象在图象的上方，
当时，的图象在图象的下方，
的图象在图象的下方，

（2）图象如图（2），
仅图象在第一、三象限，
图象在第一、二象限内，且在第一象限内，两图象交于点，
当时，的图象在图象的下方，
当时，的图象在图象的上方，

14．已知函数为幂函数，且为奇函数.
（1）求的值；
（2）求函数在的值域.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）首先根据幂函数的定义得到，从而得到或，再根据为奇函数，即可得到答案.
（2）首先根据题意得到，再利用换元法求值域即可.
【详解】（1）因为函数为幂函数，
所以，解得或.
即或.
又因为函数为奇函数，所以，.
（2），
设，因为，所以，.
所以，
当时，，当时，，故值域为.
15．已知幂函数（m为正整数）的图像关于y轴对称，且在上是严格减函数，求满足的实数a的取值范围．
【答案】
【分析】根据函数为幂函数以及函数的性质，可确定参数m的取值，结合幂函数的单调性，分类讨论求解不等式，可得答案.
【详解】因为函数在上是严格减函数，所以，解得．
由m为正整数，则或,
又函数的图像关于y轴对称，得是偶函数，
而当时，，为奇函数，不符题意，
当时，，为偶函数，于是．
因为为奇函数，在与上均为严格减函数，
所以等价于或或，
解得或，即.
16．已知函数为奇函数，其中
求的值；
求使不等式成立的的取值范围.
【答案】（1），.（2）
【分析】（1）根据 ，可化简为，已知，解出的值；（2）根据（1）的结果，解不等式，求的取值范围.
【详解】解：因为为奇函数，所以对定义域内任意的恒成立
即
化简得
故，，解得，.
由知
由，得
解得
综上，满足题意的的取值范围是
【点睛】本题考查了对数型函数是奇函数求参数取值的问题，属于基础题型，当对数型函数是奇函数时，经常利用，计算求解.


提升题型训练

一、单选题
1．幂函数f（x）的图象过点，则f（x）的一个单调递减区间是（    ）
A．（0，+∞） B．[0，+∞） C．（﹣∞，0] D．（﹣∞，0）
【答案】A
【分析】设,根据,解出,根据幂函数的单调性可得答案.
【详解】设,则,即,
所以,所以,
所以的递减区间为,
故选:A
【点睛】本题考查了求幂函数的解析式,考查了幂函数的单调性,属于基础题.
2．数学学习的最终目标：让学习者会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界.“双11”就要到了，电商的优惠活动很多，某同学借助于已学数学知识对“双11”相关优惠活动进行研究.已知2019年“双11”期间某商品原价为元，商家准备在节前连续2次对该商品进行提价且每次提价，然后在“双11”活动期间连续2次对该商品进行降价且每次降价.该同学得到结论：最后该商品的价格与原来价格元相比.
A．相等 B．略有提高 C．略有降低 D．无法确定
【答案】C
【分析】先阅读题意，再列出现价，再比较大小即可.
【详解】解：设现价为，则，则，则该商品的价格与原来价格相比略有降低，
故选C.
【点睛】本题考查了函数的实际应用，重点考查了阅读能力，属基础题.
3．已知是幂函数，且、，都有，则不等式的解集为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用函数是幂函数且在为增函数可求得的值，将所求不等式变形为，由此可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围.
【详解】因为是幂函数，所以，解得或.
又因为、，都有，
可设，则，所以，函数是单调递增函数，
当时，，该函数在上不单调，不合乎题意；
当时，，该函数在上为增函数.
所以等价于，所以，解得.
故答案为：.
【点睛】本题考查利用函数的单调性求解函数不等式，同时也考查了利用幂函数求参数，考查计算能力，属于中等题.
4．已知幂函数为偶函数，则关于函数的下列四个结论中正确的是（    ）
A．的图象关于原点对称 B．的值域为
C．在上单调递减 D．

【答案】D
【分析】根据为幂函数且为偶函数可得，进而得，根据奇偶性的判断可判断A，根据单调性确定值域可判断B，C,代入计算进而可判断D.
【详解】因为是幂函数,所以,解得或,
又是偶函数,所以,故,
故;
对于A;,故是偶函数，图象关于轴对称，故A错误，
对于B；，由于，所以，故，故值域为，故B错误,
对于C;,由于在单调递增，故在单调递减，故在递增，故C错误，
对于D；从而，故D正确，
故选：D
5．定义在R上的偶函数在[0，＋∞)上是增函数，则方程＝的所有实数根的和为(　 　)
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】由函数为R上的偶函数，由偶函数的性质有f(|x|)＝f(|2x－3|)，再结合函数在[0，＋∞)上是增函数，列方程|x|＝|2x－3|求解即可.
【详解】解:由于函数f(x)为偶函数，则f(|x|)＝f(|2x－3|)，又函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，则|x|＝|2x－3|，整理得x2－4x＋3＝0，解得x1＝1，x2＝3，故x1＋x2＝4.
故选D.
【点睛】本题考查了偶函数的性质及函数单调性，重点考查了函数的性质，属基础题.
6．下列命题中，正确的有（    ）个
①对应：是映射，也是函数；
②若函数的定义域是（1,2），则函数的定义域为；
③幂函数与图像有且只有两个交点；
④当时，方程恒有两个实根.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】对于①，由映射和函数的定义判断即可；
对于②，由抽象函数的定义求解即可；
对于③，结合幂函数的性质作出图象即可判断；
对于④，将问题转化为与的图象交点个数的问题，作出图象即可判断.
【详解】解：对于①，对应：是映射，也是函数；符合映射，函数的定义，故①对；
对于②，若函数的定义域是（1,2），则 故函数的定义域为，故②对
对于③，幂函数为偶函数，在上单调递增，在上单调递减且图像过 ，为偶函数，在上单调递减，在上单调递增且图像过 所以两个图像有且只有两个交点；故③对；

于④，当时，单调递增，且函数值大于1，所以当时，方程只有一个实根.故④错；

故选：C

二、多选题
7．已知函数f（x）=xa的图象经过点（，2），则（    ）
A．f（x）的图象经过点（2，4） B．f（x）的图象关于原点对称
C．f（x）在（0，+∞）上单调递增 D．f（x）在（0，+∞）内的值域为（0，+∞）
【答案】BD
【分析】代入已知点坐标求得函数解析式，然后根据幂函数的性质判断．
【详解】将点的坐标代入，可得，则，的图象不经过点，A错误.在上单调递减，C错误.根据反比例函数的图象与性质可得B，D正确.
故选：BD．
8．设函数，则（    ）
A．存在实数，使的定义域为R
B．函数一定有最小值
C．对任意的负实数，的值域为
D．若函数在区间上递增，则
【答案】ABD
【分析】对于A：当时，
的定义域为R，所以A正确；
对于B：，所以一定有最小值，所以B正确；
对于C： 举例验证即可；
对于D：分两种情况，根据单调性求解，所以D正确；
【详解】对于A：当，即时，若，定义域为，
当时，若的定义域为R，则，即，即，，所以存在实数，使的定义域为R，所以A正确；
对于B：，所以一定有最小值，所以B正确；
对于C：当时，，所以的值域为，所以C不正确；
对于D：当，即时，若，满足函数在区间上递增，
当时，若函数在区间上递增，则，解得，
综上，所以D正确；
故选：ABD.

三、填空题
9．已知幂函数f(x)=xa的图象过点(4,2),则a=_______
【答案】
【分析】直接把点的坐标代入幂函数的解析式即得解.
【详解】由题得
所以.
故答案为
【点睛】本题主要考查幂函数的解析式中参数的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.
10．实数满足，则实数的取值集合为__________.
【答案】
【分析】首先分析出幂函数的定义域和单调性，然后可解出不等式.
【详解】，其定义域为，且在定义域上单调递减，
因为，所以，解得
故答案为：
11．已知幂函数的图像关于直线对称，且在上单调递减，则关于的不等式的解集为______．
【答案】
【分析】由幂函数单调递减得，结合图像关于对称即为偶函数，即可求得，利用幂函数的单调性即可解不等式.
【详解】由在上单调递减得，，故，又，故或2，当时，，满足条件；当时，，图像不关于直线对称，故.
因为函数在为减函数，故由不等式得，
或或.
解得或，综上：.
故答案为：
12．设函数，则使成立的的取值范围是___________.
【答案】
【详解】分析：首先判断函数为偶函数，再判断在单调递减，得到在单调递增，从而将原不等式转化为求解即可.
详解：因为函数，所以时， ,可得在单调递减，，所以函数为偶函数，所以在单调递增，又因为，，，，，故答案为.
点睛：本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性的应用，属于难题.将奇偶性与单调性综合考查是，一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.

四、解答题
13．已知幂函数的图像经过点，求这个幂函数的解析式.
【答案】.
【解析】设出幂函数的解析式，把点的坐标代入求出参数即可.
【详解】解：设幂函数，因为图像经过点，所以，所以，所以.
【点睛】本题考查了已知幂函数图像过点求解析式问题，属于基础题.
14．已知幂函数图像不经过第三象限；
(1)求的值；
(2)求函数的值域.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据幂函数的定义可知，再结合其图像不经过第三象限即可求出；
（2）由（2）可知，，定义域为，再换元，根据二次函数的性质即可求出．
(1)
根据题意得，，解得或，又因为的图象 不经过第三象限，所以．
(2)
由题意得，.令，，在单调递增，所以的值域为.
15．已知函数.
（1）若是实数集上的奇函数，求的值；
（2）用定义证明在实数集上的单调递增；
（3）若的值域为，且[，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.
【分析】（1）利用奇函数的定义，建立方程，即可求实数m的值；
（2）利用函数的单调性定义证明即可；
（3）由可得，即，解之即可.
【详解】（1）∵f（x）是R上的奇函数，
∴f（x）+f（﹣x）=m﹣+m﹣=0，
即2m﹣（ +）=0⇒2m﹣1=0，
解得m=.
（2）设 x1＜x2且x1，x2∈R，
则f（x1）﹣f（x2）=m﹣﹣（m﹣）=，
∵x1＜x2∴，
，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在R上单调递增.
（3）由，所以m﹣1＜f（x）＜m，f（x）值域为D，
且，∴D=（m﹣1，m），
∵
∴，∴m的取值范围是．
【点睛】本题考查了函数的奇偶性与单调性，考查了集合之间的包含关系，考查了推理能力，属于中档题．
16．已知幂函数满足．
(1)求函数的解析式；
(2)若函数，是否存在实数使得的最小值为0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；
(3)若函数，是否存在实数，使函数在上的值域为？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)存在使得的最小值为0
(3)存在，

【分析】（1）由题意可得，从而可求出，再由可知幂函数为增函数，从而可确定出函数解析式，
（2）由（1）可得，令，则，，然后分，和三种情况求函数的最小值，
（3），由题意可得，令，，则得，求得， ，从而可求出范围
(1)
∵为幂函数，∴，∴或．
当时，在上单调递减，
故不符合题意．
当时，在上单调递增，
故，符合题意．∴．
(2)
，令．∵，∴，
∴，．
当时，时，函数有最小值，∴，．
②当时，时，函数有最小值．∴，（舍）．
③当时，时，函数有最小值，
∴，（舍）．
∴综上．
(3)
，易知在定义域上单调递减，
∴，即，
令，，
则，，
∴，∴，
∴．
∵，∴，
∴，∴，
∴．
∵，∴，∴，
∴ ．
∴．
【点睛】关键点点睛：此题考查幂函数的解析式的求法，考查二次函数的性质的应用，考查函数值域的求法，考查数学分类思想，第（3）问解题的关键是由题意得，换元令，，进一步转化为求解得，从而可得，再利用二次函数的性质可求得结果，属于较难题