2024年新高考数学第一轮复习课件：第17讲　第3课时　导数与函数零点

这是一份2024年新高考数学第一轮复习课件：第17讲　第3课时　导数与函数零点，共24页。PPT课件主要包含了答案D，答案A，答案C，BCD，答案AC，答案BD等内容，欢迎下载使用。
当a≤－e时，f′(x)≤0，f(x)在[1，e]上单调递减，也不符合题意．
二、 多项选择题(练—逐项认证，考—选确定的)5．(2022·江苏七市调研)已知函数y＝x＋ex的零点为x1，y＝x＋lnx的零点为x2，则(　　　)A．x1＋x2＞0B．x1x2＜0C．ex1＋lnx2＝0D．x1x2－x1＋x2＜1
　　　 　由题意知x1，x2分别为直线y＝－x与y＝ex的图象和y＝lnx的图象的交点的横坐标．因为函数y＝ex与函数y＝lnx互为反函数，所们这两个函数的图象关于直线y＝x对称，而直线y＝－x，y＝x的交点是坐标原点，所以x1＋x2＝0，x1x2＜0，x1∈(－1,0)，x2∈(0,1)，ex1＋lnx2＝－x1－x2＝0，x1x2－x1＋x2－1＝(x1＋1)(x2－1)＜0，故x1x2－x1＋x2＜1.
6．(2022·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)＝x3－x＋1，则(　 　)A．f(x)有两个极值点B．f(x)有三个零点C．点(0,1)是曲线y＝f(x)的对称中心D．直线y＝2x是曲线y＝f(x)的切线
令h(x)＝x3－x，该函数的定义域为R，h(－x)＝(－x)3－(－x)＝－x3＋x＝－h(x)，则h(x)是奇函数，(0,0)是h(x)图象的对称中心，将h(x)的图象向上平移1个单位长度后得到f(x)的图象，所以点(0,1)是曲线y＝f(x)的对称中心，故C正确．令f′(x)＝3x2－1＝2，可得x＝±1，又f(1)＝f(－1)＝1，当切点为(1,1)时，切线方程为y＝2x－1，当切点为(－1,1)时，切线方程为y＝2x＋3，故D错误．
三、 填空题(精准计算，整洁表达)7．函数f(x)＝(1＋x2)ex－1的零点个数为________．
　　　 　因为f′(x)＝2xex＋(1＋x2)ex＝(1＋x)2ex≥0，所以f(x)单调递增，又因为f(0)＝0，所以f(x)有且仅有1个零点．
8．(2022·宁德质检)已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝(x－2a)ex＋2a2－4.若f(x)的图象与x轴恰有三个交点，则实数a的值为______．
　　　 　由偶函数的对称性知，f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上各有一个零点且f(0)＝0，所以f(0)＝2(a＋1)(a－2)＝0，则a＝－1或a＝2.当a＝－1时，在(0，＋∞)上，f(x)＝(x＋2)ex－2，则f′(x)＝(x＋3)ex＞0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，f(x)＞f(0)＝0，故无零点，不符合要求；当a＝2时，在(0，＋∞)上，f(x)＝(x－4)ex＋4，则f′(x)＝(x－3)ex，所以f(x)在(0,3)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，则f(x)≥f(3)＝4－e3＜0且f(0)＝0，f(4)＝4，故f(x)在(0，＋∞)上有一个零点，符合要求．综上，a＝2.
9．(2022·株洲质检)若函数f(x)＝ax－x2(a＞1)恰有两个零点，则a的值为______．
　　　 　由f(x)＝ax－x2(a＞1)恰有两个零点，可得曲线y＝ax(a＞1)与抛物线y＝x2恰有2个交点，易知曲线y＝ax(a＞1)与抛物线y＝x2在(－∞，0)上有1个交点，则曲线y＝ax(a＞1)与抛物线y＝x2在(0，＋∞)上只有1个交点．当x＞0时，令f(x)＝0，得ax＝x2，方程两边取对数得，xlna＝2lnx.因为a＞1，所以lna＞0，且由题意得该方程只有一个实数根，所以直线y＝xlna与曲线y＝2lnx只有一个公共点，所以直线y＝xlna是曲线y＝2lnx的切线．
11．(2022·福州期初)已知函数f(x)＝ex＋ax－a(a∈R且a≠0)．(1) 若函数f(x)在x＝0处取得极值，求实数a的值，并求此时f(x)在[－2,1]上的最大值；
11．(2022·福州期初)已知函数f(x)＝ex＋ax－a(a∈R且a≠0)．(2) 若函数f(x)不存在零点，求实数a的取值范围．
②当a＜0时，令f′(x)＝ex＋a＝0，则x＝ln(－a)．当x∈(－∞，ln(－a))时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x∈(ln(－a)，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，所以当x＝ln(－a)时，f(x)取得极小值，也是最小值．函数f(x)不存在零点等价于f(ln(－a))＝eln(－a)＋aln(－a)－a＝－2a＋aln(－a)＞0，解得－e2＜a＜0.综上所述，所求实数a的取值范围是(－e2,0)．
　　　 　由x3－x2－x＋1＞0，得(x－1)2(x＋1)＞0，解得－1＜x＜1或x＞1，所以函数y＝lg(x3－x2－x＋1)的定义域为(－1,1)∪(1，＋∞)．
14．已知定义在R上的奇函数f(x)＝a·2x－2－x.(1) 求实数a的值；
　　　 　(1) 因为f(x)＝a·2x－2－x是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝a－1＝0，解得a＝1，经检验f(x)＝2x－2－x是奇函数，所以a＝1.