2024年新高考数学第一轮复习课件：第43讲　抛物线

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4．已知抛物线E：y2＝4x，圆F：(x－1)2＋y2＝4，直线l：y＝t(t为实数)与抛物线E交于点A，与圆F交于B，C两点，且点B位于点C的右侧，则△FAB的周长可能为(　　)A．4　　B．5　　C．6　　D．7
　　　 　由题意知，抛物线的焦点(1,0)恰为圆心F，抛物线的准线l1：x＝－1，圆的半径为2，可得圆F与l1相切．如图，设直线l：y＝t与准线l1交于点D，由抛物线的定义知|AF|＝|AD|，又|FB|＝2，所以△FAB的周长为|FA|＋|AB|＋|FB|＝|AD|＋|AB|＋2＝|DB|＋2.
由图知2＜|DB|＜4，故|DB|＋2∈(4,6)．结合选项知△FAB的周长可能为5.
　　　 　对于A，因为|PF|＝5，所以由抛物线的定义得yP＋1＝5，得yP＝4，所以x＝4yP＝16，且点P在第一象限，所以点P的坐标为(4,4)，故A正确；
　　　 　设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由抛物线的定义可得|MN|＝－(x1＋x2)＋p＝16，又因为MN的中点到y轴的距离是6，所以|x1＋x2|＝12，所以x1＋x2＝－12，所以p＝4，所以抛物线C的方程为y2＝－8x，所以A正确；
准线方程为x＝2，所以B不正确；
8．(2022·泉州三模)已知抛物线E：y2＝4x的焦点为F，准线为l，过F的直线m与E交于A，B两点，AF的垂直平分线分别交l和x轴于P，Q两点．若∠AFP＝∠AFQ，则|AB|＝________.
　　　 　如图，设AF的中点为M，因为∠AFP＝∠AFQ，AF的垂直平分线分别交l和x轴于P，Q两点，所以△PMF≌△QMF，所以|PA|＝|PF|＝|FQ|，M是PQ的中点，所以四边形APFQ是菱形，于是AP∥FQ.
9．(2022·聊城期末)已知经过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，则|AB|的最小值为______．
　　　 　抛物线的焦点坐标为(1,0)，当直线的斜率不存在时，令x＝1，得y＝±2，所以|AB|＝4.
四、 解答题(让规范成为一种习惯)10．(2022·宁德模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)上的一点M(x0,4)到C的焦点F的距离为5.(1) 求p的值；
10．(2022·宁德模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)上的一点M(x0,4)到C的焦点F的距离为5.(2) 若x0＞1，点A，B在抛物线C上，且MA⊥MB，MN⊥AB，N为垂足，当|MN|最大时，求直线AB的方程．
又kMQ＝－2，当|MN|最大时，AB⊥MQ，所以m＝2，直线AB的方程为x－2y－16＝0.
11．(2023·漳州期初)已知抛物线C：y2＝4x，直线l过点P(0,1)．(1) 若l与C有且只有一个公共点，求直线l的方程；
当k＝0时，直线y＝1符合题意；当k≠0时，令Δ＝(2k－4)2－4k2＝16－16k＝0，解得k＝1，所以直线l的方程为y＝x＋1，即x－y＋1＝0.综上，直线l的方程为x＝0，y＝1或x－y＋1＝0.