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专题6.5 线段与角中的常见思想方法的应用【八大题型】-2022-2023学年七年级数学上册举一反三系列(苏科版)
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专题6.5 线段与角中的常见思想方法的应用【八大题型】
【苏科版】
【题型1 线段中的整体思想】 1
【题型2 线段中的方程思想】 5
【题型3 线段中的分类讨论思想】 11
【题型4 线段中的数形结合思想】 17
【题型5 角中的整体思想】 22
【题型6 角中的方程思想】 30
【题型7 角中的分类讨论思想】 37
【题型8 角中的数形结合思想】 43
【题型1 线段中的整体思想】
【例1】(2022·全国·七年级专题练习)线段AB=16,C,D是线段AB上的两个动点(点C在点D的左侧),且CD=2,E为BC的中点.
(1)如图1,当AC=4时,求DE的长.
(2)如图2,F为AD的中点.点C,D在线段AB上移动的过程中,线段EF的长度是否会发生变化,若会,请说明理由;若不会,请求出EF的长.
【答案】(1)DE=4
(2)EF=7
【分析】(1)首先根据题意求出BC的长度,然后由E为BC的中点求出BE的长度,最后即可求出DE的长;
(2)由题意可得AD+BC=AB+CD,由F为AD的中点和E为BC的中点表示出FD+CE=12AD+BC,代入EF=FD+CE−CD,即可求出EF长.
【详解】(1)∵AB=16,CD=2,AC=4,
∴BC=AB−AC=16−4=12,AD=AC+CD=6,
∵E为BC的中点,
∴BE=12BC=6,
∴DE=AB−AD−BE=16−6−6=4;
(2)线段EF的长度不会发生变化,EF=7,
∵AB=16,CD=2,
∴AD+BC=AB+CD=16+2=18,
∵F为AD的中点,E为BC的中点,
∴FD+CE=12AD+BC=12×18=9,
∴EF=FD+CE−CD=9−2=7.
【点睛】此题考查了线段的和差计算以及有关线段中点的计算问题,解题的关键是正确分析题目中线段之间的数量关系.
【变式1-1】(2022·黑龙江大庆·期末)如图1,已知点C在线段AB上,且AM=13AC,BN=13BC.
(1)若AC=12,CB=6,求线段MN的长.
(2)若C为线段AB上任意一点,且满足AC+BC=a,其他条件不变,求线段MN的长.
【答案】(1)12
(2)23a
【分析】(1)若AC=12,CB=6,求线段MN的长;
(2)若点C为线段AB上任意一点,且满足AC+BC=a,请直接写出线段MN的长;
(1)
解:因为AM=13AC,BN=13BC,AC=12,CB=6,
所以AM=13×12=4,BN=13×6=2.
AB=AC+BC=12+6=18.
所以MN=AB−AM−NB=18−4−2=12.
(2)
解:因为AM=13AC,BN=13BC,AC+BC=a,
所以:AM+BN=13AC+BC=13a,
所以MN=AB−AM+BN=AC+BC−AM+BN=a−13a=23a.
【点睛】本题考查了两点间的距离,利用AM=13AC.BN=13BC,得出AM的长,BN的长是解题关键.
【变式1-2】(2022·四川德阳·七年级期末)如图,点C是线段AB上的一点,点M、N、P分别是线段AC,BC,AB的中点.
(1)若AB=10cm,求线段MN的长;
(2)若AC=3cm,CP=1cm,求线段PN的长.
【答案】(1)MN=5cm
(2)PN=32cm
【分析】(1)根据线段中点的性质可得MC=12AC,CN=12BC.再根据MN=MC+CN=12AC+12BC=12(AC+BC)代入计算即可得出答案;
(2)先根据题意可计算出AP的长度,由线段中点的性质可得AB=2AP,CB=AB﹣AC,CN=12CB,再根据PN=CN﹣CP代入计算即可得出答案.
(1)
解:∵M、N分别是AC、BC的中点,
∴MC=12AC,CN=12BC,
∴MN=MC+CN=12AC+12BC=12(AC+BC)=12AB=12×10=5(cm).
(2)
解:∵AC=3,CP=1,
∴AP=AC+CP=4,
∵点P是线段AB的中点,
∴AB=2AP=8,CB=AB-AC=5,
∵点N是线段CB的中点,
∴CN=12CB=52(cm),
∴PN=CN-CP=52-1=32(cm).
【点睛】本题主要考查了两点间距离的计算,熟练掌握两点间的距离计算方法进行求解是解决本题的关键.
【变式1-3】(2022·湖南长沙·七年级期末)如图,已知B、C在线段AD上,M是AB的中点,N是CD的中点,且AB=CD.
(1)如图线段AD上有6个点,则共有______条线段;
(2)比较线段的大小:AC______BD(填“>”、“=”或“<”);
(3)若AD=12,BC=8,求MN的长度.
【答案】(1)15
(2)=
(3)10
【分析】(1)根据线段有两个端点,得出所有线段的条数;
(2)依据AB=CD,即可得到AB+BC=CD+BC,进而得出AC=BD;
(3)依据线段的和差关系以及中点的定义,即可得到MN的长度.
(1)
∵线段AD上有6个点,
∴图中共有线段条数为6×(6−1)÷2=15;
故答案为:15;
(2)
∵AB=CD,
∴AB+BC=CD+BC,
即AC=BD;
故答案为:=;
(3)
∵AD=12,BC=8,
∴AB+CD=AD−BC=4,
∵M是AB的中点,N是CD的中点,
∴BM=12AB,CN=12CD,
∴BM+CN=12AB+CD=12×4=2,
∴MN=BM+CN+BC=2+8=10.
【点睛】本题主要考查了两点间的距离以及线段的和差关系,利用中点性质转化线段之间的倍分关系,在不同情况下灵活选用它的不同表示方法,有利于解题的简洁性.
【题型2 线段中的方程思想】
【例2】(2022·河南信阳·七年级期末)如图,A,B,C,D四点在同一条直线上.
(1)若AB=CD,
①比较线段的大小:AC______BD;(填“>”“=”或“5,且CD=AB时,求t的值;
(3)取线段CD的中点M,当BM=14OA时,求t的值.
【答案】(1)BC=12AD
(2)t=15
(3)t=5或t=253
【分析】(1)分别计算出BC和AD即可等到BC=12AD;
(2)先计算得到CD的关于t的表达式,再根据CD=AB求出t即可;
(3)根据M在点B前面和后面两种情况分别计算出BM关于t的表达式,再根据BM=14OA即可计算出t.
(1)
当t=2时,AC=1×t=2,BC=OB−(OA+AC)=15−10−2=3 ,
OD=2×t=4,AD=OA−OD=10−4=6,
∴BC=12AD;
(2)
当D在C后面时,如下图所示,
OD=2t,OC=OA+AC=10+t,CD=OC−OD=10−t,AB=15−10=5
∵CD=AB,
∴10−t=5,
∴t=5(舍去),
点D在点C的前面时,如下图所示,
CD=OD−OC=2t−10+t=t−10,
∵CD=AB,
∴t−10=5,
即t=15.
(3)
当点M在点B左边时,
BM=OB−OM
=OB−OD−DM
=15−2t−12(10+t−2t)
=10−32t
又∵BM=14OA,
∴10−32t=14×10
即t=5;
当点M在点B右边时,
BM=OM−OB
=OD+DM−OB
=2t+12(10+t−2t)−15
=32t−10
又∵BM=14OA
32t−10=14×10
即t=253,
∴t=5或t=253.
【点睛】本题考查数轴上的点及线段的长度,解题的关键是根据题意建立等式.
【题型3 线段中的分类讨论思想】
【例3】(2022·全国·七年级专题练习)已知线段AB上有两点C、D,使得AC∶CD∶DB=1∶2∶3,M是线段AC的中点,点N是线段AB上的点,且满足DN=14DB,AB=24,求MN的长.
【答案】7或13
【分析】设AC=x,则CD=2x,DB=3x,根据题意得x+2x+3x=24,计算得x=4,即可得AC=4,CD=8,DB=12,CB=20,根据点M是线段AC的中点得MC=12AC=2,根据DB=12,DN=14DB得DN=3,分以下两种情况:①当点N在线段CD上时, ②当点N在线段DB上时,进行计算即可得.
【详解】解:设AC=x,则CD=2x,DB=3x,
∵AB=24,
∴x+2x+3x=24,
6x=24
解得x=4,
∴AC=4,CD=8,DB=12,CB=20,
∵点M是线段AC的中点,
∴MC=12AC=2,
∵DB=12,DN=14DB,
∴DN=14×12=3,
分以下两种情况:
①当点N在线段CD上时,MN=MC+CD−DN=2+8−3=7,
②当点N在线段DB上时,MN=MC+CD+DN=2+8+3=13,
综上所述,线段MN的长度为7或13.
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用,两点间的距离的计算,线段的中点的性质,解题的关键是掌握线段中点的性质,分类讨论.
【变式3-1】(2022·福建省永春第一中学七年级阶段练习)如图,在数轴上A点表示数a,B点表示数b,AB表示A点和B点之间的距离,且a、b满足(a+1)2+|b−3|=0.
(1)填空:a= ,b= ,AB= ;
(2)若数轴上存在一点C,且AC=2BC,求C点表示的数;
(3)若在原点O处放一挡板,一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动,同时另一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动,在碰到挡板后(忽略球的大小,可看作一点)以原来的速度向相反的方向运动,设运动的时间为t(秒).
①分别表示甲、乙两小球到原点的距离(用t表示);
②求甲、乙两小球到原点的距离相等时经历的时间.
【答案】(1)-1,3,4
(2)53或7
(3)①甲:t+1;乙:3−2t或2t−3;②t=23秒或t=4秒
【分析】(1)先根据非负数的性质求出a、b的值,再根据两点间的距离公式求得A、B两点之间的距离;
(2)分C点在线段AB上和线段AB的延长线上两种情况讨论即可求解;
(3)①甲球到原点的距离=甲球运动的路程+OA的长,乙球到原点的距离分两种情况:(Ⅰ)当0<t≤32时,乙球从点B处开始向左运动,一直到原点O,此时OB的长度-乙球运动的路程即为乙球到原点的距离;(Ⅱ)当t>32时,乙球从原点O处开始向右运动,此时乙球运动的路程-OB的长度即为乙球到原点的距离;
②分两种情况:(Ⅰ)0<t≤32,(Ⅱ)t>32,根据甲、乙两小球到原点的距离相等列出关于t的方程,解方程即可.
(1)
因为(a+1)2+|b−3|=0,
所a+1=0,b−3=0,
所以a=−1,b=3;
所以AB的距离=|b−a|=4,
故答案为:-1,3,4;
(2)
设数轴上点C表示的数为c.
因为AC=2BC,
所以|c−a|=2|c−b|,即|c+1|=2|c−3|.
因为AC=2BC>BC,
所以点C不可能在BA的延长线上,则C点可能在线段AB上和线段AB的延长线上.
①当C点在线段AB上时,则有−1
![英语朗读宝](http://img.51jiaoxi.com/images/c2c32c447602804dcbaa70980ee6b1a1.jpg)