2021_2023年高考数学真题分类汇编专题06立体几何解答题理
展开专题06 立体几何(解答题)(理)
近三年高考真题
知识点1:线面角及其正弦值、二面角
1.(2023•甲卷(理))在三棱柱中,,底面,,到平面的距离为1.
(1)求证:;
(2)若直线与距离为2,求与平面所成角的正弦值.
【解析】(1)证明:取的中点,连接,
底面,底面,
,,,
底面,底面,
,,,
,平面,
平面,平面平面,
到平面的距离为1,
到的距离为1,
,
;
(2)过作交的延长线与,连接,
取的中点,连接,
四边形为平行四边形,
平面,
,平面,
平面,
,
,
为直线与距离,
,,
由(1)可知平面,
为与平面所成角的角,
易求得,
,
,,
.
与平面所成角的正弦值为.
2.(2022•浙江)如图,已知和都是直角梯形,,,,,,,二面角的平面角为.设,分别为,的中点.
(Ⅰ)证明:;
(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值.
【解析】证明:由于,,
平面平面,平面,平面,
所以为二面角的平面角,
则,平面,则.
又,
则是等边三角形,则,
因为,,,平面,平面,
所以平面,因为平面,所以,
又因为,平面,平面,
所以平面,因为平面,故;
(Ⅱ)由于平面,如图建系:
于是,则,
,
设平面的法向量,,,
则,,令,则,,
平面的法向量,
设与平面所成角为,
则.
3.(2022•甲卷(理))在四棱锥中,底面,,,,.
(1)证明:;
(2)求与平面所成的角的正弦值.
【解析】(1)证明:底面,面,
,
取中点,连接,
,,
,又,
,,
为直角三角形,且为斜边,
,
又,面,面,
面,
又面,
;
(2)由(1)知,,,两两互相垂直,故建立如图所示的空间直角坐标系,
,
则,
,
设平面的一个法向量为,则,则可取,
设与平面所成的角为,则,
与平面所成的角的正弦值为.
4.(2022•北京)如图,在三棱柱中,侧面为正方形,平面平面,,,分别为,的中点.
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知,求直线与平面所成角的正弦值.
条件①:;
条件②:.
注:如果选择条件①和条件②分别解答,按第一个解答计分.
【解析】证明:取中点,连接,,
为的中点.,且,
四边形是平行四边形,故,
平面;平面,
平面,
是中点,是的点,
,平面;平面,
平面,又,
平面平面,
又平面,平面;
侧面为正方形,平面平面,平面平面,
平面,,又,,
若选①:;又,平面,
又平面,,又,
,,,两两垂直,
若选②:平面,,平面,平面,
,又,,,
,,
,又,,
,,两两垂直,
以为坐标原点,,,为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则,0,,,1,,,1,,,2,,
,1,,,1,,
设平面的一个法向量为,,,
则,令,则,,
平面的一个法向量为,,,
又,2,,
设直线与平面所成角为,
,.
直线与平面所成角的正弦值为.
5.(2022•乙卷(理))如图,四面体中,,,,为的中点.
(1)证明:平面平面;
(2)设,,点在上,当的面积最小时,求与平面所成的角的正弦值.
【解析】(1)证明:,为的中点.,
又,,,,
,又为的中点.,又,平面,平面,
平面,又平面,平面平面;
(2)连接,由(1)知,,
故最小时,的面积最小,时,的面积最小,
又平面,平面,,又,平面,平面,
平面,又平面,平面平面,
过作于点,则平面,
故,即为直线与平面所成的角,
由,,知是2为边长的等边三角形,
故,由已知可得,,又,,
,所以,
,,
在中,由余弦定理得,
.
故与平面所成的角的正弦值为.
6.(2021•上海)如图,在长方体中,已知,.
(1)若是棱上的动点,求三棱锥的体积;
(2)求直线与平面的夹角大小.
【解析】(1)如图,在长方体中,;
(2)连接,
,
四边形为正方形,则,
又,,
平面,
直线与平面所成的角为,
.
直线与平面所成的角为.
7.(2021•浙江)如图,在四棱锥中,底面是平行四边形,,,,,,分别为,的中点,,.
(Ⅰ)证明:;
(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值.
【解析】(Ⅰ)证明:在平行四边形中,由已知可得,,
,,
由余弦定理可得,
,
则,即,
又,,平面,
而平面,,
,;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,平面,
又平面,平面平面,
且平面平面,
,且平面,平面,
连接,则,
在中,,,,
可得,
又,在中,求得,
取中点,连接,则,可得、、两两互相垂直,
以为坐标原点,分别以、、为、、轴建立空间直角坐标系,
则,2,,,0,,,
又为的中点,,,
平面的一个法向量为,
设直线与平面所成角为,
则.
故直线与平面所成角的正弦值为.
8.(2023•北京)如图,四面体中,,,平面.
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)求二面角的大小.
【解析】证明:(Ⅰ)平面,平面,平面,
,,
,,
,
又,,
,又,
平面;
(Ⅱ)以点为坐标原点,分别以,所在直线为轴,轴的正方向,建立空间直角坐标系,如图所示:
则,1,,,0,,,0,,,1,,
,0,,,,,,1,,,0,,
设平面的一个法向量为,,,
则,取,得,1,,
设平面的一个法向量为,,,
则,取,得,1,,
,,
由图可知二面角为锐角,设二面角的大小为,
则,,
,
即二面角的大小为.
9.(2023•乙卷(理))如图,在三棱锥中,,,,,,,,的中点分别为,,,点在上,.
(1)证明:平面;
(2)证明:平面平面;
(3)求二面角的正弦值.
【解析】证明:(1)由题可知,,设,
,
则,解得,
,,
而,,,,四边形为平行四边形,
,
平面,平面,
平面.
证明:(2),,
,即,,
,,
平面,
平面,
平面平面.
(3)设二面角的平面角为,
,,
为和的夹角,
,,
,
,
二面角的正弦值为.
10.(2022•天津)直三棱柱中,,,,为中点,为中点,为中点.
(1)求证:平面;
(2)求直线与平面的正弦值;
(3)求平面与平面夹角的余弦值.
【解析】(1)证明:取的中点,连接,,连接交于,
再连接,
,且是的中点,则是的中点,
,,
又平面,平面,
平面,
同理可得,平面,
又,
平面平面,
平面,
(2)在直三棱柱中,,则可建立如图所示的空间直角坐标系,
又,为中点,为中点,为中点.
故,2,,,0,,,0,,,0,,,1,,
则,,,,0,,,1,,
设,,是平面的法向量,则有:,,即,令,则,,
所以,
设直线与平面的夹角为,则,
(3),0,,则,0,,,1,,
设平面的法向量为,,,则有,,
即,令,则,,故,
设平面与平面的夹角为,
所以.
11.(2023•上海)已知直四棱柱,,,,,.
(1)证明:直线平面;
(2)若该四棱柱的体积为36,求二面角的大小.
【解析】(1)证明:根据题意可知,,且,
可得平面平面,又直线平面,
直线平面;
(2)设,则根据题意可得该四棱柱的体积为,
,底面,在底面内过作,垂足点为,
则在底面内的射影为,
根据三垂线定理可得,
故即为所求,
在中,,,,
,又,
,
二面角的大小为.
12.(2023•新高考Ⅱ)如图,三棱锥中,,,,为中点.
(1)证明;
(2)点满足,求二面角的正弦值.
【解析】证明:(1)连接,,
,为中点.
,
又,,
与 均为等边三角形,
,
,,
平面,
平面,
.
(2)设,
,
,,
,
,
又,,
平面,
以为原点,建立如图所示空间直角坐标系,
,,,,0,,
,
,
,,,
设平面与平面的一个法向量分别为,,
则,令,解得,
,令,解得,,
故,1,,,1,,
设二面角的平面角为,
则,
故,
所以二面角的正弦值为.
13.(2022•新高考Ⅱ)如图,是三棱锥的高,,,为的中点.
(1)证明:平面;
(2)若,,,求二面角的正弦值.
【解析】(1)证明:连接,,依题意,平面,
又平面,平面,则,,
,
又,,则,
,
延长交于点,又,则在中,为中点,连接,
在中,,分别为,的中点,则,
平面,平面,
平面;
(2)过点作,以,,分别为轴,轴,轴建立如图所示的空间直角坐标系,
由于,,由(1)知,
又,则,
,
又,即,12,,
设平面的一个法向量为,又,
则,则可取,
设平面的一个法向量为,又,
则,则可取,
设锐二面角的平面角为,则,
,即二面角正弦值为.
14.(2022•新高考Ⅰ)如图,直三棱柱的体积为4,△的面积为.
(1)求到平面的距离;
(2)设为的中点,,平面平面,求二面角的正弦值.
【解析】(1)由直三棱柱的体积为4,可得,
设到平面的距离为,由,
,,解得.
(2)连接交于点,,四边形为正方形,
,又平面平面,平面平面,
平面,,
由直三棱柱知平面,,又,
平面,,
以为坐标原点,,,所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系,
,,又,解得,
则,0,,,2,,,0,,,2,,,1,,
则,2,,,1,,,0,,
设平面的一个法向量为,,,
则,令,则,,
平面的一个法向量为,0,,
设平面的一个法向量为,,,
,令,则,,
平面的一个法向量为,1,,
,,
二面角的正弦值为.
15.(2021•天津)如图,在棱长为2的正方体中,,分别为棱,的中点.
(1)求证:平面;
(2)求直线与平面所成角的正弦值;
(3)求二面角的正弦值.
【解析】(1)证明:以点为坐标原点,建立空间直角坐标系如图所示,
则,0,,,1,,,2,,
故,
设平面的法向量为,
则,即,
令,则,,故,
又,2,,,2,,
所以,
则,又平面,
故平面;
(2)由(1)可知,,
则,
故直线与平面所成角的正弦值为;
(3)由(1)可知,,
设平面的法向量为,
则,即,
令,则,故,
所以,
故二面角的正弦值为.
16.(2021•新高考Ⅱ)在四棱锥中,底面是正方形,若,,.
(Ⅰ)求证:平面平面;
(Ⅱ)求二面角的平面角的余弦值.
【解析】(Ⅰ)证明:中,,,,所以,所以;
又,,平面,平面,所以平面;
又平面,所以平面平面.
(Ⅱ)取的中点,在平面内作,
以所在直线为轴,所在直线为轴,建立空间直角坐标系,如图所示:
则,0,,,,,,1,,,0,,
因为平面,所以平面的一个法向量为,0,,
设平面的一个法向量为,,,
由,2,,,,,
得,即,
令,得,,所以,2,;
所以,,
所以二面角的平面角的余弦值为.
17.(2021•乙卷(理))如图,四棱锥的底面是矩形,底面,,为中点,且.
(1)求;
(2)求二面角的正弦值.
【解析】(1)连结,因为底面,且平面,
则,又,,,平面,
所以平面,又平面,则,
所以,又,
则有,所以,
则,所以,解得;
(2)因为,,两两垂直,故以点位坐标原点建立空间直角坐标系如图所示,
则,,0,,
所以,,
设平面的法向量为,
则有,即,
令,则,,故,
设平面的法向量为,
则有,即,
令,则,故,
所以,
设二面角的平面角为,
则,
所以二面角的正弦值为.
18.(2021•新高考Ⅰ)如图,在三棱锥中,平面平面,,为的中点.
(1)证明:;
(2)若是边长为1的等边三角形,点在棱上,,且二面角的大小为,求三棱锥的体积.
【解析】(1)证明:因为,为的中点,所以,
又平面平面,平面平面,平面,
所以平面,又平面,
所以;
(2)方法一:
取的中点,因为为正三角形,所以,
过作与交于点,则,
所以,,两两垂直,
以点为坐标原点,分别以,,所在直线为轴,轴,轴建立空间直角坐标系如图所示,
则,,,,,1,,
设,0,,则,
因为平面,故平面的一个法向量为,
设平面的法向量为,
又,
所以由,得,
令,则,,故,
因为二面角的大小为,
所以,
解得,所以,
又,所以,
故.
方法二:
过作,交于点,过作于点,连结,
由题意可知,,又平面
所以平面,又平面,
所以,又,
所以平面,又平面,
所以,
则为二面角的平面角,即,
又,
所以,则,
故,
所以,
因为,
则,
所以,则,
所以,则,
所以.
知识点2:点到平面距离问题
19.(2023•天津)在三棱台中,若平面,,,,,分别为,中点.
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)求平面与平面所成角的余弦值;
(Ⅲ)求点到平面的距离.
【解析】(Ⅰ)证明:连接,可得为△的中位线,
可得,且,
而,,
则,,
可得四边形为平行四边形,
则,
而平面,平面,
所以平面;
(Ⅱ)取的中点,连接,
由,,可得.
由平面,平面,
可得,
可得平面.
过作,垂足为,连接,
由三垂线定理可得,
可得为平面与平面所成角.
由.
在矩形中,,
所以;
(Ⅲ)设到平面的距离为.
在△中,,,,
则.
由,可得,
解得.
知识点3:立体几何的综合
20.(2023•新高考Ⅰ)如图,在正四棱柱中,,.点,,,分别在棱,,,上,,,.
(1)证明:;
(2)点在棱上,当二面角为时,求.
【解析】(1)证明:根据题意建系如图,则有:
,2,,,0,,,2,,,0,,
,,
,又,,,四点不共线,
;
(2)在(1)的坐标系下,可设,2,,,,
又由(1)知,0,,,2,,,0,,
,,,
设平面的法向量为,
则,取,
设平面的法向量为,
则,取,
根据题意可得,,
,
,又,,
解得或,
为的中点或的中点,
.
21.(2021•北京)如图,在正方体,为的中点,交平面交于点.
(Ⅰ)求证:为的中点;
(Ⅱ)若点是棱上一点,且二面角的余弦值为,求的值.
【解析】(Ⅰ)证明:连结,
在正方体中,,平面,平面,
则平面,因为平面平面,
所以,则,
故,又因为,
所以四边形为平行四边形,四边形为平行四边形,
所以,,
而点为的中点,所以,
故,则点为的中点.
另取的中点,则与平行且相等,
进而与平行且相等,
,,,四点共面,
平面,
从而与重合,点为的中点.
(Ⅱ)以点为原点,建立空间直角坐标系,如图所示,
设正方体棱长为2,设点,0,,
因为二面角的余弦值为,则,所以,
则,2,,,1,,,1,,
故,
设平面的法向量为,
则,即,
所以,,故,
设平面的法向量为,
则,即,
所以,,故,
因为二面角的余弦值为,
则,
解得,又,
所以,
故.
专题06 立体几何(解答题)(理)(学生版)2021-2023年高考数学真题分类汇编(全国通用): 这是一份专题06 立体几何(解答题)(理)(学生版)2021-2023年高考数学真题分类汇编(全国通用),共10页。试卷主要包含了在四棱锥中,底面,,,,,如图,四面体中,,,,为的中点,如图,在长方体中,已知,,如图,四面体中,,,平面等内容,欢迎下载使用。
2021_2023年高考数学真题分类汇编专题06立体几何解答题文: 这是一份2021_2023年高考数学真题分类汇编专题06立体几何解答题文,共14页。试卷主要包含了如图,在长方体中,已知,,如图,四面体中,,,,为的中点等内容,欢迎下载使用。
2021_2023年高考数学真题分类汇编专题05立体几何选择题文: 这是一份2021_2023年高考数学真题分类汇编专题05立体几何选择题文,共19页。试卷主要包含了某几何体的三视图如图所示(单位等内容,欢迎下载使用。