专题6.5 线段与角中的常见思想方法的应用【八大题型】-2022-2023学年七年级数学上册举一反三系列（苏科版）

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专题6.5 线段与角中的常见思想方法的应用【八大题型】
【苏科版】


【题型1 线段中的整体思想】 1
【题型2 线段中的方程思想】 5
【题型3 线段中的分类讨论思想】 11
【题型4 线段中的数形结合思想】 17
【题型5 角中的整体思想】 22
【题型6 角中的方程思想】 30
【题型7 角中的分类讨论思想】 37
【题型8 角中的数形结合思想】 43


【题型1 线段中的整体思想】
【例1】（2022·全国·七年级专题练习）线段AB＝16，C，D是线段AB上的两个动点（点C在点D的左侧），且CD＝2，E为BC的中点．

(1)如图1，当AC＝4时，求DE的长．
(2)如图2，F为AD的中点．点C，D在线段AB上移动的过程中，线段EF的长度是否会发生变化，若会，请说明理由；若不会，请求出EF的长．
【答案】(1)DE=4
(2)EF=7
【分析】（1）首先根据题意求出BC的长度，然后由E为BC的中点求出BE的长度，最后即可求出DE的长；
（2）由题意可得AD+BC=AB+CD，由F为AD的中点和E为BC的中点表示出FD+CE=12AD+BC，代入EF=FD+CE−CD，即可求出EF长．
【详解】（1）∵AB＝16，CD＝2，AC＝4，
∴BC=AB−AC=16−4=12，AD=AC+CD=6,
∵E为BC的中点，
∴BE=12BC=6，
∴DE=AB−AD−BE=16−6−6=4；
（2）线段EF的长度不会发生变化，EF=7，
∵AB＝16，CD＝2，
∴AD+BC=AB+CD=16+2=18，
∵F为AD的中点，E为BC的中点，
∴FD+CE=12AD+BC=12×18=9，
∴EF=FD+CE−CD=9−2=7．
【点睛】此题考查了线段的和差计算以及有关线段中点的计算问题，解题的关键是正确分析题目中线段之间的数量关系．
【变式1-1】（2022·黑龙江大庆·期末）如图1，已知点C在线段AB上，且AM=13AC，BN=13BC．

(1)若AC=12，CB=6，求线段MN的长．
(2)若C为线段AB上任意一点，且满足AC+BC=a，其他条件不变，求线段MN的长．
【答案】(1)12
(2)23a

【分析】（1）若AC=12，CB=6，求线段MN的长；
（2）若点C为线段AB上任意一点，且满足AC+BC=a，请直接写出线段MN的长；
（1）
解：因为AM=13AC，BN=13BC，AC=12，CB=6，
所以AM=13×12=4，BN=13×6=2．
AB=AC+BC=12+6=18．
所以MN=AB−AM−NB=18−4−2=12．
（2）
解：因为AM=13AC，BN=13BC，AC+BC=a，
所以：AM+BN=13AC+BC=13a，
所以MN=AB−AM+BN=AC+BC−AM+BN=a−13a=23a．
【点睛】本题考查了两点间的距离，利用AM=13AC．BN=13BC，得出AM的长，BN的长是解题关键．
【变式1-2】（2022·四川德阳·七年级期末）如图，点C是线段AB上的一点，点M、N、P分别是线段AC，BC，AB的中点．
  
(1)若AB=10cm，求线段MN的长；
(2)若AC=3cm，CP=1cm，求线段PN的长．
【答案】(1)MN＝5cm
(2)PN＝32cm

【分析】（1）根据线段中点的性质可得MC＝12AC，CN＝12BC．再根据MN＝MC+CN＝12AC+12BC＝12（AC+BC）代入计算即可得出答案；
（2）先根据题意可计算出AP的长度，由线段中点的性质可得AB＝2AP，CB＝AB﹣AC，CN＝12CB，再根据PN＝CN﹣CP代入计算即可得出答案．
(1)
解：∵M、N分别是AC、BC的中点，
∴MC＝12AC，CN＝12BC，
∴MN＝MC＋CN＝12AC＋12BC＝12（AC＋BC）＝12AB＝12×10＝5（cm）.
(2)
解：∵AC＝3，CP＝1，
∴AP＝AC＋CP＝4，  
∵点P是线段AB的中点，
∴AB＝2AP＝8，CB＝AB－AC＝5，
∵点N是线段CB的中点，
∴CN＝12CB＝52（cm），   
∴PN＝CN－CP＝52－1＝32（cm）．
【点睛】本题主要考查了两点间距离的计算，熟练掌握两点间的距离计算方法进行求解是解决本题的关键．
【变式1-3】（2022·湖南长沙·七年级期末）如图，已知B、C在线段AD上，M是AB的中点，N是CD的中点，且AB=CD．

(1)如图线段AD上有6个点，则共有______条线段；
(2)比较线段的大小：AC______BD（填“＞”、“=”或“＜”）；
(3)若AD=12，BC=8，求MN的长度．
【答案】(1)15
(2)＝
(3)10

【分析】（1）根据线段有两个端点，得出所有线段的条数；
（2）依据AB＝CD，即可得到AB＋BC＝CD＋BC，进而得出AC＝BD；
（3）依据线段的和差关系以及中点的定义，即可得到MN的长度．
(1)
∵线段AD上有6个点，
∴图中共有线段条数为6×（6−1）÷2＝15；
故答案为：15；
(2)
∵AB＝CD，
∴AB＋BC＝CD＋BC，
即AC＝BD；
故答案为：＝；
(3)
∵AD=12，BC=8，
∴AB+CD=AD−BC=4，
∵M是AB的中点，N是CD的中点，
∴BM=12AB，CN=12CD，
∴BM+CN=12AB+CD=12×4=2，
∴MN=BM+CN+BC=2+8=10．
【点睛】本题主要考查了两点间的距离以及线段的和差关系，利用中点性质转化线段之间的倍分关系，在不同情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．
【题型2 线段中的方程思想】
【例2】（2022·河南信阳·七年级期末）如图，A，B，C，D四点在同一条直线上．

(1)若AB=CD，
①比较线段的大小：AC______BD；（填“>”“=”或“5，且CD=AB时，求t的值；
(3)取线段CD的中点M，当BM=14OA时，求t的值．
【答案】(1)BC=12AD
(2)t=15
(3)t=5或t=253

【分析】（1）分别计算出BC和AD即可等到BC=12AD；
（2）先计算得到CD的关于t的表达式，再根据CD=AB求出t即可；
（3）根据M在点B前面和后面两种情况分别计算出BM关于t的表达式，再根据BM=14OA即可计算出t．
（1）
当t=2时，AC=1×t=2,BC=OB−(OA+AC)=15−10−2=3 ，
OD=2×t=4,AD=OA−OD=10−4=6，
∴BC=12AD;
（2）
当D在C后面时，如下图所示，

OD=2t,OC=OA+AC=10+t，CD=OC−OD=10−t,AB=15−10=5
∵CD=AB，
∴10−t=5，
∴t=5（舍去），
点D在点C的前面时，如下图所示，

CD=OD−OC=2t−10+t=t−10,
∵CD=AB，
∴t−10=5，
即t=15．
（3）
当点M在点B左边时，
BM=OB−OM
=OB−OD−DM
=15−2t−12(10+t−2t)
=10−32t
又∵BM=14OA，
∴10−32t=14×10
即t=5；
当点M在点B右边时，
BM=OM−OB
=OD+DM−OB
=2t+12(10+t−2t)−15
=32t−10
又∵BM=14OA
32t−10=14×10
即t=253，
∴t=5或t=253．
【点睛】本题考查数轴上的点及线段的长度，解题的关键是根据题意建立等式.
【题型3 线段中的分类讨论思想】
【例3】（2022·全国·七年级专题练习）已知线段AB上有两点C、D，使得AC∶CD∶DB=1∶2∶3，M是线段AC的中点，点N是线段AB上的点，且满足DN=14DB，AB=24，求MN的长．

【答案】7或13
【分析】设AC=x，则CD=2x，DB=3x，根据题意得x+2x+3x=24，计算得x=4，即可得AC=4，CD=8，DB=12，CB=20，根据点M是线段AC的中点得MC=12AC=2，根据DB=12，DN=14DB得DN=3，分以下两种情况：①当点N在线段CD上时， ②当点N在线段DB上时，进行计算即可得．
【详解】解：设AC=x，则CD=2x，DB=3x，
∵AB=24，
∴x+2x+3x=24，
6x=24
解得x=4，
∴AC=4，CD=8，DB=12，CB=20，
∵点M是线段AC的中点，
∴MC=12AC=2，
∵DB=12，DN=14DB，
∴DN=14×12=3，
分以下两种情况：
①当点N在线段CD上时，MN=MC+CD−DN=2+8−3=7，
②当点N在线段DB上时，MN=MC+CD+DN=2+8+3=13，
综上所述，线段MN的长度为7或13．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，两点间的距离的计算，线段的中点的性质，解题的关键是掌握线段中点的性质，分类讨论．
【变式3-1】（2022·福建省永春第一中学七年级阶段练习）如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，AB表示A点和B点之间的距离，且a、b满足(a+1)2+|b−3|=0．

(1)填空：a＝ ，b＝ ，AB＝ ；
(2)若数轴上存在一点C，且AC＝2BC，求C点表示的数；
(3)若在原点O处放一挡板，一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动，同时另一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒）．
①分别表示甲、乙两小球到原点的距离（用t表示）；
②求甲、乙两小球到原点的距离相等时经历的时间．
【答案】(1)－1，3，4
(2)53或7
(3)①甲：t+1；乙：3−2t或2t−3；②t=23秒或t=4秒

【分析】（1）先根据非负数的性质求出a、b的值，再根据两点间的距离公式求得A、B两点之间的距离；
（2）分C点在线段AB上和线段AB的延长线上两种情况讨论即可求解；
（3）①甲球到原点的距离=甲球运动的路程+OA的长，乙球到原点的距离分两种情况：（Ⅰ）当0＜t≤32时，乙球从点B处开始向左运动，一直到原点O，此时OB的长度-乙球运动的路程即为乙球到原点的距离；（Ⅱ）当t＞32时，乙球从原点O处开始向右运动，此时乙球运动的路程-OB的长度即为乙球到原点的距离；
②分两种情况：（Ⅰ）0＜t≤32，（Ⅱ）t＞32，根据甲、乙两小球到原点的距离相等列出关于t的方程，解方程即可．
（1）
因为(a+1)2+|b−3|=0，
所a+1=0,b−3=0，
所以a=−1,b=3；
所以AB的距离＝|b−a|=4，
故答案为：－1，3，4；
（2）
设数轴上点C表示的数为c．
因为AC=2BC，
所以|c−a|=2|c−b|，即|c+1|=2|c−3|．
因为AC=2BC>BC，
所以点C不可能在BA的延长线上，则C点可能在线段AB上和线段AB的延长线上．
①当C点在线段AB上时，则有−1