2022-2023学年福建省福州市鼓楼区文博中学七年级（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年福建省福州市鼓楼区文博中学七年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  在平面直角坐标系中，点所在象限为(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2.  在下列实数中，最小的数是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  一个三角形的三边长分别为、、，那么的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，已知，把三角板的直角顶点放在直线上若，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  已知是二元一次方程组的解，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  若，则下列不等式一定成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  下列调查中，适合用全面调查方式的是(    )

A. 了解一批节能灯泡的使用寿命 B. 了解某班级同学的视力情况
C. 了解一批袋装食品含防腐剂的超标情况 D. 了解福州某河流的水质情况

8.  我国古代数学著作增删算法统宗记载“绳索量竿”问题：一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子来量竿，却比竿子短一托．大意为，现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短尺．设绳索长尺，竿长尺，根据题意，可列方程组为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  实数，，在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简得(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，在，、分别是高和角平分线，点在的延长线上，交于，交于，下列结论：；；；，正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  不等式的解集是______．

12.  在平面直角坐标系中，点到轴的距离是______ ．

13.  若一个正多边形的一个内角是，则该正多边形是______边形．

14.  如果，是的两个平方根，那么 ______ ．

15.  已知，且，，若，则的取值范围是______ ．

16.  已知关于，的二元一次方程组的解为，则关于，的方程组的解为______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
解下列方程组或不等式组：
；
．

18.  本小题分
已知的平方根是，的立方根是，试求的平方根．

19.  本小题分
如图，已知，，试说明的理由．

20.  本小题分
如图，、、，把向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到．
在图中画出．
写出平移后三个点的坐标______，______，______．
若点在直线上运动，当线段长度最小时，则点的坐标为______．

21.  本小题分
纳溪区开展“育本课堂”教学改革，改变学生的学习模式，变“老师要学生学习”为“学生自主学习”，培养了学生自主学习的能力．某中学学生小华与小明同学就“你最喜欢哪种学习方式”随机调查了他们周围的一些同学，根据收集到的数据绘制了以下两个不完整的统计图如图．

请根据上面两个不完整的统计图回答问题：
这次抽样调查中，共调查了______名学生；
根据所提供的信息，补全条形统计图；
在扇形统计图中，选择教师直接讲授的占______，选择小组合作学习的占______；
根据调查结果，估算该校名学生中大约有______人选择小组合作．

22.  本小题分
某商店计划同时购进一批甲、乙两种型号的计算器，若购进甲型计算器只和乙型计算器只，共需资金元，若购进甲型计算器只和乙型计算器只，共需资金元．
求甲、乙两种型号的计算器每只进价是多少元？
该商店计划购进两种型号的计算器共只，而可用于购买这两种型号的计算器资金不少于元但又不超过元，该商店共有几种进货方案？

23.  本小题分
如图，是外角的平分线，且交的延长线于点．
若，，求的度数；
请你写出、、三个角之间存在的等量关系，并写出证明过程．

24.  本小题分
阅读理解：
定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”例如：的解为，的解集为，不难发现在的范围内，所以是的“子方程”．
问题解决：
在方程，，中，不等式组的“子方程”是______；填序号
若关于的方程是不等式组的“子方程”，求的取值范围；
若方程，都是关于的不等式组的“子方程”，直接写出的取值范围．

25.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，，，现同时将点，分别向上平移个单位，再向右平移个单位，分别得到点，的对应点，，连接，．
直接写出点、的坐标：______ ，______ ；
如图，若点在线段上，且，点以每秒个单位长度的速度从点沿轴正半轴向上运动，是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
如图，已知，射线以的速度绕点顺时针旋转至停止，射线以的速度绕点顺时针旋转，射线、同时开始旋转，同时停止运动在射线到达之前，会与射线交于点，过作交于，则在转动过程中，的值是否会改变，如果不变请求出这个定值：如果会变，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，
点所在象限为第四象限．
故选：．
根据各象限内点的坐标特征解答．
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
 

2.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
在，，，这四个数中，
，
最小的数是，
故选：．
根据正数大于，大于负数，两个负数比较，绝对值大的反而小，即可解答．
本题考查了实数的大小比较，算术平方根，熟练掌握两个负数比较，绝对值大的反而小是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：三角形的三边长分别为、、，
，即．
故选：．
根据三角形的三边关系列出不等式即可求出的取值范围．
本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：如图，

，，
，
，
，
故选：．
根据“两直线平行，内错角相等”求解即可．
此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：由是关于，的二元一次方程的解，得，
解得，
故选：．
根据方程的解满足方程，可得关于的方程，根据解方程，可得答案．
本题考查了二元一次方程的解，利用方程的解满足方程得出关于的方程是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：：，，原变形错误，不符合题意；
：，，原变形错误，不符合题意；
：，乘以负数，不等号方向改变，正确，符合题意；
：，比如，，，，，原变形错误，不符合题意．
故答案为：．
根据不等式的性质，对选项逐个判断即可．
此题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的有关性质是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：、了解一批节能灯泡的使用寿命，适合用抽样调查，故A不符合题意；
B、了解某班级同学的视力情况，适合用全面调查，故B符合题意；
C、了解一批袋装食品含防腐剂的超标情况，适合用抽样调查，故C不符合题意；
D、了解福州某河流的水质情况，适合用抽样调查，故D不符合题意；
故选：．
根据全面调查与抽样调查的特点，逐一判断即可解答．
本题考查了全面调查与抽样调查，熟练掌握全面调查与抽样调查的特点是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：由题意得：
，
故选：．
根据题意可得等量关系：绳索长竿长尺，竿长绳索长的一半尺，根据等量关系可得方程组．
此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数列出方程．
 

9.【答案】 

【解析】解：根据图示，可得：，



．
故选：．
根据图示，可得：，据此化简即可．
此题主要考查了实数的运算，注意运算顺序，以及数轴的特征：一般来说，当数轴正方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
 

10.【答案】 

【解析】解：设交于点．
，

，
，
，
，
正确；
平分，
，
，
，
，
，
正确；
，
，
，
，
由得，，
，
；
正确；
，
，
，
，，
，
，
正确，
故选：．
根据，和，证明结论正确；
根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确；
证明，根据的结论，证明结论正确；
根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确．
本题考查的是三角形内角和定理，正确运用三角形的高、中线和角平分线的概念以及三角形外角的性质是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：两边同时除以，得：．
故答案是：．
两边同时除以，把的系数化成即可求解．
本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．
解不等式要依据不等式的基本性质：
不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；
不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；
不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
 

12.【答案】 

【解析】解：点到轴的距离是，
故答案为：．
点到轴的距离是纵坐标的绝对值，即．
本题考查平面内点的坐标；熟练掌握平面内点的坐标特点是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：该多边形的一个外角为：，
由外角和公式，可得该正多边形得边数为：．
故答案为：．
先求出外角，再根据外角和公式求边数；也可以直接套用内角和公式，求出边数．
本题考查多边形得内角与外角，解题得关键时熟记内角和公式或外角和公式．
 

14.【答案】 

【解析】解：，是的两个平方根，
，，
．
故答案为：．
根据平方根的性质可知、互为相反数，再根据相反数的性质即可求出结果．
本题考查了实数的运算，熟练掌握平方根和相反数的性质是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
，
，

，
当时，，
当时，，
，
的取值范围是：，
故答案为：．
先把，变形为，再由，可得，解得，从而可得，再把，代入，可得，从而确定的范围．
本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：方程组的化为，
关于，的二元一次方程组解为，
，
解得．
故答案为：．
首先把关于，的方程组的化为，再根据关于，的二元一次方程组解为，得出，解出即可．
本题主要考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法，其中方程的转化是解题关键．
 

17.【答案】解：，
由得：
，
把代入得：
，
解得：，
把代入得：
，
原方程组的解为：；
，
解不等式得：，
解不等式得：，
原不等式组的解集为：． 

【解析】利用代入消元法，进行计算即可解答；
按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

18.【答案】解：的平方根是，
，
解得，
又的立方根是，
，
解得，
，
的平方根是． 

【解析】根据平方根、立方根的定义求出、的值，再代入计算即可．
本题考查平方根、立方根，理解平方根、立方根的定义是正确解答的前提．
 

19.【答案】解：，
，
，
，
，
． 

【解析】此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．
由与平行，利用两直线平行，同位角相等得到，利用等式的性质得到，利用同位角相等，两直线平行即可得证．
 

20.【答案】       

【解析】解：如图，为所作；
，，；

故答案为：，，；
当时，线段长度最小时，此时点坐标为．
故答案为：．
先利用点平移的坐标变换规律写出、、的坐标，然后描点即可；
利用垂线段最短确定点位置，从而得到点坐标．
本题考查了作图平移变换：作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
 

21.【答案】       

【解析】解：名，
故答案为：；
名，补全条形统计图如下：

选择“教师直接讲授”的所占的百分比为，
选择“小组合作学习”的所占的百分比为，
故答案为：，；
名，
故答案为：．
从两个统计图中可知，喜欢“个人自学后教师点拨”的有人，占调查人数的，根据频率即可求出调查人数；
根据“各组频数之和等于样本容量”可求出喜欢“教师直接讲授”的人数，即可补全条形统计图；
利用各组频率之和等于可求出喜欢“教师直接讲授”的所占的百分比以及喜欢“小组合作选项”所占的百分比；
用样本中喜欢“小组合作学习”所占的百分比估计总体中喜欢“小组合作学习”所占的百分比，进而求出相应的人数即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图以及样本估计总体，理解两个统计图中数量之间的关系是解决问题的前提，掌握频率是正确解答的关键．
 

22.【答案】解：设甲种型号的计算器每只进价是元，乙种型号的计算器每只进价是元，
依题意得：，
解得：，
答：甲种型号的计算器每只进价是元只，乙种型号的计算器每只进价是元只．
设购进甲种型号计算器只，则购进乙种型号计算器只，
依题意得：，
解得：，
又为正整数，
，，，
该商店有种进货方案． 

【解析】设甲种型号的计算器每只进价是元，乙种型号的计算器每只进价是元，根据“购进甲型计算器只和乙型计算器只，共需资金元，购进甲型计算器只和乙型计算器只，共需资金元”，列出二元一次方程组，解方程组即可；
设购进甲种型号计算器只，则购进乙种型号计算器只，根据购买这两种型号的计算器资金不少于元但又不超过元，列出一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找出数量关系，正确列出一元一次不等式组．
 

23.【答案】解：，，，
，
平分，
，
．
结论：．
理由：，
，
． 

【解析】根据三角形外角性质求出，即可求出，再利用三角形的外角的性质求出即可．
根据三角形外角性质求出，根据三角形外角求出即可
本题考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

24.【答案】解：；
解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
解得，
，
解得；
． 

【解析】解：解方程得：，
解方程得：，
解方程得：，
解不等式组得：，
所以不等式组的“子方程”是．
故答案为：；
见答案；
解方程得，
解方程得，
解关于的不等式组得，
，都是关于的不等式组的“子方程”，
，
解得．
先求出方程的解和不等式组的解集，再判断即可；
解不等式组求得其解集，解方程求出，根据“子方城”的定义列出关于的不等式组，解之可得；
先求出方程的解和不等式组的解集，即可得出答案．
本题考查了新定义，解一元一次方程和一元一次不等式组，理解“子方程”的定义是解题的关键．
 

25.【答案】，  ， 

【解析】解：，，
，，，
将点，分别向上平移个单位，再向右平移个单位，分别得到点，的对应点，，
，，，
故答案为：，；
存在，理由如下：
，，
，
设，分两种情况：
如图，点在线段上时，，

则，，
，
，
解得：，
；
如图，点在线段的延长线上时，，

则，，
，
，
解得：，
；
综上所述，存在点，使得，点的坐标为或；
在转动过程中，的值不会改变，理由如下：
如图，过点作，

，，
，
，，
，
，
，
设运动时间为，
射线以速度绕点顺时针旋转至停止，
，
，
射线、同时开始旋转，同时停止运动，
，，，
，
，
，，
，
，
，为定值．
由平移的性质即可得出答案；
设，分两种情况，根据面积关系可得出的方程，解方程即可得出答案；
求出，再由平行线的性质和旋转的性质得，，即可解决问题．
本题是三角形综合题目，考查了平移的性质、坐标与图形性质、平行线的判定与性质、旋转的性质、三角形面积、梯形面积公式以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握平行线的判定与性质以及平移的性质是解题的关键，属于中考常考题型．