2021_2023年高考数学真题分类汇编专题07平面解析几何填空题

专题07平面解析几何（填空题）

近三年高考真题

知识点1：圆的方程

1．（2022•甲卷（文））设点在直线上，点和均在上，则的方程为．

【答案】．

【解析】由点在直线上，可设，

由于点和均在上，圆的半径为，

求得，可得半径为，圆心，

故的方程为，

故答案为：．

2．（2022•乙卷（文））过四点，，，中的三点的一个圆的方程为．

【答案】（或或或．

【解析】设过点，，的圆的方程为，

即，解得，，，

所以过点，，圆的方程为．

同理可得，过点，，圆的方程为．

过点，，圆的方程为．

过点，，圆的方程为．

故答案为：（或或或．

知识点2：直线与圆的位置关系

3．（2022•甲卷（理））若双曲线的渐近线与圆相切，则．

【答案】．

【解析】双曲线的渐近线：，

圆的圆心与半径1，

双曲线的渐近线与圆相切，

，解得，舍去．

故答案为：．

4．（2022•新高考Ⅱ）设点，，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则的取值范围是．

【答案】，．

【解析】点，，，所以直线关于对称的直线的斜率为：，所以对称直线方程为：，即：，

的圆心，半径为1，

所以，得，解得，．

故答案为：，．

知识点3：圆与圆的位置关系

5．（2022•新高考Ⅰ）写出与圆和都相切的一条直线的方程．

【答案】（填，都正确）．

【解析】圆的圆心坐标为，半径，

圆的圆心坐标为，半径，

如图：

，两圆外切，由图可知，与两圆都相切的直线有三条．

，的斜率为，设直线，即，

由，解得（负值舍去），则；

由图可知，；与关于直线对称，

联立，解得与的一个交点为，在上取一点，

该点关于的对称点为，，则，解得对称点为，．

，则，即．

与圆和都相切的一条直线的方程为：

（填，都正确）．

故答案为：（填，都正确）．

知识点4：轨迹方程及标准方程

6．（2023•北京）已知双曲线的焦点为和，离心率为，则的方程为．

【答案】．

【解析】根据题意可设所求方程为，，

又，解得，，，

所求方程为．

故答案为：．

知识点5：椭圆的几何性质

7．（2022•新高考Ⅱ）已知直线与椭圆在第一象限交于，两点，与轴、轴分别相交于，两点，且，，则的方程为．

【答案】．

【解析】设，，，，线段的中点为，

由，，

相减可得：，

则，

设直线的方程为：，，，，，，

，，，

，解得，

，，化为：．

，，解得．

的方程为，即，

故答案为：．

8．（2021•浙江）已知椭圆，焦点，，．若过的直线和圆相切，与椭圆的第一象限交于点，且轴，则该直线的斜率是　　．

【答案】．

【解析】直线斜率不存在时，直线与圆不相切，不符合题意；

由直线过，设直线的方程为，

直线和圆相切，

圆心到直线的距离与半径相等，

，解得，

将代入，可得点坐标为，

，

，，

．

故答案为：．

知识点6：双曲线的几何性质

9．（2021•乙卷（理））已知双曲线的一条渐近线为，则的焦距为．

【答案】4．

【解析】根据题意，双曲线的一条渐近线为，

则有，解可得，

则双曲线的方程为，则，

其焦距；

故答案为：4．

10．（2021•乙卷（文））双曲线的右焦点到直线的距离为．

【答案】．

【解析】双曲线的右焦点，

所以右焦点到直线的距离为．

故答案为：．

11．（2022•上海）双曲线的实轴长为．

【答案】6

【解析】由双曲线，可知：，

所以双曲线的实轴长．

故答案为：6．

12．（2022•北京）已知双曲线的渐近线方程为，则．

【答案】．

【解析】双曲线化为标准方程可得，

所以，双曲线的渐近线方程，

又双曲线的渐近线方程为，

所以，解得．

故答案为：．

13．（2021•新高考Ⅱ）已知双曲线的离心率，则该双曲线的渐近线方程为．

【答案】．

【解析】双曲线的方程是，

双曲线渐近线为

又离心率为，可得

，即，可得

由此可得双曲线渐近线为

故答案为：

知识点7：抛物线的几何性质

14．（2023•乙卷（文））已知点在抛物线上，则到的准线的距离为．

【答案】．

【解析】点在抛物线上，

则，解得，

由抛物线的定义可知，到的准线的距离为．

故答案为：．

15．（2023•天津）过原点的一条直线与圆相切，交曲线于点，若，则的值为．

【答案】6．

【解析】如图，

由题意，不妨设直线方程为，即，

由圆的圆心到的距离为，

得，解得，

则直线方程为，

联立，得或，即．

可得，解得．

故答案为：6．

16．（2021•新高考Ⅰ）已知为坐标原点，抛物线的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且．若，则的准线方程为．

【答案】．

【解析】法一：由题意，不妨设在第一象限，则，，，．

所以，所以的方程为：，

时，，

，所以，解得，

所以抛物线的准线方程为：．

法二：根据射影定理，可得，可得，解得，

因此，抛物线的准线方程为：．

故答案为：．

知识点8：弦长问题

17．（2022•天津）若直线与圆相交所得的弦长为，则．

【答案】2．

【解析】圆心到直线的距离，

又直线与圆相交所得的弦长为，

，

，

解得．

故答案为：2．

18．（2021•天津）若斜率为的直线与轴交于点，与圆相切于点，则．

【答案】．

【解析】假设在轴的上方，斜率为的直线与轴交于，

则可得，所以，如图所示，由圆的方程可得，圆的半径为，

由于为切点，所以，所以，

故答案为：．

知识点9：离心率问题

19．（2022•甲卷（文））记双曲线的离心率为，写出满足条件“直线与无公共点”的的一个值．

【答案】，内的任意一个值都满足题意）．

【解析】双曲线的离心率为，，

双曲线的渐近线方程为，

直线与无公共点，可得，即，即，

可得，

满足条件“直线与无公共点”的的一个值可以为：2．

故答案为：，内的任意一个值都满足题意）．

20．（2023•新高考Ⅰ）已知双曲线的左、右焦点分别为，．点在上，点在轴上，，，则的离心率为．

【答案】．

【解析】（法一）如图，设，，，

设，则，

又，则，可得，

又，且，

则，化简得．

又点在上，

则，整理可得，

代，可得，即，

解得或（舍去），

故．

（法二）由，得，

设，由对称性可得，

则，

设，则，

所以，解得，

所以，

在△中，由余弦定理可得，

即，则．

故答案为：．

21．（2022•浙江）已知双曲线的左焦点为，过且斜率为的直线交双曲线于点，，交双曲线的渐近线于点，且．若，则双曲线的离心率是．

【答案】．

【解析】（法一）如图，过点作轴于点，过点作轴于点，

由于，且，则点在渐近线上，不妨设，

设直线的倾斜角为，则，则，即，则，

，

又，则，

又，则，则，

点的坐标为，

，即，

．

（法二）由，解得，

又，

所以点的纵坐标为，

代入方程中，解得，

所以，代入双曲线方程中，可得，

所以．

故答案为：．

知识点10：焦半径、焦点弦问题

22．（2021•上海）已知抛物线，若第一象限的，在抛物线上，焦点为，，，，求直线的斜率为．

【答案】．

【解析】如图所示，设抛物线的准线为，作于点，于点，于点，

由抛物线的定义，可得，，

，

直线的斜率．

故答案为：．

23．（2021•北京）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，垂直轴于点，若，则点的横坐标是　　．

【答案】．

【解析】抛物线，

则焦点，准线方程为，

过点作，垂足为，设，，

则，

所以，则，

所以点的横坐标为5；

点在抛物线上，故，

所以，即，

所以．

故答案为：5；．

24．（2022•新高考Ⅰ）已知椭圆，的上顶点为，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与交于，两点，，则的周长是．

【答案】13．

【解析】椭圆的离心率为，

不妨可设椭圆，，

的上顶点为，两个焦点为，，

△为等边三角形，

过且垂直于的直线与交于，两点，

，

由等腰三角形的性质可得，，，

设直线方程为，，，，，

将其与椭圆联立化简可得，，

由韦达定理可得，，，

，解得，

的周长等价于．

故答案为：13．

知识点11：范围与最值问题

25．（2022•上海）已知，，，两点均在双曲线的右支上，若恒成立，则实数的取值范围为．

【答案】，．

【解析】设的对称点，仍在双曲线右支，由，

得，即恒成立，

恒为锐角，即，

其中一条渐近线的斜率，

，

所以实数的取值范围为，．

故答案为：，．

26．（2021•全国）双曲线的左、右焦点分别为，，点在直线上，则的最小值为．

【答案】

【解析】由双曲线的方程可得左右焦点，

设为关于直线的对称点，

则，可得，，

连接与直线的交点为，则，

故答案为：．

知识点12：面积问题

27．（2021•甲卷（文））已知，为椭圆的两个焦点，，为上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为．

【答案】8．

【解析】因为，为上关于坐标原点对称的两点，且，

所以四边形为矩形，

设，，

由椭圆的定义可得，

所以，

因为，

即，

所以，

所以四边形的面积为．

故答案为：8．

28．（2023•上海）已知圆的面积为，则．

【答案】．

【解析】圆化为标准方程为：，

圆的面积为，圆的半径为1，

，

．

故答案为：．

29．（2023•新高考Ⅱ）已知直线与交于，两点，写出满足“面积为”的的一个值．

【答案】2（或或或．

【解析】由圆，可得圆心坐标为，半径为，

因为的面积为，可得，

解得，设所以，

可得，，或，

或，

圆心眼到直线的距离或，

或，

解得或．

故答案为：2（或或或．