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    2021_2023年高考数学真题分类汇编专题06立体几何解答题理

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    这是一份2021_2023年高考数学真题分类汇编专题06立体几何解答题理,共31页。试卷主要包含了在四棱锥中,底面,,,,,如图,四面体中,,,,为的中点,如图,在长方体中,已知,,如图,四面体中,,,平面等内容,欢迎下载使用。

    专题06 立体几何(解答题)(理)

    近三年高考真题

    知识点1:线面角及其正弦值、二面角

    1.(2023•甲卷(理))在三棱柱中,底面到平面的距离为1.

    (1)求证:

    (2)若直线距离为2,求与平面所成角的正弦值.

    【解析】(1)证明:取的中点,连接

    底面底面

    底面底面

    平面

    平面平面平面

    到平面的距离为1,

    的距离为1,

    (2)过的延长线与,连接

    的中点,连接

    四边形为平行四边形,

    平面

    平面

    平面

    为直线距离,

    由(1)可知平面

    与平面所成角的角,

    易求得

    与平面所成角的正弦值为

    2.(2022•浙江)如图,已知都是直角梯形,,二面角的平面角为.设分别为的中点.

    (Ⅰ)证明:

    (Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值.

    【解析】证明:由于

    平面平面平面平面

    所以为二面角的平面角,

    平面,则

    是等边三角形,则

    因为平面平面

    所以平面,因为平面,所以

    又因为平面平面

    所以平面,因为平面,故

    (Ⅱ)由于平面,如图建系:

    于是,则

    设平面的法向量

    ,令,则

    平面的法向量

    与平面所成角为

    3.(2022•甲卷(理))在四棱锥中,底面

    (1)证明:

    (2)求与平面所成的角的正弦值.

    【解析】(1)证明:底面

    中点,连接

    ,又

    为直角三角形,且为斜边,

    (2)由(1)知,两两互相垂直,故建立如图所示的空间直角坐标系,

    设平面的一个法向量为,则,则可取

    与平面所成的角为,则

    与平面所成的角的正弦值为

    4.(2022•北京)如图,在三棱柱中,侧面为正方形,平面平面分别为的中点.

    (Ⅰ)求证:平面

    (Ⅱ)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知,求直线与平面所成角的正弦值.

    条件①:

    条件②:

    注:如果选择条件①和条件②分别解答,按第一个解答计分.

    【解析】证明:取中点,连接

    的中点.,且

    四边形是平行四边形,故

    平面平面

    平面

    中点,的点,

    平面平面

    平面,又

    平面平面

    平面平面

    侧面为正方形,平面平面,平面平面

    平面,又

    若选①:;又平面

    平面,又

    两两垂直,

    若选②:平面平面平面

    ,又

    ,又

    两两垂直,

    为坐标原点,为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系,

    ,0,,1,,1,,2,

    ,1,,1,

    设平面的一个法向量为

    ,令,则

    平面的一个法向量为

    ,2,

    设直线与平面所成角为

    直线与平面所成角的正弦值为

    5.(2022•乙卷(理))如图,四面体中,的中点.

    (1)证明:平面平面

    (2)设,点上,当的面积最小时,求与平面所成的角的正弦值.

    【解析】(1)证明:的中点.

    ,又的中点.,又平面平面

    平面,又平面平面平面

    (2)连接,由(1)知

    最小时,的面积最小,时,的面积最小,

    平面平面,又平面平面

    平面,又平面平面平面

    于点,则平面

    ,即为直线与平面所成的角,

    ,知是2为边长的等边三角形,

    ,由已知可得,又

    ,所以

    中,由余弦定理得

    与平面所成的角的正弦值为

    6.(2021•上海)如图,在长方体中,已知

    (1)若是棱上的动点,求三棱锥的体积;

    (2)求直线与平面的夹角大小.

    【解析】(1)如图,在长方体中,

    (2)连接

    四边形为正方形,则

    平面

    直线与平面所成的角为

    直线与平面所成的角为

    7.(2021•浙江)如图,在四棱锥中,底面是平行四边形,分别为的中点,

    (Ⅰ)证明:

    (Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值.

    【解析】(Ⅰ)证明:在平行四边形中,由已知可得,

    由余弦定理可得,

    ,即

    平面

    平面

    (Ⅱ)由(Ⅰ)知,平面

    平面平面平面

    且平面平面

    ,且平面平面

    连接,则

    中,

    可得

    ,在中,求得

    中点,连接,则,可得两两互相垂直,

    为坐标原点,分别以轴建立空间直角坐标系,

    ,2,,0,

    的中点,

    平面的一个法向量为

    设直线与平面所成角为

    故直线与平面所成角的正弦值为

     

    8.(2023•北京)如图,四面体中,平面

    (Ⅰ)求证:平面

    (Ⅱ)求二面角的大小.

    【解析】证明:(Ⅰ)平面平面平面

    ,又

    平面

    (Ⅱ)以点为坐标原点,分别以所在直线为轴,轴的正方向,建立空间直角坐标系,如图所示:

    ,1,,0,,0,,1,

    ,0,,1,,0,

    设平面的一个法向量为

    ,取,得,1,

    设平面的一个法向量为

    ,取,得,1,

    由图可知二面角为锐角,设二面角的大小为

    即二面角的大小为

    9.(2023•乙卷(理))如图,在三棱锥中,的中点分别为,点上,

    (1)证明:平面

    (2)证明:平面平面

    (3)求二面角的正弦值.

    【解析】证明:(1)由题可知,,设

    ,解得

    四边形为平行四边形,

    平面平面

    平面

    证明:(2)

    ,即

    平面

    平面

    平面平面

    (3)设二面角的平面角为

    的夹角,

    二面角的正弦值为

    10.(2022•天津)直三棱柱中,中点,中点,中点.

    (1)求证:平面

    (2)求直线与平面的正弦值;

    (3)求平面与平面夹角的余弦值.

    【解析】(1)证明:取的中点,连接,连接

    再连接

    ,且的中点,则的中点,

    平面平面

    平面

    同理可得,平面

    平面平面

    平面

    (2)在直三棱柱中,,则可建立如图所示的空间直角坐标系,

    中点,中点,中点.

    ,2,,0,,0,,0,,1,

    ,0,,1,

    是平面的法向量,则有:,即,令,则

    所以

    设直线与平面的夹角为,则

    (3),0,,则,0,,1,

    设平面的法向量为,则有

    ,令,则,故

    设平面与平面的夹角为

    所以

    11.(2023•上海)已知直四棱柱

    (1)证明:直线平面

    (2)若该四棱柱的体积为36,求二面角的大小.

    【解析】(1)证明:根据题意可知,且

    可得平面平面,又直线平面

    直线平面

    (2)设,则根据题意可得该四棱柱的体积为

    底面,在底面内过,垂足点为

    在底面内的射影为

    根据三垂线定理可得

    即为所求,

    中,

    ,又

    二面角的大小为

    12.(2023•新高考Ⅱ)如图,三棱锥中,中点.

    (1)证明

    (2)点满足,求二面角的正弦值.

    【解析】证明:(1)连接

    中点.

    均为等边三角形,

    平面

    平面

    (2)设

    平面

    为原点,建立如图所示空间直角坐标系,

    ,0,

    设平面与平面的一个法向量分别为

    ,令,解得

    ,令,解得

    ,1,,1,

    设二面角的平面角为

    所以二面角的正弦值为

    13.(2022•新高考Ⅱ)如图,是三棱锥的高,的中点.

    (1)证明:平面

    (2)若,求二面角的正弦值.

    【解析】(1)证明:连接,依题意,平面

    平面平面,则

    ,则

    延长于点,又,则在中,中点,连接

    中,分别为的中点,则

    平面平面

    平面

    (2)过点,以分别为轴,轴,轴建立如图所示的空间直角坐标系,

    由于,由(1)知

    ,则

    ,即,12,

    设平面的一个法向量为,又

    ,则可取

    设平面的一个法向量为,又

    ,则可取

    设锐二面角的平面角为,则

    ,即二面角正弦值为

    14.(2022•新高考Ⅰ)如图,直三棱柱的体积为4,△的面积为

    (1)求到平面的距离;

    (2)设的中点,,平面平面,求二面角的正弦值.

    【解析】(1)由直三棱柱的体积为4,可得

    到平面的距离为,由

    ,解得

    (2)连接于点四边形为正方形,

    ,又平面平面,平面平面

    平面

    由直三棱柱平面,又

    平面

    为坐标原点,所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系,

    ,又,解得

    ,0,,2,,0,,2,,1,

    ,2,,1,,0,

    设平面的一个法向量为

    ,令,则

    平面的一个法向量为,0,

    设平面的一个法向量为

    ,令,则

    平面的一个法向量为,1,

    二面角的正弦值为

    15.(2021•天津)如图,在棱长为2的正方体中,分别为棱的中点.

    (1)求证:平面

    (2)求直线与平面所成角的正弦值;

    (3)求二面角的正弦值.

    【解析】(1)证明:以点为坐标原点,建立空间直角坐标系如图所示,

    ,0,,1,,2,

    设平面的法向量为

    ,即

    ,则,故

    ,2,,2,

    所以

    ,又平面

    平面

    (2)由(1)可知,

    故直线与平面所成角的正弦值为

    (3)由(1)可知,

    设平面的法向量为

    ,即

    ,则,故

    所以

    故二面角的正弦值为

    16.(2021•新高考Ⅱ)在四棱锥中,底面是正方形,若

    (Ⅰ)求证:平面平面

    (Ⅱ)求二面角的平面角的余弦值.

    【解析】(Ⅰ)证明:中,,所以,所以

    平面平面,所以平面

    平面,所以平面平面

    (Ⅱ)取的中点,在平面内作

    所在直线为轴,所在直线为轴,建立空间直角坐标系,如图所示:

    ,0,,1,,0,

    因为平面,所以平面的一个法向量为,0,

    设平面的一个法向量为

    ,2,

    ,即

    ,得,所以,2,

    所以

    所以二面角的平面角的余弦值为

    17.(2021•乙卷(理))如图,四棱锥的底面是矩形,底面中点,且

    (1)求

    (2)求二面角的正弦值.

    【解析】(1)连结,因为底面,且平面

    ,又平面

    所以平面,又平面,则

    所以,又

    则有,所以

    ,所以,解得

    (2)因为两两垂直,故以点位坐标原点建立空间直角坐标系如图所示,

    ,0,

    所以

    设平面的法向量为

    则有,即

    ,则,故

    设平面的法向量为

    则有,即

    ,则,故

    所以

    设二面角的平面角为

    所以二面角的正弦值为

    18.(2021•新高考Ⅰ)如图,在三棱锥中,平面平面的中点.

    (1)证明:

    (2)若是边长为1的等边三角形,点在棱上,,且二面角的大小为,求三棱锥的体积.

    【解析】(1)证明:因为的中点,所以

    又平面平面,平面平面平面

    所以平面,又平面

    所以

    (2)方法一:

    的中点,因为为正三角形,所以

    交于点,则

    所以两两垂直,

    以点为坐标原点,分别以所在直线为轴,轴,轴建立空间直角坐标系如图所示,

    ,1,

    ,0,,则

    因为平面,故平面的一个法向量为

    设平面的法向量为

    所以由,得

    ,则,故

    因为二面角的大小为

    所以

    解得,所以

    ,所以

    方法二:

    ,交于点,过于点,连结

    由题意可知,,又平面

    所以平面,又平面

    所以,又

    所以平面,又平面

    所以

    为二面角的平面角,即

    所以,则

    所以

    因为

    所以,则

    所以,则

    所以

    知识点2:点到平面距离问题

    19.(2023•天津)在三棱台中,若平面分别为中点.

    (Ⅰ)求证:平面

    (Ⅱ)求平面与平面所成角的余弦值;

    (Ⅲ)求点到平面的距离.

    【解析】(Ⅰ)证明:连接,可得为△的中位线,

    可得,且

    可得四边形为平行四边形,

    平面平面

    所以平面

    (Ⅱ)取的中点,连接

    ,可得

    平面平面

    可得

    可得平面

    ,垂足为,连接

    由三垂线定理可得

    可得为平面与平面所成角.

    在矩形中,

    所以

    (Ⅲ)设到平面的距离为

    在△中,

    ,可得

    解得

    知识点3:立体几何的综合

    20.(2023•新高考Ⅰ)如图,在正四棱柱中,.点分别在棱上,

    (1)证明:

    (2)点在棱上,当二面角时,求

    【解析】(1)证明:根据题意建系如图,则有:

    ,2,,0,,2,,0,

    ,又四点不共线,

    (2)在(1)的坐标系下,可设,2,

    又由(1)知,0,,2,,0,

    设平面的法向量为

    ,取

    设平面的法向量为

    ,取

    根据题意可得

    ,又

    解得

    的中点或的中点,

    21.(2021•北京)如图,在正方体的中点,交平面交于点

    (Ⅰ)求证:的中点;

    (Ⅱ)若点是棱上一点,且二面角的余弦值为,求的值.

    【解析】(Ⅰ)证明:连结

    在正方体中,平面平面

    平面,因为平面平面

    所以,则

    ,又因为

    所以四边形为平行四边形,四边形为平行四边形,

    所以

    而点的中点,所以

    ,则点的中点.

    另取的中点,则平行且相等,

    进而与平行且相等,

    四点共面,

    平面

    从而重合,的中点.

    (Ⅱ)以点为原点,建立空间直角坐标系,如图所示,

    设正方体棱长为2,设点,0,

    因为二面角的余弦值为,则,所以

    ,2,,1,,1,

    设平面的法向量为

    ,即

    所以,故

    设平面的法向量为

    ,即

    所以,故

    因为二面角的余弦值为

    解得,又

    所以

     

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