2024高考数学第一轮复习：专题2.7 函数模型及其应用（解析版）

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2.7 函数模型及其应用
思维导图



知识点总结
知识点一　一次函数模型
形如y＝kx＋b的函数为一次函数模型，其中k≠0.
知识点二　二次函数模型
1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
2．顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)．
3．两点式：y＝a(x－m)(x－n)(a≠0)．
知识点三　幂函数模型
1．解析式：y＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0)．
2．单调性：其增长情况由xα中的α的取值而定．

知识点四　几类已知函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
反比例函数模型
f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数型函数模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
对数型函数模型
f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
幂函数型模型
f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)

知识点五　应用函数模型解决问题的基本过程
1．审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；
2．建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型；
3．求模——求解数学模型，得出数学模型；
4．还原——将数学结论还原为实际问题．
典型例题分析
考向一 一次函数模型的应用实例
例1　某报刊亭从报社买进报纸的价格是每份0.24元，卖出的价格是每份0.40元，卖不掉的报纸可以以每份0.08元的价格退回报社．在一个月(以30天计算)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的报纸份数必须相同，试问报刊亭摊主应该每天从报社买进多少份报纸，才能使每月所获利润最大．
解　设每天从报社买进x份(250≤x≤400)报纸；
每月所获利润是y元，则每月售出报纸共(20x＋10×250)份；
每月退回报社报纸共10×(x－250)份．
依题意得，y＝(0.40－0.24)×(20x＋10×250)－(0.24－0.08)×10(x－250)．
即y＝0.16(20x＋2 500)－0.16(10x－2 500)，
化简得y＝1.6x＋800，其中250≤x≤400，
因为此一次函数(y＝kx＋b，k≠0)的k＝1.6>0，
所以y是一个单调增函数，再由250≤x≤400知，
当x＝400时，y取得最大值，
此时y＝1.6×400＋800＝1 440(元)．
所以买进400份所获利润最大，获利1 440元．
反思感悟　一次函数模型的特点和求解方法
(1)一次函数模型的突出特点是其图象是一条直线．
(2)解一次函数模型时，注意待定系数法的应用，主要步骤是：设元、列式、求解．

考向二 二次函数模型的应用实例
例2　牧场中羊群的最大蓄养量为m只，为保证羊群的生长空间，实际蓄养量不能达到最大蓄养量，必须留出适当的空闲率．已知羊群的年增长量y只和实际蓄养量x只与空闲率的乘积成正比，比例系数为k(k>0)．(空闲率指空闲量与最大蓄养量的比值)
(1)写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域；
(2)求羊群年增长量的最大值；
(3)当羊群的年增长量达到最大值时，求k的取值范围．
解　(1)根据题意，由于最大蓄养量为m只，实际蓄养量为x只，
则蓄养率为，故空闲率为1－，
由此可得y＝kx(0 (2)对原二次函数配方，得y＝－(x2－mx)
＝－2＋.
即当x＝时，y取得最大值.
(3)由题意知为给羊群留有一定的生长空间，
则有实际蓄养量与年增长量的和小于最大蓄养量，
即0 因为当x＝时，ymax＝，
所以0<＋ 解得－2 又因为k>0，所以0 反思感悟　利用二次函数求最值的方法及注意点
(1)方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法利用函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题．
(2)注意：取得最值的自变量与实际意义是否相符．

考向三 幂函数与分段函数模型
例3　(1)某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x(万元)与药品利润y(万元)存在的关系为y＝xα(α为常数)，其中x不超过5万元，已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为________万元．
答案　125
解析　由已知投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，代入y＝xα中，即3α＝27，解得α＝3，故函数解析式为y＝x3，所以当x＝5时，y＝125.
(2)手机上网每月使用量在500分钟以下(包括500分钟)、60分钟以上(不包括60分钟)按30元计费，超过500分钟的部分按0.15元/分钟计费，假如上网时间过短，使用量在1分钟以下不计费，在1分钟以上(包括1分钟)按0.5元/分钟计费，手机上网不收通话费和漫游费．
①12月份小王手机上网使用量20小时，要付多少钱？
②小舟10月份付了90元的手机上网费，那么他上网时间是多少？
③电脑上网费包月60元/月，根据时间长短，你会选择哪种方式上网呢？
解　设上网时间为x分钟，由已知条件知所付费用y关于x的函数解析式为y＝
①当x＝20×60＝1 200，即x>500时，应付y＝30＋0.15×(1 200－500)＝135(元)．
②90元已超过30元，所以上网时间超过500分钟，由30＋0.15(x－500)＝90可得，上网时间为900分钟．
③令60＝30＋0.15(x－500)，
解得x＝700.
故当一个月经常上网(一个月使用量超过700分钟)时选择电脑上网，而当短时间上网(一个月使用量不超过700分钟)时选择手机上网．
反思感悟　(1)处理幂函数模型的步骤
①阅读理解、认真审题．
②用数学符号表示相关量，列出函数解析式．
③根据幂函数的性质推导运算，求得结果．
④转化成具体问题，给出解答．
(2)应用分段函数时的三个注意点
①分段函数的“段”一定要分合理，不重不漏．
②分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集．
③分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论．

考向四 指数型函数模型
例4　目前某县有100万人，经过x年后为y万人．如果年平均增长率是1.2%，请回答下列问题：(已知：1.01210≈1.126 7，1.01211≈1.140 2，lg 1.2≈0.079，lg 1.012≈0.005)
(1)写出y关于x的函数解析式；
(2)计算10年后该县的人口总数(精确到0.1万人)；
(3)计算大约多少年后该县的人口总数将达到120万(精确到1年)．
解　(1)当x＝1时，y＝100＋100×1.2%＝100(1＋1.2%)；
当x＝2时，y＝100(1＋1.2%)＋100(1＋1.2%)×1.2%＝100(1＋1.2%)2；
当x＝3时，y＝100(1＋1.2%)2＋100(1＋1.2%)2×1.2%＝100(1＋1.2%)3；….
故y关于x的函数解析式为y＝100(1＋1.2%)x(x∈N*)．
(2)当x＝10时，y＝100×(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈112.7.
故10年后该县约有112.7万人．
(3)设x年后该县的人口总数为120万，
即100×(1＋1.2%)x＝120，
解得x＝log1.012≈16.
故大约16年后该县的人口总数将达到120万．
反思感悟　在实际问题中，有关人口增长、银行复利、细胞分裂等增长率问题常可以用指数型函数模型表示，通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式．
考向五 对数型函数模型
例5　我们知道，燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5log2，单位是m/s，其中O表示燕子的耗氧量．
(1)计算，当燕子静止时的耗氧量是多少个单位？
(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？
解　(1)由题意知，当燕子静止时，它的速度v＝0，代入题中公式，可得0＝5log2，解得O＝10个单位．
(2)将耗氧量O＝80代入题中公式，得v＝5log2＝5log28＝15(m/s)．
反思感悟　有关对数型函数的应用题一般都会给出函数关系式，要求根据实际情况求出函数关系式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入关系式求值，然后根据值回答其实际意义．

考向六 建立拟合函数模型解决实际问题
例3　某纪念章从2019年1月6日起开始上市．通过市场调查，得到该纪念章每枚的市场价y(单位：元)与上市时间x(单位：天)的数据如下：
上市时间x天
4
10
36
市场价y元
90
51
90

(1)根据上表数据结合散点图，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系并说明理由：①y＝ax＋b；②y＝ax2＋bx＋c；③y＝alogbx；
(2)利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格．
解　(1)∵随着时间x的增加，y的值先减后增，而所给的三个函数中y＝ax＋b和y＝alogbx显然都是单调函数，不满足题意，
∴用函数y＝ax2＋bx＋c描述该纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系．
(2)把点(4,90)，(10,51)，(36,90)分别代入y＝ax2＋bx＋c中，
得解得
∴y＝x2－10x＋126＝(x－20)2＋26.
∴当x＝20时，y有最小值26.
故该纪念章市场价最低时的上市天数为20天，最低的价格为26元．
反思感悟　建立函数模型应遵循的三个原则
(1)简化原则：建立函数模型，原型一定要简化，抓主要因素，主要变量，尽量建立较低阶、较简便的模型．
(2)可推演原则：建立模型，一定要有意义，既能作理论分析，又能计算、推理，且能得出正确结论．
(3)反映性原则：建立模型，应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明问题的功能，能回到具体问题中解决问题．
基础题型训练

一、单选题
1．函数的零点是（    ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【解析】令，计算得到答案.
【详解】令，得.所以函数的零点为.
故选：
【点睛】本题考查了函数的零点，属于简单题.
2．函数的一个零点为，则它的另一个零点是（    ）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【解析】将零点转化为方程的解，根据韦达定理计算，得到答案.
【详解】设方程的两根分别为，，由根与系数的关系得，所以方程的另一个根为1.
故选：
【点睛】本题考查了函数的零点，转化为方程的解是解题的关键.
3．函数在下列区间内一定有零点的是
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用零点存在性定理检验即可得到答案.
【详解】函数是单调递增的函数，
且f(-1)=f(0)=1>0,
由零点存在性定理可知函数在区间（-1,0）上定存在零点，
故选A.
【点睛】本题考查零点存在性定理的简单应用，属于基础题.
4．方程的实数解的个数是（    ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】将方程的解转化为函数的交点个数，画出函数图像得到答案.
【详解】的实数解的个数即函数的图像和直线的交点个数.
数形结合求得的图像和直的交点个数为1
故选：

【点睛】本题考查了方程的解的个数问题，转化为函数的交点是解题的关键.
5．函数的零点个数为（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】得，画出函数图像，根据图像得到答案.
【详解】由得，
分别画出函数与的图象，如图所示：
由图可知两个函数图像的交点个数为2，即函数的零点个数为2
故选：B.

【点睛】本题考查了函数的零点个数问题，转化为函数图像的交点是解题的关键.
6．如果关于x的方程有实数根，则a的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】变换得到，根据得到答案.
【详解】方程可变形为，因为，所以.
故选：
【点睛】本题考查了方程解的问题，利用参数分离可以快速得到答案，是解题的关键.
7．用二分法找函数在区间上的零点近似值，取区间中点，则下一个存在零点的区间为（　　）．
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为； ；
又已知；所以；
所以零点在区间．
故选B
8．在用二分法求方程3x+3x﹣8=0在（1，2）内近似根的过程中，已经得到，则方程的根落在区间（    ）
A．（1，1.25） B．（1.25，1.5） C．（1.5，2） D．不能确定
【答案】B
【分析】根据零点存在性定理即可确定零点所在区间.
【详解】∵f（1）<0，f（1.5）>0，
∴在区间（1，1.5）内函数=3x+3x﹣8存在一个零点
又∵f（1.5）>0，f（1.25）<0，
∴在区间（1.25，1.5）内函数=3x+3x﹣8存在一个零点，
由此可得方程的根落在区间（1.25，1.5）内，
故选：B
9．设是函数的零点，若，则的值满足（    ）
A． B． C． D．以上都有可能
【答案】B
【解析】由题可判断在上单调递增,且,利用单调性即可得到与0的关系
【详解】由题,在上单调递增,在上单调递减,则在上单调递增,因为时零点,且,则
故选：B
【点睛】本题考查函数单调性的应用,考查零点的定义
10．据统计，第x年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y（只）近似满足.观测发现第1年有越冬白鹤3000只，估计第7年有越冬白鹤（    ）
A．4000只 B．5000只 C．6000只 D．7000只
【答案】C
【分析】将代入表达式得，再将代入计算即可.
【详解】解：由题意，得，得，
所以当时，.
故选：C.
11．某厂印刷某图书总成本y（元）与图书日印量x（本）的函数解析式为y=5x+3000，而图书出厂价格为每本10元，则该厂为了不亏本，日印图书至少为（　　）
A．200本 B．400本 C．600本 D．800本
【答案】C
【分析】该厂为了不亏本，日印图书至少为x本，则利润函数f（x）=10x-（5x+3000）≥0，由此能求出结果．
【详解】该厂为了不亏本，日印图书至少为x本，
则利润函数f（x）=10x-（5x+3000）≥0，
解得x≥600．
∴该厂为了不亏本，日印图书至少为600本．
故选C．
【点睛】本题考查函数的实际应用问题，是基础题．
12．某商场出售一种商品，每天可卖1 000件，每件可获利4元．据经验，若这种商品每件每降价0.1元，则比降价前每天可多卖出100件，为获得最好的经济效益，每件售价应降低的价格为(　　)
A．2元 B．2.5元
C．1元 D．1.5元
【答案】D
【分析】根据经济效益为每件获利×每天卖出商品件数，可构建函数关系式，利用配方法，即可求得所求每件单价．
【详解】设每件降价0.1x元，则每件获利（4-0.1x）元，每天卖出商品件数为（1000+100x）．
经济效益：y=（4-0.1x）（1000+100x）=-10x2+300x+4 000=-10（x2-30x+225-225）+4000
=-10（x-15）2+6 250．
∴x=15时，ymax=6 250．
即每件单价降低1.5元，可获得最好的经济效益．
【点睛】本题利用数学知识解决实际问题，解题的关键是寻找等量关系，构建函数关系式，利用配方法解决二次函数最值问题．

二、解答题
13．如图，某中学准备在校园里利用院墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园，已知院墙长为25米，篱笆长50米（篱笆全部用完），设篱笆的一面的长为米．

(1)当的长为多少米时，矩形花园的面积为300平方米？
(2)若围成的矩形的面积为 S 平方米，当 x 为何值时， S 有最大值，最大值是多少？
【答案】(1)15米；
(2)当 x 为12.5米时， S 有最大值，最大值是312.5平方米.

【分析】（1）设篱笆的一面的长为 x 米，则，根据“矩形花园的面积为300平方米”列一元二次方程，求解即可；
（2）根据题意，可得，根据二次函数最值的求法求解即可．
【详解】（1）设篱笆的一面AB的长为 x 米，则，
由题意得，，
解得，
，
，
，
所以，的长为15米时，矩形花园的面积为300平方米；
（2）由题意得，
时， S 取得最大值，此时，，
所以，当 x 为12.5米时， S 有最大值，最大值是312.5平方米．
14．如图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽2m，渠深为1.8m，斜坡的倾斜角是45°（无水状态不考虑）.

(1)试将横断面中水的面积（）表示成水深（m）的函数；
(2)当水深为1.2m时，求横断面中水的面积.
【答案】(1)
(2)3.84

【分析】（1）根据给定条件利用梯形的面积公式列式化简即得.
（2）由（1）得出的函数的解析式，代入计算可得答案.
（1）
依题意，横断面中的水面是下底为2m，上底为m，高为h m的等腰梯形，    
所以.
（2）
由（1）知，，，
所以当水深为1.2m时，横断面水中的面积为3.84.
15．某公司设计了某款新产品，为生产该产品需要引进新型设备.已知购买该新型设备需要3万元，之后每生产x万件产品，还需另外投入原料费及其他费用万元，产量不同其费用也不同，且已知每件产品的售价为8元且生产的该产品可以全部卖出.
(1)写出年利润（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；
(2)该产品年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？其最大利润为多少万元？
【答案】(1)
(2)当该产品年产量为8万件时，年利润最大，最大利润为29万元

【分析】（1）根据题意，建立函数关系式；
（2）利用函数单调性求出最大值，即可得到答案.
【详解】（1）当时，.
当时，.
故
（2）当时，，
所以当时，取得最大值，且最大值为29；
当时，，此时单调递减，
所以当时，取得最大值，且最大值为27.
综上，当该产品年产量为8万件时，年利润最大，最大利润为29万元.
16．吉祥物“冰墩墩”在北京2022年冬奥会强势出圈，并衍生出很多不同品类的吉祥物手办．某企业承接了“冰墩墩”玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为200万元．每生产万盒，需投入成本万元，当产量小于或等于50万盒时；当产量大于50万盒时，若每盒玩具手办售价200元，通过市场分析，该企业生产的玩具手办可以全部销售完（利润＝售价－成本，成本＝固定成本＋生产中投入成本）
(1)求“冰墩墩”玩具手办销售利润（万元）关于产量（万盒）的函数关系式；
(2)当产量为多少万盒时，该企业在生产中所获利润最大？
【答案】(1)
(2)70万盒

【分析】（1）根据题意分和两种情况求解即可；
（2）根据分段函数中一次与二次函数的最值求解即可.
【详解】（1）当产量小于或等于50万盒时，，
当产量大于50万盒时，，
故销售利润（万元）关于产量（万盒）的函数关系式为

（2）当时，；
当时，，
当时，取到最大值，为1200．                    
因为，所以当产量为70万盒时，该企业所获利润最大．
17．“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，把每尾鱼的平均生长速度v（单位：千克/年）表示为养殖密度x（单位：尾/立方米）的函数.当时，v的值为2；当时，v是关于x的一次函数.当x＝20时，因缺氧等原因，v的值为0.
(1)当时，求函数的表达式；
(2)当x为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？并求出最大值.
【答案】(1)
(2)x＝10，最大值为12.5千克/立方米

【分析】（1）根据题意得建立分段函数模型求解即可；
（2）分段求得函数的最值，比较可得答案.
【详解】（1）依题意，当时，；
当时，是关于x的一次函数，假设，
则，解得，
所以.
（2）当时，；
当时，，
当时，取得最大值.
因为，所以当x＝10时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5.
18．首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题.某单位在国家科研部门的支持下进行技术攻关，采取了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本 (元)与月处理量 (吨)之间的函数关系可近似的表示为 ，且处理每吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.
(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？
【答案】(1)400吨；
(2)不获利，需要国家每个月至少补贴40000元才能不亏损.

【分析】（1）由题设平均每吨二氧化碳的处理成本为，应用基本不等式求其最小值，注意等号成立条件.
（2）根据获利，结合二次函数的性质判断是否获利，由其值域确定最少的补贴额度.
【详解】（1）由题意知，平均每吨二氧化碳的处理成本为；
当且仅当 ，即 时等号成立，
故该当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低为200元.
（2）不获利，设该单位每个月获利为S元，则 ，
因为，则，
故该当单位每月不获利，需要国家每个月至少补贴40000元才能不亏损.
19．为了加强“疫情防控”，某校决定在学校门口借助一侧原有墙体，建造一间墙高为4米，底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园应急室，由于此应急室的后背靠墙，无需建造费用，公司甲给出的报价为：应急室正面的报价为每平方米400元，左右两侧报价为每平方米300元，屋顶和地面报价共计9600元，设应急室的左右两侧的长度均为x米（），公司甲的整体报价为y元．
(1)试求y关于x的函数解析式；
(2)现有公司乙也要参与此应急室建造的竞标，其给出的整体报价为元，若采用最低价中标规则，哪家公司能竞标成功？请说明理由．
【答案】(1)；
(2)公司乙，理由见解析.

【分析】（1）根据给定条件，用x表示出应急室正面墙的长度，再列式作答.
（2）由（1）的结论，利用均值不等式、函数单调性分别求出甲公司报价最小值、乙公司报价最大最小值，再比较作答.
【详解】（1）因应急室的左右两侧的长度均为x米，则应急室正面的长度为米，
于是得，，
所以y关于x的函数解析式是.
（2）由（1）知，对于公司甲，，当且仅当，即时取“=”，
则当左右两侧墙的长度为4米时，公司甲的最低报价为28800元，
对于乙，函数在上单调递增，，即乙公司最高报价为22900元，
因，因此，无论x取何值，公司甲的报价都比公司乙的高，
所以公司乙能竞标成功.
20．2016年4月16日00时25分日本九州发生7.3级地震．地震发生后，停水断电，交通受阻．已知A地到B地的电话线路发生故障(假设线路只有一处发生故障)，这是一条10 km长的线路，每隔50 m有一根电线杆，如何迅速查出故障所在？
【答案】答案见解析.
【解析】先画出线路图,从中点开始排查,可排除一半,利用二分法的思想,再找这一半的中点,以此类推,即可快速排查故障所在
【详解】可以参照二分法求函数零点近似值的方法，以减少工作量并节省时间．
如图，可首先从中点C开始检查，若AC段正常，则故障在BC段；
再到BC段中点D检查，若CD段正常，则故障在BD段；
再到BD段中点E检查，
如此这般，每检查一次就可以将待查的线路长度缩短半，经过7次查找，即可将故障范围缩小50～100 m之间，即可迅速找到故障所在．

【点睛】本题考查二分法在实际中的应用，属于基础题.
21．已知函数f(x)＝3ax2＋2bx＋c，a＋b＋c＝0，f(0)>0，f(1)>0，证明a>0，并利用二分法证明方程f(x)＝0在区间[0,1]内有两个实根．
【答案】见解析
【详解】试题分析：根据函数解析式代入f（0）＞0、f（1）＞0，得c＞0且3a+2b+c＞0，结合a+b+c=0化简即可得到a＞0；利用a+b+c=0化简得f()＝-,结合a>0，可得f()<0，由f()与f(0)，f(1)都异号，利用零点存在性定理得f(x)＝0在区间和上各有一个零点，由此可得f(x)＝0在区间[0,1]内有两个实根.
试题解析：
∵f(1)>0，∴3a＋2b＋c>0，
即3(a＋b＋c)－b－2c>0.
∵a＋b＋c＝0，∴－b－2c>0，
则－b－c>c，即a>c.
∵f(0)>0，∴c>0，则a>0.
在区间[0,1]内选取二等分点，
则f＝a＋b＋c＝a＋(－a)＝－a<0.
∵f(0)>0，f(1)>0，
∴函数f(x)在区间和上各有一个零点．
又f(x)最多有两个零点，从而f(x)＝0在[0,1]内有两个实根．
22．已知函数在区间上有个零点.
（1）求实数a的取值范围；
（2）若，用二分法求方程在区间上的根.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）分别讨论与的情况,利用零点存在性定理求解即可；
（2）当时,,由可得函数的零点在区间上,进而求得,即可求得方程的根
【详解】（1）若,则,与题意不符,∴,
若,则由题意可知,,则在上是单调函数,故,
解得,
故的取值范围为
（2）若,
则,
,,,
∴函数的零点在区间上,又,
∴方程在区间上的根为
【点睛】考查已知零点所在区间求参数范围,考查利用二分法求方程的根,考查运算能力
23．某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y（万元）与年产量x（吨）之间的函数关系式可以近似表示为，已知此生产线年产量最大为210吨，若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】年产量为210吨时，可获得最大利润，最大利润是1660万元.
【分析】利用收入减去总成本表示出年利润，通过配方求出二次函数的对称轴，因开口向下，对称轴处取得最大值.
【详解】解:设可获得的总利润为万元，则
∵在上是增函数，
∴当时，.
∴年产量为210吨时，可获得最大利润，最大利润是1660万元.
【点睛】本题考查二次函数的最值，可配方求最值，注意自变量的取值范围.
24．某厂推出品牌为“玉兔”的新产品，生产“玉兔”的固定成本为20000元，每生产一件“玉兔”需要增加投入100元，根据统计数据，总收益P（单位：元）与月产量x（单位：件）满足（注：总收益=总成本+利润）
（1）请将利润y（单位：元）表示成关于月产量x（单位：件）的函数；
（2）当月产量为多少时，利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）；（2）月产量为300件时，最大利润为25000元
【解析】（1）由题意可知总成本是，根据利润=总收益-总成本，列分段函数；
（2）由（1）的分段函数，分别求每段函数的最大值，比较最大值就是最大利润.
【详解】（1）依题意，总成本是元，
所以，即
（2）由（1）知，当时，，
所以当时，；当时，.
故当月产量为300件时，利润最大，最大利润为25000元.
综上可知当月产量为300件时，利润最大，最大利润为25000元.
【点睛】本题考查分段函数的应用问题，意在考查抽象和概括能力，属于基础题型.
25．牧场中羊群的最大畜养量为m只，为保证羊群的生长空间，实际畜养量不能达到最大畜养量，必须留出适当的空闲量,已知羊群的年增长量y（只）和实际畜养量x（只）与空闲率的乘积成正比，比例系数为.
（1）写出y关于x的函数解析式，并指出这个函数的定义域；
（2）求羊群年增长量的最大值.
【答案】（1）；（2）最大值
【解析】（1）由题意可知空闲率是，由题意列式；
（2）由（1）可知，求二次函数的最大值.
【详解】（1）根据题意，最大备养量为m只实际畜养量为x只，则畜养率为，故空闲率为，
由此可得.
（2）由（1）得.
所以当时，y取得最大值.故羊群年增长量的最大值为
【点睛】本题考查函数的实际应用，意在考查分析问题，抽象和概括的能力，属于基础题型.
26．国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若旅行团人数在30人或30人以下，飞机票价格为900元；若旅行团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，飞机票价格就减少10元，直到达到规定人数75人为止.旅行团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15000元.
(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；
(2)旅行团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？
【答案】(1)
(2)当旅行团人数为60人时，旅行社获得最大利润21000元.

【分析】（1）根据题意直接可得；
（2）根据分段函数分别求各段的最值，然后可得.
【详解】（1）记旅行团人数为x，飞机票价格为y，
则由题意可知，，
即
（2）记旅行社所获利润为M，
则
当时，（元），
当时，，
故当时，（元）
综上，当旅行团人数为60人时，旅行社获得最大利润21000元.
27．下表表示的是某款车的车速与刹车距离的关系，试分别就，，三种函数关系建立数学模型，并探讨最佳模拟，根据最佳模拟求车速为120km/h时的刹车距离．
车速/（km/h）
10
15
30
40
50
刹车距离/m
4
7
12
18
25
车速/（（km/h）
60
70
80
90
100
刹车距离/m
34
43
54
66
80


【答案】以为模拟函数，当车速为120km/h时，停车距离为114m．
【分析】先求出，，解析式，再分别计算车速为90km/h，100km/h时的停车距离，确定函数模型，即可求得结论．
【详解】解：若以为模拟函数，将，代入函数关系式，得，解得，，以此函数关系式计算车速为90km/h，100km/h时，停车距离分别为220.8m，364.5m，与实际数据相比，误差较大．
若以为模拟函数，将，代入函数关系式，得，解得，，以此函数关系式计算车速为90km/h，100km/h时，停车距离分别为43.39m，48.65m，与实际情况误差也较大．
若以为模拟函数，将，，代入函数关系式，得，解得，，
以此函数关系式计算车速为90km/h，100km/h时，停车距离分别为68m，82m，与前两个函数相比，此函数更符合实际情况．
当时，，即当车速为120km/h时，停车距离为114m．
【点睛】本题考查函数模型的选择，考查学生的计算能力，考查利用数学知识解决实际问题，属于中档题．



提升题型训练

一、单选题
1．某厂日生产文具盒的总成本y（元）与日产量x（套）之间的关系为y＝6x＋30 000.而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒（    ）
A．2 000套 B．3 000套
C．4 000套 D．5 000套
【答案】D
【解析】列出利润的表达式再求解的解即可.
【详解】因利润z＝12x－(6x＋30 000),所以z＝6x－30 000,由z≥0解得x≥5 000,故至少日生产文具盒5 000套.
故选：D
【点睛】本题主要考查了实际应用中的利润问题,属于基础题.
2．函数的单调递减区间是
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】首先求出函数的定义域，根据复合函数的单调性写出单调区间即可．
【详解】由，得或，
定义域为，
的单调递减区间为．
故选A
【点睛】本题考查函数的单调区间，函数的单调区间是函数定义域的子集，所以求解函数的单调区间时，必须先求出函数的定义域．
3．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销售中发现，这种商品每天的销量（件）与每件的售价（元）满足一次函数：．若要每天获得最大的销售利润，每件商品的售价应定为
A．30元 B．42元 C．54元 D．越高越好
【答案】B
【分析】先建立二次函数，再利用配方法求出取得最大值时的销售定价．
【详解】设每天的销售利润为元，则，，将上式配方后得，当时，取得最大值.故每件商品的售价定为42元时，每天才能获得最大的销售利润.
【点睛】本题考查二次函数在实际生活中的应用，解答本题的关键是根据等量关系：“每天的销售利润=（销售价—进价）每天的销售量”列出函数关系式，另外要熟练掌握二次函数求最值方法，属于基础题．
4．从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度（单位：）与小球运动时间（单位：）之间的关系式为，那么小球从抛出至回落到地面所需要的时间是
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据函数关系式，令，解出，即可得到答案．
【详解】由于小球的高度（单位：）与小球运动时间（单位：）之间的关系式为所以令，得（舍）或.
故小球从抛出至回落到地面所需要的时间是
故答案选A
【点睛】本题考查运动函数方程，是二次函数的实际应用，属于基础题．
5．随着海拔高度的升高，大气压强下降，空气中的含氧量也随之下降，且含氧量与大气压强成正比例函数关系．当时，，则与的函数关系式为
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设，将代人解析式中，计算出值，即可得到答案．
【详解】由题意设，将代人解析式可得，故，考虑到含氧量不可能为负，可知.
【点睛】本题考查正比例函数的解析式 ，属于基础题．
6．某地固定电话市话收费规定：前三分钟元（不满三分钟按三分钟计算），以后每加一分钟增收元（不满一分钟按一分钟计算），那么某人打市话用时550秒，应支付电话费
A．元 B．元 C．元 D．元
【答案】B
【分析】设所用时间为分钟，应支付电话费为元，根据题意求出当时，与的函数关系式，代值计算即可得答案．
【详解】设所用时间为分钟，应支付电话费为元，
则（是不小于的最小整数，），令，故，则.
故答案选B
【点睛】本题考查实际问题中求函数的解析式以及函数值，属于基础题．
7．下面是一幅统计图，根据此图得到的以下说法中，正确的个数是（    ）

①这几年生活水平逐年得到提高；
②生活费收入指数增长最快的一年是2014年；
③生活价格指数上涨速度最快的一年是2015年；
④虽然2016年生活费收入增长缓慢，但生活价格指数也略有降低，因而生活水平有较大的改善．
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】C
【分析】认真观察图形就可以判断.
【详解】由图知，“生活费收入指数”减去“生活价格指数”的差是逐年增大的，故①正确；
“生活费收入指数”在2014～2015年最陡；故②正确；
“生活价格指数”在2015～2016年最平缓，故③不正确；
“生活价格指数”略呈下降，而“生活费收入指数”呈上升趋势，故④正确．
故选：C.
8．若函数经过点，则函数的零点是（    ）
A．0，2 B．0， C．0， D．2，
【答案】C
【分析】转化条件为，解方程即可得解.
【详解】函数经过点，，∴，
∴，
令，则
所以函数的零点是0和．
故选：C.
9．当x越来越大时，下列函数中增长速度最快的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据函数的特点即可判断出增长速度.
【详解】因为指数函数是几何级数增长，当x越来越大时，增长速度最快.
故选：B．

10．在某种新型材料的研制中，试验人员获得了下列一组试验数据.现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是（    ）
x
1.95
3.00
3.94
5.10
6.12
y
0.97
1.59
1.98
2.35
2.61

A．y=2x B．y=log2x
C．y=(x2-1) D．y=2.61x
【答案】B
【分析】结合表中数据，根据函数的性质判断.
【详解】对于A，函数是指数函数，增长速度很快，且在时，时，代入值偏差较大，不符合要求；
对于B，函数，是对数函数，增长速度缓慢，且在时，时，基本符合要求；
对于C，函数是二次函数，且当时，时，代入值偏差较大，不符合要求；
对于D，函数，当时，不符合要求，
故选：B.
11．函数在下列区间内一定有零点的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】直接利用零点存在定理判断.
【详解】因为函数连续，
且，
所以在区间内一定有零点，
故选：C
12．已知函数，若函数恰有两个零点，则实数m不可能是（    ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】D
【解析】依题意画出函数图象，函数的零点，转化为函数与函数的交点，数形结合即可求出参数的取值范围；
【详解】解：因为，画出函数图象如下所示，
函数的有两个零点，即方程有两个实数根，即，即函数与函数有两个交点，由函数图象可得或，

故选：D
【点睛】函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．

二、填空题
13．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”．计费方法如表所示，若某户居民某月交纳水费60元，则该月用水量_______m3．
每户每月用水量
水价
不超过12m3的部分
3元/m3
超过12m3但不超过18m3的部分
6元/m3
超过18m3的部分
9元/m3


【答案】16
【解析】由表格列出分段函数，再将水费代入求解对应用水量即可
【详解】设用数量为，交纳水费为，由题可知，当时，解得，
故答案为：16
【点睛】本题考查实际问题中函数模型的应用，属于基础题
14．若成立，则的取值范围是___________．
【答案】
【详解】如图所示，分别画出函数与的图象，由于两函数的图象都过点（1，1），

由图象可知不等式的解集为.
15．图中折线是某电信局规定打长途电话所需要付的电话费（元）与通话时间之间的函数关系的图像，根据图像判断：通话，需付电话费______元；通话，需付电话费______元；如果，电话费（元）与通话时间之间的函数关系式是_______．

【答案】          6    
【分析】（1）根据图像可知通话3分钟以内收费为3.6元，（2）根据时的函数值解答，（3）设与的关系式为，利用待定系数法求出一次函数解析式．
【详解】由题图知，通话3分钟以内收费为3.6元，所以通话，需付电话费元，
根据图像可知，分钟，元，所以通话，需付电话费6元.
当时，设与的关系式为设，
由于图像过点，，则有
解得.
故答案为3.6，6，
【点睛】本题考查一次函数的应用，主要利用待定系数法求一次函数的解析式，准确识图确定函数图像经过的点的坐标，并理解射线的意义是解题的关键．
16．把长为12cm的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形最小的面积之和是________．
【答案】2 cm2．
【详解】试题分析：设一个三角形的边长为x cm，则另一个三角形的边长为（4﹣x）cm，则可得到这两个正三角形面积之和，利用二次函数的性质求出其最小值．
解：设一个三角形的边长为x cm，则另一个三角形的边长为（4﹣x）cm，两个三角形的面积和为
S=x2+（4﹣x）2=x2﹣2x+4．
令S′=x﹣2=0，则x=2，所以Smin=2．
故答案为2 cm2．
点评：本题考查等边三角形的面积的求法，二次函数的性质及最小值的求法．
17．若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围为_______．
【答案】或
【分析】根据函数两个不同的零点，由方程有两个不同的实数根求解.
【详解】因为函数有两个不同的零点，
所以方程有两个不同的实数根.
所以，
解得或.
故答案为：或.
18．函数在区间和内各有一个零点，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【分析】由二次函数的特点和零点存在定理可构造不等式组求得结果.
【详解】为开口方向向上，对称轴为的二次函数，
，即，解得：，即实数的取值范围为.
故答案为：.
19．函数零点的个数为___________.
【答案】2
【解析】根据函数的解析式，令，结合一元二次方程和对数的运算性质，即可求解.
【详解】当时，令，即，解得或（舍去）；
当时，令，即，解得，
所以函数有两个零点.
故答案为：2.
20．已知函数f(x)＝有3个零点，则实数a的取值范围是_________．
【答案】（，1）
【解析】通过函数图像可以判断出a＞0且y＝ax2+2x+1在（﹣2，0）上有2个零点，从而解出答案.
【详解】∵函数f(x)＝有3个零点，
当a=0时，函数只有1个零点，当a<0时,函数最多只有1个零点，
∴a＞0且y＝ax2+2x+1在（﹣2，0）上有2个零点，
∴，
解得＜a＜1.
故答案为：（，1）．