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初中数学第11章 平面直角坐标系11.1 平面上的点坐标图文课件ppt
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这是一份初中数学第11章 平面直角坐标系11.1 平面上的点坐标图文课件ppt，共44页。PPT课件主要包含了学习目标，本节要点，学习流程，课时导入，复习提问，引出问题，知识点，平面直角坐标系，感悟新知，点的坐标等内容，欢迎下载使用。
平面直角坐标系点的坐标平面直角坐标系中各区域的点的坐标特征特殊位置的点的坐标特征
在现实生活中，我们常常需要确定物体的位置.例如，学生在教室听课，观众在电影院里看电影，都有确定的座位等.类似地，在数学中也要研究如何确定平面内点的位置.
1. 坐标 数轴上每一个点都对应一个实数，这个实数叫做这个点在数轴上的坐标.2. 平面直角坐标系 (1)定义：在平面内画两条互相垂直并且原点重合的数轴，组成平面直角坐标系.
特别提醒 1.平面直角坐标系的两条数轴共原点，且互相垂直； 2.一般情况下两坐标轴的单位长度是一致的，在有些实际问题中，两坐标轴的单位长度可以不同，但在同一坐标轴上的单位长度必须相同.
(2)相关概念：水平的数轴叫做x 轴或横轴，取向右为正方向；垂直的数轴叫做y 轴或纵轴，取向上为正方向；两轴交点O 为原点. 如图11.1－1.
如图11.1－2 所示的图形中，平面直角坐标系的画法正确的是( )
解题秘方：根据平面直角坐标系的定义去识别.
特别提醒辨识平面直角坐标系的“三要素”： 1. 两条数轴； 2. 共原点； 3. 互相垂直.注意：一般取向右、向上为正方向.
解：A 中两条坐标轴不是互相垂直的；C 中的横轴的正方向画反了，应取向右为正方向；D 中横轴的单位长度不一致.答案：B
1. 定义 若平面直角坐标系中有一点A， 过点A 作横轴的垂线，垂足在横轴上表示的数为a， 过点A 作纵轴的垂线，垂足在纵轴上表示的数为b，则有序实数对(a，b)叫做点A 的坐标，其中a 叫横坐标，b 叫纵坐标.
特别提醒： (1)在写点的坐标时，必须先写横坐标，再写纵坐标，中间用逗号隔开，最后用小括号把它们括起来； (2)点的坐标是有序实数对，(a，b)和(b，a)(a ≠ b)虽然数字相同，但由于顺序不同，表示的位置就不同. 即当a ≠ b 时，这两个坐标表示的是两个不同的点.
2. 平面直角坐标系内的点与有序实数对的一一对应关系 (1)坐标平面内的任意一点，都有唯一的一个有序实数对(点的坐标)与它对应； (2)任意一个有序实数对(点的坐标)在坐标平面内都有唯一的一个点和它对应.
特别解读 1.点的坐标是有序实数对，有序要求：横坐标在前，纵坐标在后. 2.根据点的坐标的定义，已知点的位置可以读出点的坐标，反之已知点的坐标可以在平面直角坐标系中标出点的位置.
如图11.1－3，写出点A，B，C，D，E，F，G，O 的坐标.
解题秘方：紧扣点的坐标的定义，利用过点向两坐标轴作垂线，用读垂足表示的数的方法求点的坐标.
方法点拨 确定点的坐标的方法： 首先确定横坐标，方法是从该点向x 轴作垂线，垂足在x 轴上表示的数为该点的横坐标; 再从该点向y 轴作垂线，垂足在y 轴上表示的数为该点的纵坐标； 最后用有序实数对将它表示出来.
解：由图11.1－3 可知A(3，4)，B(－6，4)，C(－5，－2)，D(－5，2)，E(0，3)，F(2，0)，G(－4，0)，O(0，0).
请你在如图11.1－4 所示的平面直角坐标系中，描出以下各点：A(3，2)，B(0，3)，C(－1，－2)，D(2，－1).
解题秘方：紧扣点的坐标的意义，过数轴上表示点的坐标的数对应的点作垂线，两垂线的交点即为所求点.
方法点拨 根据点的坐标描点的方法： 假设点P 的坐标为(a，b)， 先在x 轴上找到表示的数为a 的点A ，在y 轴上找到表示的数为b 的点B，再过点A作x 轴的垂线，过点B 作y 轴的垂线，两垂线的交点就是所要描出的点P.
解： 描出的点A，B，C，D 如图11.1－4所示.
[月考·沈阳] 在平面直角坐标系中，点P 在第二象限，点P 到x 轴的距离是2，到y 轴的距离是3，则点P 的坐标为( )A.(2，－3) B.(－2，3)C.(3，－2) D.(－3，2)
解题秘方：紧扣点的坐标与点到两坐标轴的距离的意义 之间的关系解答.
特别警示本例的易错点有三处：1. 混淆距离与坐标之间的区别；2. 不知道“ 点P 到x 轴的距离”对应的是纵坐标的绝对 值，“ 点P 到y轴的距离”对应的是横坐标的绝对值；3. 忽略坐标的符号.
解：因为点P 在第二象限，且到x 轴的距离为2，到y 轴的距离为3，所以横坐标为－3，纵坐标为2. 故点P 的坐标是(－3，2). 答案：D
平面直角坐标系中各区域的点的坐标特征0
1. 象限的划分 如图11.1－5，建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个部分，每个部分称为象限，分别叫第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，坐标轴上的点不属于任何象限.
特别提醒 1.象限的划分是从“右上”开始的，按“逆时针”方向依次排列为第一象限、第二象限、第三象限、第四象限. 各象限的名称是一种规定，不能随意更改. 2.坐标原点既在x 轴上，又在y 轴上，它是两条坐标轴唯一的公共点.
2.平面直角坐标系中各区域的点的坐标特征
已知点P 的坐标为(a+3，b－1).(1)若点P 在x 轴上，则b= __________；(2)若点P 在y 轴上，则a= __________；(3)若点P 在第三象限，则a 的取值范围为 _________， b 的取值范围为 ；(4)若点P 在第四象限，则a 的取值范围为 _________， b 的取值范围为 .
解题秘方：紧扣x 轴、y 轴上及象限内点的坐标特征解答.
解法提醒 x 轴上的点的纵坐标是0，y 轴上的点的横坐标是0，第三象限内点的横、纵坐标都是负数，第四象限内点的横坐标为正数，纵坐标为负数.
解：(1)因为点P 在x 轴上，所以b－1=0，解得b=1.(2)因为点P 在y 轴上，所以a+3=0，解得a=－3.(3)因为点P 在第三象限，所以a+3<0，b－1<0，所以a<－3，b<1.(4)因为点P 在第四象限，所以a+3>0，b－1<0，所以a>－3，b<1.答案：(1)1 (2)－3(3)a<－3；b<1 (4)a>－3；b<1
特殊位置的点的坐标特征
1. 两坐标轴夹角平分线上的点的坐标特征(1)第一、三象限的角平分线上的点的横、纵坐标相等；(2)第二、四象限的角平分线上的点的横、纵坐标互为 相反数.
2. 平行于x 轴、y 轴的直线上的点的坐标特征 如图11.1－6 所示， 直线l1 ∥ x 轴， 直线l2 ∥ y 轴，因为由l1 上的任意一点向y 轴作垂线，垂足都是同一个点M(不与原点重合)，所以l1 上的所有点的纵坐标都相等且不为0；因为由l2 上的任意一点向x 轴作垂线，垂足都是同一个点N(不与原点重合)，所以l2 上的所有点的横坐标都相等且不为0.
特别解读1. 若AB ∥ x 轴， 则A(x1，y1)，B(x2，y2)的横坐标不相等，纵坐标相等且不为0，即x1 ≠ x2，y1=y2 ≠ 0；反之， 若A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1 ≠ x2，y1=y2 ≠ 0，则AB ∥ x 轴.2. 若CD ∥ y 轴， 则C(m1，n1)，D(m2，n2)的横坐标相等且不为0，纵坐标不相等，即m1=m2 ≠ 0，n1 ≠ n2；反之，若C(m1，n1)，D(m2，n2)，且m1=m2≠0，n1 ≠ n2，则CD ∥ y 轴.
3. 若两个点的横坐标相等，则这两个点之间的距离为纵坐标差的绝对值；若两个点的纵坐标相等，则这两个点之间的距离为横坐标差的绝对值.
已知平面直角坐标系内的不同两点A(3，a－1)，B(b+1，－2)，(1)若点A 在第一、三象限的角平分线上，求a 的值；(2)若点B 在第二、四象限的角平分线上，求b 的值；(3)若直线AB 平行于x 轴，求a，b 的值或取值范围；(4)若直线AB 平行于y 轴，且AB=5，求a，b 的值.
解题秘方：分别根据特殊位置点的坐标特征列出以a 或b 为未知数的方程(或不等式)，求出a 或b 的值(或取值范围).
特别警示 1.两点确定的直线平行于坐标轴，既要考虑一个坐标相等，又要考虑另一个坐标不能相等，否则两个点重合不能确定一条直线； 2.已知两点之间的距离求点的坐标时，要带上绝对值，即求出的点的坐标不止一个.
解：(1) 因为点A 在第一、三象限的角平分线上，所以a－1=3，所以a=4.(2) 因为点B 在第二、四象限的角平分线上，所以b+1=2， 所以b=1.(3)因为直线AB 平行于x 轴，所以a－1=－2，b+1 ≠ 3.所以a=－1，b ≠ 2.
(4)因为直线AB 平行于y 轴，且AB=5，所以b+1=3，|(a－1)－(－2)|=5.所以b=2，a=4 或－6.
如图11.1－7，长方形ABCD 的长AB=5，宽BC=3，请建立适当的平面直角坐标系，写出长方形的顶点A，B，C，D 的坐标.
解题秘方：建立适当的平面直角坐标系，然后根据长方 形的长AB=5，宽BC=3，写出四个顶点的坐标.
另解1 ：建立平面直角坐标系如图11.1－9 所示，A(－5，3)，B(0，3)，C(0，0)， D(－5，0).
另解2：建立平面直角坐标系如图11.1－10 所示，A(－2.5，3)，B(2.5，3)，C(2.5，0)， D(－2.5，0).
解：建立平面直角坐标系如图11.1－8 所示(建系方法不唯一)，A(0，3)，B(5，3)，C(5，0)，D(0，0).
方法点拨： 几何图形中建立适当的平面直角坐标系的方法 (1)使图形中尽量多的点在坐标轴上； (2)以某些特殊线段所在的直线为x 轴或y 轴； (3)若图形被一条直线分得的两部分形状、大小相同，则可以将此直线作为x 轴或y 轴； (4)以某已知点为原点，使它的坐标为(0，0).
平面直角坐标系点的坐标平面直角坐标系中各区域的点的坐标特征特殊位置的点的坐标特征
在现实生活中，我们常常需要确定物体的位置.例如，学生在教室听课，观众在电影院里看电影，都有确定的座位等.类似地，在数学中也要研究如何确定平面内点的位置.
1. 坐标 数轴上每一个点都对应一个实数，这个实数叫做这个点在数轴上的坐标.2. 平面直角坐标系 (1)定义：在平面内画两条互相垂直并且原点重合的数轴，组成平面直角坐标系.
特别提醒 1.平面直角坐标系的两条数轴共原点，且互相垂直； 2.一般情况下两坐标轴的单位长度是一致的，在有些实际问题中，两坐标轴的单位长度可以不同，但在同一坐标轴上的单位长度必须相同.
(2)相关概念：水平的数轴叫做x 轴或横轴，取向右为正方向；垂直的数轴叫做y 轴或纵轴，取向上为正方向；两轴交点O 为原点. 如图11.1－1.
如图11.1－2 所示的图形中，平面直角坐标系的画法正确的是( )
解题秘方：根据平面直角坐标系的定义去识别.
特别提醒辨识平面直角坐标系的“三要素”： 1. 两条数轴； 2. 共原点； 3. 互相垂直.注意：一般取向右、向上为正方向.
解：A 中两条坐标轴不是互相垂直的；C 中的横轴的正方向画反了，应取向右为正方向；D 中横轴的单位长度不一致.答案：B
1. 定义 若平面直角坐标系中有一点A， 过点A 作横轴的垂线，垂足在横轴上表示的数为a， 过点A 作纵轴的垂线，垂足在纵轴上表示的数为b，则有序实数对(a，b)叫做点A 的坐标，其中a 叫横坐标，b 叫纵坐标.
特别提醒： (1)在写点的坐标时，必须先写横坐标，再写纵坐标，中间用逗号隔开，最后用小括号把它们括起来； (2)点的坐标是有序实数对，(a，b)和(b，a)(a ≠ b)虽然数字相同，但由于顺序不同，表示的位置就不同. 即当a ≠ b 时，这两个坐标表示的是两个不同的点.
2. 平面直角坐标系内的点与有序实数对的一一对应关系 (1)坐标平面内的任意一点，都有唯一的一个有序实数对(点的坐标)与它对应； (2)任意一个有序实数对(点的坐标)在坐标平面内都有唯一的一个点和它对应.
特别解读 1.点的坐标是有序实数对，有序要求：横坐标在前，纵坐标在后. 2.根据点的坐标的定义，已知点的位置可以读出点的坐标，反之已知点的坐标可以在平面直角坐标系中标出点的位置.
如图11.1－3，写出点A，B，C，D，E，F，G，O 的坐标.
解题秘方：紧扣点的坐标的定义，利用过点向两坐标轴作垂线，用读垂足表示的数的方法求点的坐标.
方法点拨 确定点的坐标的方法： 首先确定横坐标，方法是从该点向x 轴作垂线，垂足在x 轴上表示的数为该点的横坐标; 再从该点向y 轴作垂线，垂足在y 轴上表示的数为该点的纵坐标； 最后用有序实数对将它表示出来.
解：由图11.1－3 可知A(3，4)，B(－6，4)，C(－5，－2)，D(－5，2)，E(0，3)，F(2，0)，G(－4，0)，O(0，0).
请你在如图11.1－4 所示的平面直角坐标系中，描出以下各点：A(3，2)，B(0，3)，C(－1，－2)，D(2，－1).
解题秘方：紧扣点的坐标的意义，过数轴上表示点的坐标的数对应的点作垂线，两垂线的交点即为所求点.
方法点拨 根据点的坐标描点的方法： 假设点P 的坐标为(a，b)， 先在x 轴上找到表示的数为a 的点A ，在y 轴上找到表示的数为b 的点B，再过点A作x 轴的垂线，过点B 作y 轴的垂线，两垂线的交点就是所要描出的点P.
解： 描出的点A，B，C，D 如图11.1－4所示.
[月考·沈阳] 在平面直角坐标系中，点P 在第二象限，点P 到x 轴的距离是2，到y 轴的距离是3，则点P 的坐标为( )A.(2，－3) B.(－2，3)C.(3，－2) D.(－3，2)
解题秘方：紧扣点的坐标与点到两坐标轴的距离的意义 之间的关系解答.
特别警示本例的易错点有三处：1. 混淆距离与坐标之间的区别；2. 不知道“ 点P 到x 轴的距离”对应的是纵坐标的绝对 值，“ 点P 到y轴的距离”对应的是横坐标的绝对值；3. 忽略坐标的符号.
解：因为点P 在第二象限，且到x 轴的距离为2，到y 轴的距离为3，所以横坐标为－3，纵坐标为2. 故点P 的坐标是(－3，2). 答案：D
平面直角坐标系中各区域的点的坐标特征0
1. 象限的划分 如图11.1－5，建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个部分，每个部分称为象限，分别叫第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，坐标轴上的点不属于任何象限.
特别提醒 1.象限的划分是从“右上”开始的，按“逆时针”方向依次排列为第一象限、第二象限、第三象限、第四象限. 各象限的名称是一种规定，不能随意更改. 2.坐标原点既在x 轴上，又在y 轴上，它是两条坐标轴唯一的公共点.
2.平面直角坐标系中各区域的点的坐标特征
已知点P 的坐标为(a+3，b－1).(1)若点P 在x 轴上，则b= __________；(2)若点P 在y 轴上，则a= __________；(3)若点P 在第三象限，则a 的取值范围为 _________， b 的取值范围为 ；(4)若点P 在第四象限，则a 的取值范围为 _________， b 的取值范围为 .
解题秘方：紧扣x 轴、y 轴上及象限内点的坐标特征解答.
解法提醒 x 轴上的点的纵坐标是0，y 轴上的点的横坐标是0，第三象限内点的横、纵坐标都是负数，第四象限内点的横坐标为正数，纵坐标为负数.
解：(1)因为点P 在x 轴上，所以b－1=0，解得b=1.(2)因为点P 在y 轴上，所以a+3=0，解得a=－3.(3)因为点P 在第三象限，所以a+3<0，b－1<0，所以a<－3，b<1.(4)因为点P 在第四象限，所以a+3>0，b－1<0，所以a>－3，b<1.答案：(1)1 (2)－3(3)a<－3；b<1 (4)a>－3；b<1
特殊位置的点的坐标特征
1. 两坐标轴夹角平分线上的点的坐标特征(1)第一、三象限的角平分线上的点的横、纵坐标相等；(2)第二、四象限的角平分线上的点的横、纵坐标互为 相反数.
2. 平行于x 轴、y 轴的直线上的点的坐标特征 如图11.1－6 所示， 直线l1 ∥ x 轴， 直线l2 ∥ y 轴，因为由l1 上的任意一点向y 轴作垂线，垂足都是同一个点M(不与原点重合)，所以l1 上的所有点的纵坐标都相等且不为0；因为由l2 上的任意一点向x 轴作垂线，垂足都是同一个点N(不与原点重合)，所以l2 上的所有点的横坐标都相等且不为0.
特别解读1. 若AB ∥ x 轴， 则A(x1，y1)，B(x2，y2)的横坐标不相等，纵坐标相等且不为0，即x1 ≠ x2，y1=y2 ≠ 0；反之， 若A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1 ≠ x2，y1=y2 ≠ 0，则AB ∥ x 轴.2. 若CD ∥ y 轴， 则C(m1，n1)，D(m2，n2)的横坐标相等且不为0，纵坐标不相等，即m1=m2 ≠ 0，n1 ≠ n2；反之，若C(m1，n1)，D(m2，n2)，且m1=m2≠0，n1 ≠ n2，则CD ∥ y 轴.
3. 若两个点的横坐标相等，则这两个点之间的距离为纵坐标差的绝对值；若两个点的纵坐标相等，则这两个点之间的距离为横坐标差的绝对值.
已知平面直角坐标系内的不同两点A(3，a－1)，B(b+1，－2)，(1)若点A 在第一、三象限的角平分线上，求a 的值；(2)若点B 在第二、四象限的角平分线上，求b 的值；(3)若直线AB 平行于x 轴，求a，b 的值或取值范围；(4)若直线AB 平行于y 轴，且AB=5，求a，b 的值.
解题秘方：分别根据特殊位置点的坐标特征列出以a 或b 为未知数的方程(或不等式)，求出a 或b 的值(或取值范围).
特别警示 1.两点确定的直线平行于坐标轴，既要考虑一个坐标相等，又要考虑另一个坐标不能相等，否则两个点重合不能确定一条直线； 2.已知两点之间的距离求点的坐标时，要带上绝对值，即求出的点的坐标不止一个.
解：(1) 因为点A 在第一、三象限的角平分线上，所以a－1=3，所以a=4.(2) 因为点B 在第二、四象限的角平分线上，所以b+1=2， 所以b=1.(3)因为直线AB 平行于x 轴，所以a－1=－2，b+1 ≠ 3.所以a=－1，b ≠ 2.
(4)因为直线AB 平行于y 轴，且AB=5，所以b+1=3，|(a－1)－(－2)|=5.所以b=2，a=4 或－6.
如图11.1－7，长方形ABCD 的长AB=5，宽BC=3，请建立适当的平面直角坐标系，写出长方形的顶点A，B，C，D 的坐标.
解题秘方：建立适当的平面直角坐标系，然后根据长方 形的长AB=5，宽BC=3，写出四个顶点的坐标.
另解1 ：建立平面直角坐标系如图11.1－9 所示，A(－5，3)，B(0，3)，C(0，0)， D(－5，0).
另解2：建立平面直角坐标系如图11.1－10 所示，A(－2.5，3)，B(2.5，3)，C(2.5，0)， D(－2.5，0).
解：建立平面直角坐标系如图11.1－8 所示(建系方法不唯一)，A(0，3)，B(5，3)，C(5，0)，D(0，0).
方法点拨： 几何图形中建立适当的平面直角坐标系的方法 (1)使图形中尽量多的点在坐标轴上； (2)以某些特殊线段所在的直线为x 轴或y 轴； (3)若图形被一条直线分得的两部分形状、大小相同，则可以将此直线作为x 轴或y 轴； (4)以某已知点为原点，使它的坐标为(0，0).
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