安徽省A10联盟2024届高三上学期8月开学摸底考试数学试题

A10联盟2024届高三上学期8月底开学摸底考

数学试题

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部部分。满分150分，考试时间120分钟。请在答题卷上作答。

第I卷  选择题（共60分）

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. ）

1. 已知，则（    ）

A. 1     B.     C. 3     D.

2. 已知集合，则的元素个数为（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

3. 设，则（    ）

A.         B.

C.         D.

4. 已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则的离心率为（    ）

A.     B.     C.     D.

5. 夏日炎炎，某奶茶店推出了新款奶茶——“冰桶”系列，受到了年轻消费者的喜爱，已知该系列奶茶的容器可以看作是一个圆台与一个圆柱拼接而成，其轴截面如图所示，其中，，则该容器的容积为（    ）（不考虑材料厚度）

A.   B.   C.   D.

6. 2023年7月28日晚，第31届世界大学生夏季运动会在成都盛大开幕. 为宣传成都大运会，某大学团委开展了“阳光灿烂  青春与共”大运会知识竞赛活动，各班以团支部为单位参加比赛，某班团支部在6道题中（包含4道图片题和2道视频题），依次不放回地随机抽取2道题作答，设事件为“第1次抽到图片

题”，事件为“第2次抽到视频题”，则（    ）

A.     B.     C.     D.

7. 已知平面区域，记的面积分别为，则（    ）

A.        B.

C.        D.

8. 古希腊数学家特埃特图斯（Theaetetus）利用如图所示的直角三角形来构造无理数. 已知与交于点，若，则（    ）

A.    B.    C.    D.

二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. ）

9. 电影《八角笼中》是由王宝强导演并参演的一部电影，讲述了年轻人为理想而努力奋斗的故事. 该电影一上映就引起了广大观众的热议，票房也超出了预期，现随机抽取若干名观众进行调查，所得数据统计如下表所示，则（    ）

A. 若在被调查的观众中随机抽取1人，则抽到喜欢该电影的男性观众的概率为

B. 在被调查的观众中，男性不喜欢该电影的比例高于女性

C. 根据小概率值的独立性检验，可以认为被调查观众的性别与对电影的喜爱程度有差异

D. 根据小概率值的独立性检验，可以认为被调查观众的性别与对电影的喜爱程度有差异

附：.

10. 已知直线及圆，则（    ）

A. 直线过定点

B. 直线截圆所得弦长最小值为2

C. 存在，使得直线与圆相切

D. 存在，使得圆关于直线对称

11. 已知函数，则（    ）

A. 是偶函数      B. 的图像关于直线对称

C. 的最小正周期为2     D. 在上单调递增

12. 已知首项为的数列的前项和为，其中，记数列的前项积为，则（    ）

A.         B.

C.         D. 使得成立的最小正整数的值为2025

第II卷  非选择题（共90分）

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分. ）

13. 展开式中的常数项为___________（用数字作答）

14. 曲线在点处的切线方程为___________.

15. 已知抛物线与直线交于两点（点在第一象限），的焦点为，则___________.

16. 已知正方体的所有顶点均在一个表面积为的球面上，空间内的一点满足，若平面，平面，且平面，则的长为

___________.

四、解答题（本题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）

17. （本小题满分10分）

中，角的对边分别为，的平分线交边于，过作，垂足为点.

（1）求角的大小；

（2）若，求的长.

18. （本小题满分12分）

某公司使用甲、乙两台机器生产芯片，已知每天甲机器生产的芯片占产量的六成，且合格率为；乙机器生产的芯片占产量的四成，且合格率为，已知两台机器生产芯片的质量互不影响. 现对某天生产的芯片进行抽样.

（1）从所有芯片中任意抽取一个，求该芯片是不合格品的概率；

（2）现采用有放回的方法随机抽取3个芯片，记其中由乙机器生产的芯片的数量为，求的分布列以及数学期望.

19. （本小题满分12分）

已知等差数列满足，数列的前项和为，且数列是公比为的等比数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）若，记数列的前项和为，试比较与的大小.

20. （本小题满分12分）

如图，在五面体中，底面为正方形，侧面为等腰梯形，二面角为直二面角，.

（1）求点到平面的距离；

（2）设点为线段的中点，点满足，若直线与平面及平面所成的角相等，求的值.

21. （本小题满分12分）

已知椭圆的上顶点到右顶点的距离为，点在上，且点到右焦点距离的最大值为3，过点且不与轴垂直的直线与交于两点.

（1）求的方程；

（2）记为坐标原点，求面积的最大值.

22. （本小题满分12分）

已知函数.

（1）若在上恰有2个零点，求的取值范围；

（2）若是的零点（是的导数），求证：.

A10联盟2024届高三上学期8月底开学摸底考

数学参考答案

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. ）

1. C  因为，所以，故选C.

2. B  由题意得，，故，故选B.

3. D  因为，所以，又，所以. 故选D.

4. B  由题意得，，则. 故选B.

5. D  由题意得，圆台的高，故该容器的容积，故选D.

6. C  因为，所以. 故选C.

7. A  分别作出曲线的大致图形如图所示（先作出第一象限的图形，再由对称性作出全部图形），观察可知，，故选A.

8. A  以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的坐标系，则

，.

因为，故，

因为，所以（负值舍去），

故. 又，则，

因为，所以，

解得，所以. 故选A.

二、选择题（本题共4小题，小题5分，共20分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. ）

9. AC  因为，故A正确；因为，故B错误；，因为，故C正确，D错误. 故选AC.

10. ABD  由，

得，解得，所以直线过定点为，故A正确；

由圆的标准方程可得圆心为，半径，直线过的定点为，

当时，直线截圆所得弦长最短，因为，

则最短弦长为，故B正确；

因为点在圆内，所以直线与圆一定相交，故C错误；

当直线过圆心时，满足题意，此时，解得，

故D正确. 故选ABD.

11. AB  由，

知，所以是偶函数，故A正确；

因为，

所以的图象关于直线对称，故B正确；

因为，则.

所以2不是的周期，故C错误；

因为，则. 故D错误. 故选AB.

12. ACD  由题意得，，故，故A正确；

，故数列单调递增，故B错误；

，

，故，

累加可得，

即.

则，由数列单调递增，得，

所以，故C正确；

因为. 所以.

所以，

所以使得成立的最小正整数的值为2025，故D正确. 故选ACD.

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分. ）

13. 15

的展开式的通顶为，

令，解得，故常数项为.

14. （其他形式的答案只要正确也可）

由题意得，，所以，

解得，故，则，

所以曲线在点处的切线方程为，即.

15. 8

由题意得，直线过的焦点且倾斜角，故.

16.

由题意得，，故.

因为，所以，

又，所以平面，则直线即为直线.

取线段的中点，连接，连接交于，连接，易证，

故平面，故平面即为平面，则.

四、解答题（本题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）

17. （本小题满分10分）

（1）

  …………………2分

由正弦定理可得：，即，   ……………………3分

由余弦定理可得：，    ……………………4分

.     ……………………5分

（2），是的角平分线，

，    ……………………7分

.     8分

在中，.   ……………………10分

18. （本小题满分12分）

（1）记事件表示芯片来自甲机器生产，事件表示芯片来自乙机器生产，事件表示取到的是合格品.

.    ……………………4分

（2）由题意得，，    ……………………5分

故，

   ……………………9分

所以的分布列为

……………………10分

故.         ……………………12分

19. （本小题满分12分）

（1）设等差数列的公券为，

由，得.

解得.      ……………………3分

由题意得，，即，

.     ……………………4分

两式作差得：，

化简得：.    ……………………5分

∴数列是以为首项、2为公比的等比数列.

      ……………………6分

（2）由（1）得，.

  ……………………8分

   ……………………9分

    ……………………10分

，      ……………………11分

∴ 当时，；当时，；

当时，.      ……………………12分

20. （本小题满分12分）

（1）如图，过点作于点，连接.

因为二面角为直二面角，所以平面平面，

又平面平面平面，所以平面，

因为平面，所以     2分

因为四边形为等腰梯形，，

所以，所以.     ……………………4分

又，所以，即点到平面的距离为.   ……………………5分

（2）以为坐标原点，分别以所在直线分别为轴，过点作平面的垂线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

则，  ……………………6分

由，得.

.      ……………………7分

设平面的法向量为，

由，

得，令，则.    ……………………9分

又易知平面的一个法向量为.    ……………………10分

设直线与平面所成角为，与平面所成角为，

则，∴ .    ……………………11分

整理得，由，得.     ……………………12分

21. （本小题满分12分）

（1）由题意得，，   ……………………2分

解得，故的方程为.     ……………………4分

（2）设，直线，

联立，整理得：.

由得，且，  ……………………6分

    ……………………8分

点到直线的距离，   ……………………9分

.    ……………………10分

令，故，故，

当且仅当，即时等号成立，

故面积的最大值为.      ……………………12分

22. （本小题满分12分）

（1）令，显然.    ……………………1分

令，

则，  ……………………………2分

故当时，，当时，，

故函数在上单淍递增，在上单调递减.    ……………………3分

作出的大致图象如图所示，

因为，

所以要使函数的图象与直线在上恰有2个不同的交点，

则.      ……………………5分

解得，即实数的取值范围为.    ……………………6分

（2）要证：，即证：.

因为，

所以，则，   ……………………7分

故

   ……………………9分

令，则，     ……………………10分

故当时，，当时，，

故函数在上单调递减，在上单调递增，

则，即.  ……………………12分

以上各解答题如有不同解法并且正确，请按相应步骤给分.