21.2.5 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质 沪科版九年级数学上册课件

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第二十一章 二次函数与反比例函数21.2 二次函数的图象和性质第5课时 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质旧知回顾1．你能说出函数y＝－3(x＋2)2＋4图象的开口方向、对称轴和顶点坐标及其性质吗？解：开口向下，对称轴是直线x＝－2，顶点坐标是(－2，4)．在对称轴右侧y随x的增大而减小，在对称轴左侧y随x的增大而增大．当x＝－2时，有最大值4.2．函数y＝－3(x＋2)2＋4与函数y＝－3x2的图象有什么关系？解：函数y＝－3(x＋2)2＋4的图象是由函数y＝－3x2的图象向上平移4个单位，向左平移2个单位得到的．二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质问题1用配方法：● 配方法的步骤： (1) 提：提出二次项系数； (2) 配：括号内配成完全平方； (3) 化：化成顶点式.● 配方后的表达式通常称为配方式或顶点式.问题2先用配方法将此函数化成 y＝a(x－h)2＋k 的形式，由问题1可知，此函数可化为 y＝ (x－6)2＋3.列表：7.553.533.557.5描点、连线，即得函数的图象.由图象可知，函数具有的性质：当x6时，y随x的增大而增大.x＝2 用配方法把函数 y＝－3x2＋6x＋1 化成 y＝a(x－h)2＋k 的形式，并写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标．解：y＝－3x2＋6x＋1 ＝－3(x2－2x)＋1 ＝－3(x－1)2＋4函数开口方向向下，对称轴为直线x＝1，顶点坐标(1，4)．例1 用配方法将二次函数 y＝ x2＋2x－1 化成 y＝a(x－h)2＋k 的形式，并写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标．解：y＝ x2＋2x－1＝ (x2＋6x)－1＝ (x2＋6x＋9－9)－1 ＝ (x＋3)2－3－1＝ (x＋3)2－4函数开口方向向上，对称轴为x＝－3，顶点坐标(－3，－4).例2提示：当括号前提出一个分数时，里面每一项的系数都乘以这个系数的倒数． 将二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a≠0)配方化成顶点式，并求出对称轴及顶点坐标．例3y = ax² + bx + c 一般地，二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a≠0)的可以通过配方化成 y＝a(x－h)2＋k 的形式，即顶点坐标是：对称轴是：● a＞0时，① 当 x＜－ 时，y 随 x 的增大而减小；② 当 x＞－ 时，y 随 x 的增大而增大．● a＜0时，① 当 x＜－ 时，y 随 x 的增大而增大；② 当 x＞－ 时，y 随 x 的增大而减小． 已知二次函数 y=－x2＋2bx＋c，当 x＞1时，y 的值随 x 值的增大而减小，则实数 b 的取值范围是 ( )A．b≥－1 B．b≤－1 C．b≥1 D．b≤1D例4二次函数y=ax2+bx+c的图象与a、b、c的关系 一次函数 y＝kx＋b 的图象如下图所示，请根据一次函数图象的性质填空：k1 ___ 0b1 ___ 0＞＞＜＜＞＜问题3k2 ___ 0b2 ___ 0k3 ___ 0b3 ___ 0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象如下图所示，请根据二次函数的性质填空：问题4a1 ___ 0b1 ___ 0c1 ___ 0a2 ___ 0b2 ___ 0c2 ___ 0＞＞＞＞＜＝a1 ___ 0b1 ___ 0c1 ___ 0a2 ___ 0b2 ___ 0c2 ___ 0＜＝＞＜＞＞向上向下y左右正负 1．求二次函数 y＝2x2－8x＋7 图象的对称轴和顶点坐标.因此，二次函数 y＝2x2－8x＋7 图象的对称轴是直线 x＝2，顶点坐标为(2，－1).解：y＝2x2－8x＋7 ＝2(x2－4x)＋7 ＝2(x2－4x＋4)－8＋7 ＝2(x－2)2－1D3．如图是二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a≠0)图象的一部分，x＝－1是对称轴，有下列判断：①b－2a＝0；②4a－2b＋c＜0；③a－b＋c＝－9a；④若（－3，y1）,（ ，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2．其中正确的是 ( )A．①②③　　 B．①③④C．①②④　 D．②③④B4．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2. 其中正确的个数是 (　 　)A．1 B．2 C．3 D．4D解析：由图象开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴左侧可得b＜0，由图象与y轴交于正半轴可得c＞0，则abc＞0，故①正确；由对称轴x>－1可得2a－b＜0，故②正确；由图象上横坐标为 x＝－2的点在第三象限可得4a－2b＋c＜0，故③正确；由图象上x＝1的点在第四象限得a＋b＋c＜0，由图象上x＝－1的点在第二象限得出 a－b＋c＞0，则(a＋b＋c)(a－b＋c)＜0，即(a＋c)2－b2＜0，可得(a＋c)2＜b2，故④正确．