专题1.3 三角形的初步认识 重难点题型11个-2022-2023学年八年级数学上册重难题型全归纳及技巧提升专项精练（浙教版）


专题1.3 三角形的初步认识 重难点题型11个
重难点题型
题型1 三角形三边关系及其运用
性质：两边之差的绝对值EC，而EC=BE，∴DE>BE，所以③错误；
∵AF=AB，DF=DC，∴AD=AF+DF=AB+CD，所以④正确．故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线的性质定理和全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是如何添加辅助线，构造全等三角形．
2．（2022·江苏镇江·八年级期末）小明用两张完全相同的长方形纸片按如图所示的方式摆放，一张纸片压住射线，另一张纸片压住射线且与第一张纸片交于点，若，则__．

【答案】
【分析】过点作于点，于点，然后由长方形纸片完全相同得到，再用定理证明，进而得到，进而可得到的大小．
【详解】解：如图，过点作于点，于点，则，

两张长方形纸片完全相同，，
在和中，∵，
∴，，
，，，故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质，折叠的性质．解题的关键在于证明三角形全等．
3．（2022·全国·七年级课时练习）已知，线段AC、BD交于点O，，于点F，于点E，，则（1）如图，若为钝角，求证：；（2）若为锐角，其他条件不变，请画图判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．

【答案】（1）见解析；（2）成立，见解析
【分析】（1）先证Rt△ABF≌Rt△CDF，再证△AOB≌△COD即可证明BO=DO
（2）证法和（1）相同，不过注意AE+EF=EF+CF变成AE-EF=EF-CF．
【详解】（1）∵AE=CF∴AE+EF=EF+CF
∴AF=EC∴在Rt△ABF和Rt△CDF中
∴Rt△ABF≌Rt△CDF（HL）∴∠A=∠C
∴在△AOB和△DOC中∴△AOB≌△COD（AAS）∴BO=DO
（2）

∵AE=CF∴AE-EF=EF-CF∴AF=EC
∴在Rt△ABF和Rt△CDF中∴Rt△ABF≌Rt△CDF（HL）∴∠A=∠C
∴在△AOB和△DOC中∴△AOB≌△COD（AAS）∴BO=DO
【点睛】本题考查直角三角形HL定理的判定、全等三角形的判定（AAS），在通过全等确定其对应边相等，掌握全等判定方法是本题解题关键．
4．（2022·江西·八年级期末）已知：，，，．

（1）试猜想线段与的位置关系，并证明你的结论．
（2）若将沿方向平移至图2情形，其余条件不变，结论还成立吗？请说明理由．
（3）若将沿方向平移至图3情形，其余条件不变，结论还成立吗？请说明理由．
【答案】（1），见解析；（2）成立，理由见解析；（3）成立，理由见解析
【分析】（1）先用判断出，得出，进而判断出，即可得出结论；（2）同（1）的方法，即可得出结论；（3）同（1）的方法，即可得出结论．
【详解】解：（1）理由如下：
∵，，∴
在和中
∴，∴
∵，∴，
∴，∴；
（2）成立，理由如下：∵，，∴，
在和中，
∴，∴，
∵，∴，∴，
在中，，∴；
（3）成立，理由如下：∵，，∴
在和中，
∴，∴，
∵，∴，
在中，，∴．
【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，判断出是解本题的关键．
5．（2022·江西·永丰县恩江中学八年级阶段练习）如图，在△ABC中，BC=AB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF．

(1)求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；(2)若∠CAB=30°，求∠ACF的度数．
【答案】(1)证明见解析 (2)
【分析】（1）由“HL”可证Rt△ABE≌Rt△CBF；
（2）由AB=CB，∠ABC=90°，即可求得∠CAB与∠ACB的度数，即可得∠BAE的度数，又由Rt△ABE≌Rt△CBF，即可求得∠BCF的度数，则由∠ACF=∠BCF+∠ACB即可求得答案．
(1)∵∠ABC=90°，∴∠CBF=∠ABE=90°，
在Rt△ABE和Rt△CBF中，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）；
(2)∵AB=BC，∠ABC=90°，∴∠CAB=∠ACB=45°，
∴∠BAE=∠CAB-∠CAE=45°-30°=15°。
∵Rt△ABE≌Rt△CBF，∴∠BCF=∠BAE=15°，
∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=15°+45°=60°
【点睛】此题考查了直角三角形全等的判定与性质．解题的关键是注意数形结合思想的应用．

题型7. 利用全等三角形证明数量（位置）关系
1．（2021·重庆·八年级阶段练习）如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE＝AB，AF＝AC，CE交BA于点D，CE交BF于点M．求证：（1）EC＝BF；（2）EC⊥BF．

【答案】（1）见解析；（2）见解析
【详解】（1）先利用SAS证明△ABF≌△AEC即可得到EC＝BF；
（2）根据（1）中的全等推得∠AEC＝∠ABF，根据∠BAE＝90°，∠AEC+∠ADE＝90°，再根据对顶角相等，等量代换后，推得∠BMD＝90°．
【解答】证明：（1）∵AE⊥AB，AF⊥AC，∴∠BAE＝∠CAF＝90°，
∴∠BAE+∠BAC＝∠CAF+∠BAC，∴∠EAC＝∠BAF，
在△ABF和△AEC中，，∴△ABF≌△AEC（SAS），∴EC＝BF；
（2）如图，由（1）得：△ABF≌△AEC，∴∠AEC＝∠ABF，
∵AE⊥AB，∴∠BAE＝90°，∴∠AEC+∠ADE＝90°，
∴∠ADE＝∠BDM（对顶角相等），∴∠ABF+∠BDM＝90°，
在△BDM中，∠BMD＝180°﹣∠ABF﹣∠BDM＝90°，∴EC⊥BF．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，对顶角的定义，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件．
2．（2022·重庆渝北·八年级期末）如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E是线段CA延长线上一点，连接BE，过点C作CD⊥BE交于点D，过点A作AF⊥CD交于点F；

(1)求证：BD＝CF；(2)若点M是AB的中点，连接MF，MD，求证：FM⊥MD．
【答案】(1)见解析；(2)见解析．
【分析】（1）根据同角的余角相等得到，再根据ASA证明，最后由全等三角形的对应边相等解题；（2）连接CM，由直角三角形斜边中线的性质及等腰直角三角形的性质证明，继而证明，最后利用全等三角形的对应角相等解题．
【解析】 (1)证明：

又
(2)连接CMM是AB的中点，CM=AM=BM=




【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形的性质等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
3．（2021·贵州遵义·八年级期末）如图，．
（1）求证：；（2）试判断与的位置关系，并说明理由．

【答案】（1）见解析；（2），见解析
【分析】（1）先根据AB⊥BC，DC⊥BC，得出∠B=∠C=90°，再由HL可证Rt△ABE≌Rt△ECD；
（2）根据余角的性质可得∠AEB+∠DEC=90°，故∠AED=90°，由此可得出结论．
【详解】（1）证明：∵AB⊥BC，DC⊥BC，∴∠B=∠C=90°，
在Rt△ABE与Rt△ECD中，，
∴Rt△ABE≌Rt△ECD（HL），∴△ABE≌△ECD；
（2）AE⊥DE．理由如下：
∵△ABE≌△ECD，∴∠AEB=∠EDC，
∵∠EDC+∠DEC=90°，∴∠AEB+∠DEC=90°，
∴∠AED=90°，∴AE⊥DE．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟知全等三角形的对应角相等是解答此题的关键．
4．（2021·河南周口·八年级期中）如图，在△ADC中，DB是高，点E是DB上一点，，，M、N分别是AE、CD上的点，且．

（1）△ABE和△DBC全等吗？请说明理由；（2）探索BM与BN之间的数量关系和位置关系，并说明理由．
【答案】（1）△ABE和△DBC全等，理由见解析；（2）BM=BN，BM⊥BN；理由见解析．
【分析】（1）先由DB是高可得∠ABE=∠DBC=90°，再结合已知则根据SAS可证明△ABE≌△DBC；
（2）利用全等三角形的性质证得∠BAM=∠BDN，则可由全等三角形的判定证明△ABM≌△DBN，得出BM=BN，∠ABM=∠DBN．得出∠MBN=90°，则结论得证．
【详解】解：（1）△ABE≌△DBC；理由是：
∵DB是高，∴∠ABE=∠DBC=90°．
在△ABE和△DBC中，，∴△ABE≌△DBC（SAS）．
（2）BM=BN，MB⊥BN；理由是：∵△ABE≌△DBC，∴∠BAM=∠BDN．
在△ABM 和△DBN 中，
∴△ABM≌△DBN（SAS）．∴BM=BN，∠ABM=∠DBN．
∵∠ABM+∠DBM=∠ABD=90°．∴∠DBN+∠DBM =90°．
即∠MBN=90°．∴BM⊥BN．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、垂直的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
5．（2021·河南驻马店·八年级期中）如图，∠ABC＝90°，FA⊥AB于点A，D是线段AB上的点，AD＝BC，AF＝BD．（1）判断DF与DC的数量关系为 　 ，位置关系为 　 ．（2）如图2，若点D在线段AB的延长线上，点F在点A的左侧，其他条件不变，试说明（1）中结论是否成立，并说明理由．

【答案】（1）DF＝CD，CD⊥DF；（2）成立，见解析
【分析】（1）根据题意可直接证明△AFD≌△BDC，即可得出结论；
（2）仿照（1）的证明过程推出△ADF≌△BCD，即可得出结论．
【详解】解：（1）由题意，∠A=∠B=90°，
在△AFD与△BDC中，∴△AFD≌△BDC(SAS)，∴DF=DC，∠ADF=∠BCD，
∵在Rt△BDC中，∠BDC+∠BCD=90°，∴∠BDC+∠ADF=90°，
∴∠FDC=90°，∴CD⊥DF，故答案为：DF＝CD，CD⊥DF；
（2）成立，理由如下：
∵AF⊥AB，∴∠DAF＝90°，
在△ADF和△BCD中，，
∴△ADF≌△BCD（SAS），∴DF＝CD，∠ADF＝∠BCD，
∵∠BCD+∠CDB＝90°，∴∠ADF+∠CDB＝90°，即∠CDF＝90°，
∴CD⊥DF；∴（1）中结论仍然成立．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，以及直角三角形两锐角互余等，掌握全等三角形的判定定理，熟练运用全等三角形的性质是解题关键．
6．（2021·河南省淮滨县第一中学八年级期末）如图，在等边三角形中，是边上的动点，以为一边向上作等边三角形，连接．（1）求证：≌；（2）求证：；
（3）当点运动到的中点时，与有什么位置关系？并说明理由．

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3），见解析．
【分析】（1）根据和是等边三角形，得到边角关系，即，，，根据等式性质得到，最后利用证明全等即可；
（2）根据≌，可知对应角，又因为，等量代换可知，进而得到；
（3），由是等边三角形，点为的中点，根据三线合一可知，再根据≌，进而得到，最后可求得的度数．
【详解】（1）和是等边三角形；
，，，
，即，
在与中，≌；
（2）≌，；
，，；
（3），理由如下：是等边三角形，点为的中点，
，，，
，，
≌，，
，．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质，等式的性质以及平行线的判定等知识点，准确的运用这些性质是解题的关键．

题型8. 尺规作图与三角形全等
1．（2021·河北唐山市·八年级期末）如图，在，上分别截取，，使，再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线，就是的角平分线．这是因为连结，，可得到，根据全等三角形对应角相等，可得．在这个过程中，得到的条件是（ ）

A．SAS B．AAS C．ASA D．SSS
【答案】D
【分析】由作图可知，OE=OD，CE=CD，OC=OC，由SSS证明三角形全等即可．
【详解】解：由作图可知，OE=OD，CE=CD，OC=OC，
∴△COD≌△COE（SSS），故选：D．
【点睛】本题考查作图-基本作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
2．（2021·河南郑州·一模）在课堂上，陈老师布置了一道画图题：画一个，使，它的两条边分别等于两条已知线段，小明和小强两位同学先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图所示．

那么小明和小强两位同学作图确定三角形的依据分别是（       ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】A
【分析】分别根据全等三角形的判定定理进行解答即可．
【详解】解：∵小明同学先确定的是直角三角形的两条直角边，∴确定依据是SAS定理；
∵小强同学先确定的是直角三角形的一条直角边和斜边，∴确定依据是HL定理．故选：A．
【点睛】本题考查的是作图-复杂作图，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理．
3．（2021·黑龙江·齐齐哈尔市第二十八中学八年级期中）下列说法中，若①，，则；②三角形三条角平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等；③在三角形全等的判定中，至少要有一条边对应相等才能判定两个三角形全等；④用尺规作已知角的平分线的理论依据是“SSS”；⑤经过线段中点的直线是这条线段的对称轴，其中正确说法的有（       ）个．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】根据全等三角形的判定，角平分线的性质，作角平分线，轴对称的性质分别判断即可．
【详解】解：①，，则，故正确；
②三角形三条角平分线的交点到三角形三边的距离相等，故错误；
③在三角形全等的判定中，至少要有一条边对应相等才能判定两个三角形全等，故正确；
④用尺规作已知角的平分线的理论依据是“SSS”，故正确；
⑤经过线段中点且垂直于该线段的直线是这条线段的对称轴，故错误；故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，角平分线的性质，作角平分线，轴对称的性质，属于基本几何知识，要求熟练掌握．
4．（2021·江苏苏州市·七年级期末）如图，小正方形的边长为1，为格点三角形．
(1)如图①，的面积为 ；
(2)在图②中画出所有与全等，且只有一条公共边的格点三角形．

【答案】(1)6;(2)见解析
【分析】（1）利用△ABC所在的正方形的面积减去四周三个直角三角形的面积，列式计算即可得解；
（2）分三种情况讨论：分别以AC,AB,BC为公共边，作与余下两边相等的三角形，看是否符合题意即可．
【详解】解：（1）4--=6.
（2）如图

【点睛】本题主要考查的是作图-应用设计、全等三角形的判定，熟练掌握相关知识是解题的关键．
5．（2021·浙江·八年级期末）如图，已知，请按下列要求作图：

（1）作边上的中线．（2）用直尺和圆规作的角平分线．
（3）用直尺和圆规作，使（使点D与A对应，点E与B对应，点F与C对应）．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【分析】（1）作BC的垂直平分线，交BC于D，连接AD即可；
（2）利用基本作图（作已知角的平分线）作∠ACB的平分线CG；（3）先作线段EF=BC，然后分别以E、F为圆心，BA和CA为半径画弧，两弧交于点D，则△DEF与△ABC全等．
【详解】解：（1）如图，AD即为所作；
（2）如图，CG即为所作；

（3）如图，△DEF为所作．

【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
6．（2021·江苏泰州·一模）已知：如图1，中，．
（1）请你以为一边，在的同侧构造一个与全等的三角形，画出图形；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）参考（1）中构造全等三角形的方法解决下面问题：
如图2，在四边形中①；②；③．请在上述三条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个命题．试判断这个命题是否正确，并说明理由你选择的条件是________，结论是_______（只要填写序号）

【答案】（1）作图见详解；（2）①②；③
【分析】（1）以点A为圆心AC为半径画弧，再以点C为圆心AD长为半径画弧，两个弧的交点为点E，连接AE，CE，即可；（2）延长DA至点E，使AE=CB，连接CE，证明，可得∠B=∠E，AB=CE，进而即可得到结论．
【详解】解：（1）如图所示：

（2）选择的条件是①②，结论是③，理由如下：延长DA至点E，使AE=CB，连接CE，
∵，∠DAC+∠EAC=180°，∴∠ACB=∠EAC，
在和中，∵，∴，∴∠B=∠E，AB=CE，
∵，∴∠D=∠E，∴CD=CE，∴CD=AB，故答案是：①②；③．

【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定定理，添加辅助线构造全等三角形，
是解题的关键．

题型9. 利用三角形全等测距离
1．（2022·浙江·九年级专题练习）如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）．在图中，要测量工件内槽宽AB，只要测量A′B′就可以，这是利用什么数学原理呢？（       ）

A．AAS B．SAS C．ASA D．SSS
【答案】B
【分析】根据题意，连接AB，A′B′，证明△AOB≌△A′OB′（SAS）即可求得答案．
【详解】解：连接AB，A′B′，如图，

∵点O分别是AA′、BB′的中点，∴OA＝OA′，OB＝OB′，
在△AOB和△A′OB′中，，∴△AOB≌△A′OB′（SAS）．∴A′B′＝AB．故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
2．（2022·广西·环江毛南族自治县教研室八年级期末）如图，为了测量池塘两岸相对的A，B两点之间的距离，小明同学在池塘外取AB的垂线BF上两点C，D，BC=CD，再画出BF的垂线DE，使点E与A，C在同一条直线上，可得△ABC≌△EDC，从而DE=AB．判定△ABC≌△EDC的依据是（       ）

A．ASA B．SAS C．AAS D．SSS
【答案】A
【分析】根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，要根据已知选择判断方法．
【详解】解：在△ABC和△EDC中：
，∴△ABC≌△EDC（ASA）．故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
3．（2021·广东广州·八年级阶段练习）如图，要测量水池的宽度，可从点出发在地面上画一条线段，使，再从点观测，在的延长线上测得一点，使，这时量得，则水池宽的长度是______m．

【答案】160
【分析】利用全等三角形的性质解决问题即可．
【详解】解：，，
在与中，，≌，
，故答案为：．
【点睛】本题考查全等三角形的应用，解题关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问题．
4．（2021·四川南充·八年级期末）某中学八年级学生进行课外实践活动，要测池塘两端A，B的距离，因无法直接测量，经小组讨论决定，先在地上取一个可以直接到达A，B两点的点O，连接AO并延长到点C，使AO＝CO；连接BO并延长到点D，使BO＝DO，连接CD并测出它的长度．
（1）根据题中描述，画出图形；（2）CD的长度就是A，B两点之间的距离，请说明理由．

【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）利用全等三角形的性质解决问题即可．
【详解】解：（1）图形如图所示：

（2）连接AB．在△AOB和△COD中，，
∴△AOB≌△COD（SAS），∴AB＝CD，
∴CD的长度就是A，B两点之间的距离．
【点睛】本题考查作图﹣应用与设计作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用全等三角形的性质解决问题．
5．（2022·福建龙岩·八年级期末）将一个含45°角的直角三角板ABC和一把刻度尺按如图所示的位置放在一起，其中直角的顶点C在刻度尺上，如果分别过A，B两点想刻度尺作两条垂线段AM和BN，垂足分别为M，N．通过测量CN的长度就可以知道AM的长度，为什么？请说明理由．

【答案】AM＝CN，理由见解析
【分析】利用一个45°角的直角三角板的特殊性，根据AAS证明三角形全等，从而推出AM＝CN．
【详解】解：AM＝CN，
证明如下：∵一个45°角的直角三角板ABC，∴AC＝BC．
∵A、B两点作两条垂线段AM和BN，
∴∠ACM+∠MAC＝90°，∠ACM+∠BCN＝90°．∴∠MAC＝∠BCN．
∵∠AMC＝∠CNB，∴△ACM≌△CBN（AAS）．∴AM＝CN．
【点睛】本题考查全等三角形的应用．在实际生活中，常常通过两个全等三角形的对应边相等来证明．本题中结论为AM＝CN，一般是通过全等的性质求解．
6．（2021·山东青岛·七年级期中）某校七年级班学生到野外活动，为测量一池塘两端A、B之间的距离，设计出如下几种方案：
方案a：如图（1）所示，先在平地上取一个可直接到达A、B的点C，再连接AC、BC，并分别延长AC至D，BC至E，使，，最后测出DE的距离即为AB之长：
方案b：如图（2）所示，过点B作AB的垂线BF，再在BF上取C、D两点，使，接着过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于点E，则测出了DE的长即为A、B之间的距离．

阅读后回答下列问题：（1）方案a是否可行？请说明理由；（2）方案b是否可行？不必说明理由；（3）方案b中作，的目的是___________，若仅满足，方案b的结论是否成立．
【答案】（1）可行，见解析；（2）可行；（3）对应角，成立
【分析】（1）方案a对顶角相等，只要夹这个角的两边对应相等，利用“边角边”就可以判断三角形全等；
（2）方案b对顶角相等，又有垂直，两个对应角是直角，利用“角边角”，就可以判断两个三角形全等；
（3）根据“角边角”可知仅满足也可以证明三角形全等，由此可得答案．
【详解】解：（1）可行，理由如下：
∵在与中，，∴∴AB＝DE；
（2）可行，理由如下：∵AB⊥BF，DE⊥BF，∴
∵在与中，，∴∴AB＝DE；
（3）作BF⊥AB，ED⊥BF的目的是为了使对应角∠ABD＝∠BDE＝90°，只要∠ABC＝∠EDC，依然可以用“角边角”证明两个三角形全等，所以方案b的结论仍成立．
【点睛】本题考查了全等三角形的应用；在测量长度或者角度问题中，如果不能直接测量，可以构造全等三角形，利用对应边（角）相等来解决问题．

题型10. 全等三角形中的动态问题
1．（2022·四川广元·八年级期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=10，BC=5，AX⊥AC，点P和点Q从点A出发，分别在线段AC和射线AX上运动，且AB=PQ，当AP=________时，△ABC与△APQ全等．

【答案】5或10##10或5
【分析】分两种情况：①当AP=BC=5时；②当AP=CA=10时；由HL证明Rt△ABC≌Rt△PQA（HL）；即可得出结果．
【详解】解：∵AX⊥AC，∴∠PAQ=90°，∴∠C=∠PAQ=90°，
分两种情况：①当AP=BC=5时，在Rt△ABC和Rt△QPA中，，∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL）；
②当AP=CA=10时，在△ABC和△PQA中，，∴Rt△ABC≌Rt△PQA（HL）；
综上所述：当点P运动到AP=5或10时，△ABC与△APQ全等；故答案为：5或10．
【点睛】本题考查直角三角形全等的判定方法；熟练掌握直角三角形全等的判定方法，本题需要分类讨论．
2．（2022·河北唐山·八年级期末）如图，在长方形ABCD中，AB＝CD＝8cm，BC＝12cm，点P从点B出发，以2cm/秒的速度沿BC向点C运动，同时，点Q由点C出发，以相同的速度沿CD向点D运动，设点P的运动时间为t秒，当时，t的值为（       ）

A．1或3 B．2 C．2或4 D．1或2
【答案】B
【分析】可得 ，计算出t即可．
【详解】解：∵△ABP≌△PCQ，∴BP＝CQ，AB＝PC，
∵AB＝8cm，∴PC＝8cm，∴BP＝12−8＝4cm，∴2t＝4，解得：t＝2，故选：B．
【点睛】主要考查了全等三角形的性质，矩形的性质，解本题的关键是熟练掌握全等三角形的性质．
3．（2022·广西百色·八年级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8厘米，BC＝6厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以1.5厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上，由C点向A点运动，为了使△BPD≌△CPQ，点Q的运动速度应为（       ）

A．1厘米/秒 B．2厘米/秒 C．3厘米/秒 D．4厘米/秒
【答案】B
【分析】由全等三角形的性质可得出BD＝CQ＝4厘米，BP＝CP＝3厘米，求出点P运动的时间，则可得出答案．
【详解】解：当△BPD≌△CPQ时，BD＝CQ＝4厘米，BP＝CP＝3厘米，
∴点P运动的时间为3÷1.5＝2（秒），∴点Q的运动速度为4÷2＝2（厘米/秒）．选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和全等三角形的性质，注意：全等三角形的对应边相等．
4．（2022·河北石家庄·八年级期末）如图，已知直线于点P，B是内部一点，过点B作于点A，于点C，四边形是边长为8cm的正方形，N是的中点，动点M从点P出发，以2cm/s的速度，沿方向运动，到达点C停止运动，设运动时间为，当时，t等于（       ）

A．2 B．4 C．2或4 D．2或6
【答案】D
【解析】
【分析】分点M是AP的中点和点M与点N重合两种情况讨论，由全等三角形的性质和正方形的性质即可求解．
【详解】解：当点M是AP的中点时，
∵四边形PABC是正方形，∴PC＝PA＝AB，∠CPA＝∠PAN＝90°，
∵N是AB的中点，点M是AP的中点，∴PM＝AN＝4，
在△CPM和△PAN中，
∴△CPM≌△PAN（SAS），∴PN＝CM，∴t2，
当点M与点N重合时，由正方形的对称性可得PN＝CM，∴t6，故选：D
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
5．（2021·江苏盐城·八年级期中）如图，已知四边形ABCD中，AB＝12cm，BC＝10cm，CD＝14cm，∠B＝∠C，点E为AB的中点．如果点P在线段BC上以2cm/s的速度沿B﹣C运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为 _______cm/s时，能够使△BPE与△CQP全等．

【答案】2或
【分析】设运动时间为t秒，点Q的运动速度是vcm/s，则BP=2t cm，CQ=vt cm，CP=（10-2t）cm，求出BE=6cm，根据全等三角形的判定得出当BE=CP，BP=CQ或BE=CQ，BP=CP时，△BPE与以C、P、Q三点所构成的三角形全等，再代入求出t、v即可．
【详解】设运动时间为t秒，点Q的运动速度是vcm/s，则BP=2t cm，CQ=vt cm，CP=（10-2t）cm，
∵E为AB的中点，AB=12cm，∴BE=AE=6cm，
∵∠B=∠C，∴要使△BPE与以C、P、Q三点所构成的三角形全等，必须BE=CP，BP=CQ或BE=CQ，BP=CP，
当BE=CP，BP=CQ时，6=10-2t，2t=vt，解得：t=2，v=2，即点Q的运动速度是2cm/s，
当BE=CQ，BP=CP时，6=vt，2t=10-2t，解得：t=，v=，即点Q的运动速度是cm/s，
故答案为2或
【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL等．
6．（2021·四川宜宾市·八年级期末）在中，，，，点在上，且，过点作射线（与在同侧），若点从点出发，沿射线匀速运动，运动速度为，设点运动时间为秒．连结、．

（1）如图①，当时，求证：；
（2）如图②，当于点时，求此时的值．
【答案】（1）见解析；（2）8秒
【分析】（1）根据垂直及角之间的关系证明出，又有，，根据三角形全等的判定定理则可证明．
（2）根据垂直及角之间的关系证明，又因为，，则可证明，所以，即t=8秒．
【详解】（1）证明：，，即
又，
又，
又，
在和中
（2），，即
又，

又，
在和中
即秒．
【点睛】本题主要考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理，灵活运用角之间的关系是解题关键．

题型 11. 全等三角形综合题
1．（2021·湖南岳阳市·八年级期末）已知中，，，点为的中点，点、分别为边、上的动点，且，连接，下列说法正确的是______．（写出所有正确结论的序号）①；②；③；④

【答案】①②④
【分析】根据补角的性质计算可得①；连接D，证明，根据三角形全等的性质判断可得后面的结果；
【详解】，
，，；
故①正确；连接AD，

∵，，∴，
又∵点为的中点，∴，，，即，
又∵，∴，
又∵，∴，
在△BED和△AFD中，，∴，∴ED=FD；故②正确；
∵，∴，
则，故④正确；
当点E移动到点A时，此时点F与点C重合，很明显此时EF=AC，FC=0，即；
故③错误；故答案为①②④．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，准确分析计算是解题的关键．
2．（2021·浙江宁波市·八年级期末）如图1，是等边三角形，为上两点，且，延长至点F，使，连结．（1）如图2，当两点重合时，求证：．
（2）如图3，延长交线段于点G．①求证：．②求的度数．

【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②．
【分析】（1）由等边三角形的性质可得，再由，，当两点重合时，可知点为等边三角形边的中点，由三线合一性质，得，由此解得，最后根据等角对等边解题即可；
（2）①作交于H，连接，由平行线性质解得，继而证明是等边三角形，从而得到，接着证明，最后由全等三角形对应边相等的性质解题即可；
②由①中全等三角形对应角相等可得，结合角的和差解题即可．
【详解】证明：（1）是等边三角形，，
，，
，，，；
（2）①如图，作交于H，连接，
，，
，是等边三角形，，
，，，，
，， ；
②


【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
3．（2022·河北安平初二期末）如图，点是等边内一点，，，将绕点顺时针方向旋转得到，连接，.（1）当时，判断的形状，并说明理由；（2）求的度数；（3）请你探究：当为多少度时，是等腰三角形？

【答案】（1）为直角三角形，理由见解析；（2）；（3）当为或或时，为等腰三角形.
【分析】（1）由旋转可以得出和均为等边三角形 ，再根据求出，进而可得为直角三角形；
（2）因为进而求得，根据，即可求出求的度数；
（3）由条件可以表示出∠AOC=250°-a，就有∠AOD=190°-a，∠ADO=a-60°，当∠DAO=∠DOA，∠AOD=ADO或∠OAD=∠ODA时分别求出a的值即可．
【解析】解：（1）为直角三角形，理由如下：
绕顺时针旋转得到，和均为等边三角形，，，，
，为直角三角形；
（2）由（1）知：，，
，

，；
（3）∵∠AOB=110°，∠BOC=α∴∠AOC=250°-a．
∵△OCD是等边三角形，∴∠DOC=∠ODC=60°，∴∠ADO=a-60°，∠AOD=190°-a，
当∠DAO=∠DOA时，2（190°-a）+a-60°=180°，解得：a=140°
当∠AOD=ADO时，190°-a=a-60°，解得：a=125°，
当∠OAD=∠ODA时，190°-a+2（a-60°）=180°，解得：a=110°
∴α=110°，α=140°，α=125°．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质的运用，旋转的性质的运用，直角三角形的判定，全等三角形的判定及性质的运用，等腰三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
4．（2021·湖北襄阳市·八年级期末）如图1，在中，过点作，且，连接．

（问题原型）（1）若，且，过点作的的边上的高，易证，从而得到的面积为______．
（变式探究）（2）如图2，若，，用含的代数式表示的面积，并说明理由．
（拓展应用）（3）如图3，若，，则的面积为______．
【答案】（1）32；（2），理由见解析；（3）16．
【分析】（1）如图1中，由AAS定理可证△ABC≌△BDE，就有DE=BC=8．进而由三角形的面积公式得出结论；（2）如图2中，过点D作BC的垂线，与BC的延长线交于点E，由AAS定理可证得△ABC≌△BDE，就有DE=BC=a．进而由三角形的面积公式得出结论．
（3）如图3中，过点A作AF⊥BC与F，过点D作DE⊥BC的延长线于点E，由等腰三角形的性质可以得出BF=BC，由条件可以得出△AFB≌△BED就可以得出BF=DE，由三角形的面积公式就可以得出结论．
【详解】解：（1）∵在中，，过点作且过点作的的边上的高，∴∴
∵∴．
在与中，∴，
∴故答案为：32

（2）理由：过点作延长线于点 ∴
∵，∵∴．
在与中，∴，
∴
（3）如图3中，∵∴BF=BC=×8=4．
过点A作AF⊥BC与F，过点D作DE⊥BC的延长线于点E，

∴∠AFB=∠E=90°，∴∠FAB+∠ABF=90°．
∵∠ABD=90°，∴∠ABF+∠DBE=90°，∴∠FAB=∠EBD．
在△AFB和△BED中，，∴△AFB≌△BED（AAS），∴BF=DE=4．
∵S△BCD=BC•DE，∴S△BCD=∴△BCD的面积为16．故答案为：16
【点睛】本题考查了直角三角形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答时证明三角形全等是关键．
5．（2022·成都市初一期末）（1）如图1，在ABC中，AB=4，AC=6，AD是BC边上的中线，延长AD到点E使DE=AD，连接CE，把AB，AC，2AD集中在ACE中，利用三角形三边关系可得AD的取值范围是　 　；（2）如图2，在ABC中，AD是BC边上的中线，点E，F分别在AB，AC上，且DE⊥DF，求证：BE+CF＞EF；（3）如图3，在四边形ABCD中，∠A为钝角，∠C为锐角，∠B+∠ADC=180°，DA=DC，点E，F分别在BC，AB上，且∠EDF=∠ADC，连接EF，试探索线段AF，EF，CE之间的数量关系，并加以证明．

【答案】（1）1＜AD＜5；（2）见解析；（3）AF+EC=EF，见解析
【分析】（1）证明△CDE≌△BDA（SAS），推出CE=AB=4，在△ACE中，利用三角形的三边关系解决问题即可．（2）如图2中，延长ED到H，使得DH=DE，连接DH，FH．证明△BDE≌△CDH（SAS），推出BE=CH，再证明EF=FH，利用三角形的三边关系即可解决问题．（3）结论：AF+EC=EF．延长BC到H，使得CH=AF．提供两次全等证明AF=CE，EF=EH即可解决问题．
【解析】（1）∵CD=BD，AD=DE，∠CDE=∠ADB，∴△CDE≌△BDA（SAS），∴EC=AB=4，
∵6﹣4＜AE＜6+4，∴2＜2AD＜10，∴1＜AD＜5，故答案为：1＜AD＜5；
（2）如图2中，延长ED到H，使得DH=DE，连接DH，FH．

∵BD=DC，∠BDE=∠CDH，DE=DH，∴△BDE≌△CDH（SAS），∴BE=CH，
∵FD⊥EH，又DE=DH，∴EF=FH，在△CFH中，CH+CF＞FH，
∵CH=BE，FH=EF，∴BE+CF＞EF；
（3）结论：AF+EC=EF．理由：延长BC到H，使得CH=AF．
∵∠B+∠ADC=180°，∴∠A+∠BCD=180°，∵∠DCH+∠BCD=180°，∴A=∠DCH，
∵AF=CH，AD=CD，∴△AFD≌△CHD（SAS），∴DF=DH，∠ADF=∠CDH，∴∠ADC=∠FDH，
∵∠EDF=∠ADC，∴∠EDF=∠FDH，∴∠EDF=∠EDH，
∵DE=DE，∴△EDF≌△EDH（SAS），∴EF=EH，
∵EH=EC+CH=EC+AF，∴EF=AF+EC．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中线的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会倍长中线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
6．（2022·青白江初一期中）现给出一个结论：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；该结论是正确的，用图形语言可以表示为：如图1在中，,若点D为AB的中点，则．
请结合上述结论解决如下问题：已知，点P是射线BA上一动点（不与A,B重合）分别过点A,B向直线CP作垂线，垂足分别为E,F,其中Q为AB的中点（1）如图2，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系____________；QE与QF的数量关系是__________（2）如图3，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明．(3)如图4，当点P在线段BA的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并写出主要证明思路．

【答案】（1）AE//BF;QE=QF；(2)QE=QF，证明见解析；(3)结论成立，证明见解析．
【分析】（1）根据AAS得到，得到、QE=QF，根据内错角相等两直线平行，得到AE//BF；（2）延长EQ交BF于D，根据AAS判断得出，因此，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可证明；（3）延长EQ交FB的延长于D，根据AAS判断得出，因此，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可证明．
【解析】（1）AE//BF；QE=QF （2）QE=QF 证明：延长EQ交BF于D，


,
（3）当点P在线段BA延长线上时，此时（2）中结论成立
证明：延长EQ交FB的延长于D 因为AE//BF所以
EQ=QF
【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法：AAS，平行线的性质，根据P点位置不同，画出正确的图形，找到AAS的条件是解决本题的关键．
7．（2022·山东威海市·七年级期末）（问题情境）（1）如图，在四边形中，，，．点，分别是和上的点，且，试探究线段，，之间的关系．小明同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接．先证明，再证明，进而得出．你认为他的做法　　　　；（填“正确”或“错误”）．

（探索延伸）（2）如图，在四边形中，，，，，点，分别是和上的点，且，上题中的结论依然成立吗？请说明理由．
（思维提升）（3）小明通过对前面两题的认真思考后得出：如图，在四边形中，若，，，那么．你认为正确吗？请说明理由．
【答案】（1）正确；（2）成立，理由见解析；（3）正确，理由见解析．
【分析】（1）延长到点，使，连接．先证明，可得AE=AG，再证明，可得EF=GF，进而得出．即可解题；
（2）成立，证明方法同（1）：延长到点，使，连接．先证明，可得AE=AG，再证明，可得EF=GF，进而得出．即可解题；
（3）正确，证明方法同（2）：延长到点，使，连接．先证明，可得AE=AG，再证明，可得EF=GF，进而得出．即可解题．
【详解】解：（1）正确．
理由：如图1，延长到点，使，连接．

∵，∴，
在△ABE和△ADG中，∵，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∵，，∴∠EAF =∠BAD，
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，∴∠EAF=∠GAF，
在△AEF和△AGF中，∵，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF=GF，
∵GF=DG+DF=BE+DF，∴；
（2）（1）题中的结论依然成立；
理由：如图2，延长到点，使，连接．
∵，，∴，
在△ABE和△ADG中，∵，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∵，，∴∠EAF =∠BAD，
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，∴∠EAF=∠GAF，
在△AEF和△AGF中，∵，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF=GF，
∵GF=DG+DF=BE+DF，∴；
（3）正确，理由：如图3，延长到点，使，连接．
∵，，∴，
在△ABE和△ADG中，∵，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∵∠EAF =∠BAD，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，∴∠EAF=∠GAF，
在△AEF和△AGF中，∵，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF=GF，
∵GF=DG+DF=BE+DF，∴．
【点睛】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．